Considérons l’équation
Xp — I = 3IL P,
ou l’exposant p est un diviseur de P — 1, les nombres p et P étant tous deux premiers.
Soit r une quelconque des racines de cette équation, autre que l’unité; comme le nombre p est premier, r sera une racine primitive, et par conséquent toutes les racines pourront s’exprimer par
ro
la suite
Mais cet ordre, qui nous paraît naturel, n’est pas le plus simple : ou peut ranger ces p — i racines de manière que chacune soit toujours une meme puissance de celle qui la précède. Et, en effet, soit a une racine primitive de
= dïl p ;
les p — i exposants de r,
pourront se ranger dans l’ordre nouveau
a, a 2, a3, a\ a5, nG,..., ap~' ,
en négligeant les multiples de p, ce qui est permis, puisque rp se réduit a i. On aura donc, pour la représentation des p — i racines de
xp - i = 3IL P, autres que l’unité, cette suite
qui est la plus simple et la plus naturelle de toutes, puisque toutes les racines y naissent l’une de l’autre par la même puissance : de sorte qu’elles sont exprimées à l’aide d’une seule quelconque d’entre elles et d’un seul et même signe d’opération.
Si vous changez la racine r en une autre quelconque de la suite
il est visible que vos racines se suivront toujours dans le même ordre qu’auparavant. Si vous changez l’exposant a en un autre b qui soit aussi une racine primitive de
'P~~* — i = CD 1p,
comme b ne sera autre chose que a élevée à quelque puissance e première à p — i, il est clair que l’ordre nouveau
ne sera autre chose que le premier où les racines seraient prises de e en e. Ainsi, soit qu’on change la racine r d’où l’on part, soit qu’on change l’exposant a à l’aide duquel on produit les racines l’une apres l’autre, la disposition mutuelle de ces racines n’en peut être troublée; elles demeurent toujours équi-distantes, comme si elles étaient rangées en cercle. C’est à cet ordre remarquable que tient la résolution algébrique des équations binômes, et, en général, celle de toute équation où l’inconnue est une fonction des racines de l’unité : ce qui comprend au fond, comme on peut le démontrer, toutes les équations possibles à racines périodiques [voyez le tome IV des Mémoires <le V Académie des Sciences).
üfh On voit, parce que je viens d’indiquer rapidement, combien la considération des racines primitives est importante, et que si l’on trouve une seule r de ces racines pour le nombre p, on pourra résoudre sur-le-champ toute équation binôme
xu — A = dnp.
Car cette équation n’est possible qu’autant que A est une puissance nleme exacte relativement à p; et par conséquent, il faudra qu’on ait
Tl n’y aura donc qu’à chercher dans la suite des puissances r", / r3'1,... celle qui donne le résidu A ; elle sera de la forme rin, et l’équation
qui deviendra
Xn — A — 31c p , xn — rin = p ,
donnera tout de suite
et multipliant cette valeur r1 par les racines de
yn — i — 3TL p1
lesquelles seront au nombre de 0 , si 0 est le plus grand commun diviseur de n et p — r , on trouvera les 0 racines différentes de la proposée.
On peut tirer de là tous les théorèmes qui regardent la résolution des équations binômes
x" — A = arc p.
20 Au reste, on peut toujours abaisser immédiatement la proposée à une équation semblable du degré 0. Car, soient
n = n'O , et p — \ — p'O,
n' et p' étant premiers entre eux: la proposée donne d’abord, en négligeant les multiples de p,
xn'9 — A = o, ou xn'd = A ;
d’où, en extrayant la racine n'eme départ et d’autre, on tire
x6 = y A = A"', ou bien x° — An' = o;
et il ne s’agit plus que de réduire l’exposant fractionnaire ^ à un entier <p, sans changer la valeur de l’exponentielle. Mais, par hypothèse, A étant une puissance exacte de degré n = n'O , est aussi , par là même, une puissance de degré Q; le nombre A est donc racine de l’équation
qui renferme toutes les puissances 6 des différents nombres i , i , 3, 4 y 1 1 6 , . • . , p i ; et . par conséquent , on a
A 6 — i , on Ap = î .
Donc, à tout exposant de A il est toujours permis d’ajouter un multiple arbitraire de p ', et au lieu de A, on peut mettre A1^31^ > Ole étant un multiple quelconque. Mais si l’on veut actuellement tirer la racine n'eme de A, il faut choisir ce multiple OTL de maniéré que l’exposant i OÏL p' soit exactement divisible par ce qui donne l’équation du premier degré
i -(- Ole p' = n'<p,
équation toujours possible, puisque les coefficients p' et n' sont premiers entre eux. Ainsi l’on trouvera toujours un entier® équivalent à
l’exposant fractionnaire et l’on aura
\J A, ou A"' = AL
et la proposée
x" — A = 3TL p
sera ramenée à la forme
S étant le plus grand commun diviseur de n et de p — 1 ; ce (fuit Ja/~ lait trouver.
Ainsi , quand on propose une équation binôme de la forme
on peut supposer qu’elle est déjà réduite, de maniéré que le degré n soit un diviseur de p — 1 ; ce qui simplifie le calcul, sans rien ôter a la généralité de la question.
Mais cette méthode élégante qu’on vient de suivie pour abaisser l’équation au degré marqué par le plus grand commun diviseur de n et p — 1, nous donne l’idée d’une méthode semblable par laquelle on pourrait essayer d’abaisser de même cette réduite au premier degré, et d’obtenir par là une solution directe de la proposée.
Articlk V.
Solution directe de l’équation xn — A — ,'JTt p .
21, Soit
X" — A = 31 Lp,
ou plus simplement
xn = A
n étant supposé diviseur de p — 1); j’en tire, comme ci-dessus,
et il ne s’agit plus que de réduire l’exposant ^ à un entier e, sans chan-
ger la valeur de A". Or A étant une puissance nieme exacte, est par cela meme une racine de
et l'on a
Ainsi a tout exposant de A il est permis d’ajouter un multiple quel-
n — i , i-^OÎL^
conque de — - — » et l’on peut écrire, au lieu de A , A ” . Pour
en tirer la racine nie"'£, il n’y a donc qu’à rendre ce nouvel exposant i OTb ,J 1 exactement divisible par n, ce qui donne l’équation indéterminée
Or, cette équation est possible lorsque n et — — 1 sont premiers entre eux. Dans ce cas, on déterminera sur-le-champ l’exposant inconnu p qui équivaut à -» et l’on aura, pour une des racines de la proposée,
oc = AL
Soient, par exemple, et la proposée
p = 1 3, n = 3 , x3 — 8 == 3ïi' ( 1 3) ;
on aura, pour une des racines,
l’exposant e étant donné par l’équation du premier degré
i -4- Ote 4 — 3p.
Oettç équation est possible, puisque 3 et 4 sont premiers entre eux ,
SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. Si
et elle donne , pour la valeur de e ,
ou , si l’on veut, d’où il vient
qui est effectivement une des racines cubiques de 8, relativement au nombre premier i3.
22. Voilà donc une méthode directe qui apprend à trouver une solution de l’équation binôme xn — A = DTLp, lorsque le degré n (diviseur de p — i) est premier à I~—~ '■> ce qui fait deux fois autant de cas
qu’il y a de manières de partager le nombre composé p — i en deux facteurs premiers entre eux.
Mais il se présente ici une difficulté singulière qu’il est important de proposer et de résoudre , parce qu’elle touche aux points fondamentaux de la théorie.
Difficulté singulière sur la solution </ui précède.
25. Quand on se propose de trouver les racines nlemes du nombre A, que je suppose être une puissance nieme exacte, on ne conçoit pas d’abord qu’il puisse y avoir aucune méthode par laquelle on dégage une de ces racines, de préférence aux autres, puisque toutes sont également définies par la même équation ou la même propriété de donner
xn = A.
Et pourtant, par la voie que j’ai suivie, je viens de trouver une de ces racines en particulier, et d’obtenir, à l’aide d’une équation du premier degré, un certain exposant entier e qui est tel qu’on a
Ae — x.
On pourrait croire d’abord que cette expression Ae renferme une certaine équivoque, et qu’elle est également propre à représenter les autres racines , en ajoutant, ce qui est permis, à l’exposant e différents
multiples deJ
Mais il est évident , à cause de A
i , qu on re
tomberait toujours sur la même valeur de oc ; de sorte qu’on a une expression Ae, délivrée de toute équivoque, et qui répond à une certaine racine choisie entre les n racines semblables de la proposée : ce qui mérite bien d’ëtre expliqué.
Solution de la difficulté.
24. Pour résoudre cette difficulté, sans rompre la suite de notre raisonnement , nous devons donc faire voir tout de suite que, parmi les n racines de A, il n’y en a qu’une seule qui jouisse de la propriété de pouvoir être représentée par une puissance entière du nombre A : or, c’est ce qu’on peut démontrer par la nature même de la question.
Et, en effet, s’il est possible qu’une des racines nlèmes de A soit représentée par une puissance entière Ae du nombre A lui-mème, comme, par hypothèse, A est une puissance exacte du degré n, Ae sera aussi une puissance exacte du même degré n. Donc Ae sera tout à la fois racine de la proposée
xn — A = o,
et racine de l’équation
oc n —1=0.
Or il est aisé de voir que ces deux équations binômes ont une racine commune et qu elles n’en peuvent avoir qu’une seule, précisément parce qu’elles sont de degrés n et p 1 premiers entre eux.
C’est ce qu’on peut prouver directement par la recherche actuelle du commun diviseur entre les deux binômes
xn — A, et oc n — i .
Car soit, pour abréger,
et supposons qu’on ait :
m — n (j -h r, n = rq' -t- r', r = r'q" -t- r ", r' = r"q'"-\- r'",
( n étant < m, r < n, r' < r, r" < r',...).
Si 1 on fait l’opération du commun diviseur entre les deux binômes xm — i et xn — A, jusqu’à ce que le plus petit exposant n soit tombé au-dessous de /n, ou aura d’abord le premier reste
A9 xr — r ;
si l’on fait ensuite la meme opération entre xn — A et ce reste A?xr— i , on arrivera au deuxième reste
xr' - A1+??' ;
si l'on fait la même opération entre
A.v xr — i et x' — Ai+y,/, on arrivera au troisième reste
et si l’on continuait, on trouverait pour le reste suivant
XT'" ^ 1 +??'-*-?"' W+7" («+??')]
et ainsi de suite. D’où l’on voit que les exposants successifs de x son! les restes r, r r", r"',... de la division de rn par n, de n par r , île r par r ', etc.; et que les exposants de A sont les numérateurs successifs
des fractions convergentes vers la fraction ^ dans le développement
de cette valeur en fraction continue.
Mais si m et n sont premiers entre eux, on arrive nécessairement à quelque reste tel que r" qui est égal à l’unité; et le reste suivant r'" est égal à zéro.
Donc, par l’opération du commun diviseur entre les binômes proposés, on arrive nécessairement à un reste du premier degré, tel que
et le reste suivant est
xO (V-Hjf" (i -f-ŸV' )]
Or ce reste est nul par hypothèse; car l’exposant de A est alors le numérateur même de la fraction proposée -- - qui est la dernière des frac-
fions convergentes ; et par conséquent, le reste dont il s’agit se réduit à
x° — Am ou i — Am,
qui est nul par hypothèse.
Donc , les deux binômes proposés ont le commun diviseur du premier degré ,
lequel, égalé à zéro, donne
Cette expression s’accorde parfaitement avec l’expression Àe que nous avons trouvée ci-dessus d’une manière directe : car le nombre e était déterminé par l’équation
i f 3TL m = ne,
et cette équation, résolue par la méthode des fractions continues, donne
e = -q-q" — qq'q"',
ce qui est, abstraction faite du signe, le numérateur de la fraction
convergente qui précède immédiatement la fraction Quant au signe
moins , il tient ici au quantième du terme où l’on a supposé que la fraction continue s’arrête : si elle avait un terme de moins, ou un terme de plus , on aurait trouvé l’exposant e positif. Au reste , quand on aura un exposant négatif — e, on pourra toujours le changer en un autre qui soit positif, en écrivant Am e au lieu de A-*.
On voit donc que, si m et n sont premiers entre eux, les deux équations binômes
xm —1=0, et xn — A = o,
ont une racine commune, et n’en peuvent avoir qu’une seule; et que la première méthode qu’on a suivie ne pouvait conduire qu’à cette racine singulière de la proposée
xn — A = o,
racine distinguée des n — i autres en ce que cette valeur est à la
lois une racine nteme de A, et une puissance nlème de quelque autre nombre.
25. Au reste, on aurait encore pu arriver au résultat précédent par une opération plus simple sur les deux équations proposées
xm = i et xn — A.
Car, à cause de m~nq-\- r, la première devient
xnq.xr — i,
et mettant pour xn sa valeur A tirée de la seconde, on trouve d’abord A9 xr — i , ou xr — krq ;
mais, de même, à cause de n = rq' -+- r', xn— A devient
xrq.xr = A,
et mettant pour xr sa valeur A-9, on trouve
A~qq‘.xr’ — A, ou bien xr' = A44"79’; de la même manière , on trouverait
xr" = A-<?-?"(,+??'), etc., etc., comme ci-dessus.
Si l’on suppose de même r" = i , et partant, r'"— o, on arrive également à l’équation
x = A.~q~q'{i~hqq),
qui est vraie pourvu qu’on ait aussi la suivante
x° — Am, ou i — Am = o,
ce qui est la condition qui a lieu ici par hypothèse.
2(i. Quand les exposants m et n ne sont pas premiers entre eux, l’équation
i -4- Dr i = ?ie
est impossible, et si m est la plus petite puissance de A qui amène l’unité, c’est-à-dire si le nombre A est une des racines primitives de
Am — i = o,
on peut conclure qu’il n’y a aucune expression de la forme Ae qui puisse etre racine de la proposée
Mais si A, qui satisfait toujours à l’équation
n est simplement racine primitive que d’une équation inférieure
et que ni soit premier à «, la proposée aura encore une racine de ta forme Ae. Car on trouverait, comme précédemment,
ou, à cause de A"' = i ,
M- JR m'
x = A n = A'', l’exposant e étant donné par l’équation
i -+- JR m' = ne,
qui est possible, quand on suppose m1 et n premiers entre eux
Si cette dernière condition n’a pas lieu , la proposée ne peut avoir encore de racine de la forme Ae.
‘27. Nous voyons donc que l’équation
xn — A = ;)Jl p
ne peut jamais avoir de racine de la forme Ke : i° Quand A est une des racines primitives de réquation
A n — i = JR. p-
a0 Quand A est racine primitive de quelque autre équation de degré m ' qui n est pas premier avec n.
Ces deux cas enveloppent tous les autres; car, quel que soit le nombre donné A, il est nécessairement racine primitive, ou de
A'" — i = JR p,
ou de quelque autre équation inférieure de degré m' diviseur de m
Dans l’application, pour découvrir ce degré m', ou cette équation
A'"’ - 1 = 3IL p,
dont A est racine primitive, il 11’y aura rien de plus simple que de faire les puissances successives de A, jusqu’à ce qu’on en trouve une Am qui donne l’unité. On déterminera ensuite le plus grand commun diviseur ô de ni' et n. Si l’on a 0 > 1, il n’y aura aucune racine de la forme Ae à chercher. Si l’on ai 9 — 1, il y en aura une x = A% et l’exposant e sera donné par l’équation du premier degré
