Maintenant je dis que l'équation

X° — I = 3Tc pm,

où D est un diviseur quelconque de n, ne peut avoir plus de D racines différentes au-dessous de pm.

Ce diviseur D de n , c’est-à-dire de pm~' ( p — 1), ne peut être que de la forme OpJ ; 6 étant un diviseur de p — i, et v un exposant quelconque < m : il s’agit donc de démontrer que l’équation

xopJ r = DTL pm

ne peut avoir plus de 0pJ racines différentes inférieures à pm.

Comme cette démonstration est longue et difficile , j’aurai soin de la diviser, et d’en ordonner les parties de manière à y ménager comme autant de points de repos.

Démonstration .

1. Je remarque d’abord que, quelles que soient les racines de cette équation, relative au module pm, elles doivent satisfaire, à plus forte raison , à la même équation rapportée au simple module p , c’est-àdire à l’équation xûpJ — i = 3TL p. Mais il est clair que toutes les racines de celle-ci doivent satisfaire à l’équation x° — i = ^ p, puisque 6 est le plus grand commun diviseur de 0pJ et p — i. Donc toutes les racines de la proposée doivent satisfaire à la simple équation

X9 — I = 3\lp.

Or celle-ci ne peut avoir que 0 racines différentes a, b , c,... en nombres inférieurs à p ; et, par conséquent, tous les nombres possibles qui peuvent y satisfaire sont nécessairement de la forme

a-+-3\lp, b -H p, c -h

donc toutes les racines de la proposée doivent se rapporter aux 0 formes différentes

a -+- ortp, b -+- OÏL p, c -+- OïLp, —

IT. Soit donc a une de ces racines qui répondent à la forme n-K DKp. Si l’on prouvait, en premier lieu, que a -+- yp™—' en est une autre, quel que soit y, il s’ensuivrait qu’on en peut compter ainsi un nombre p% en donnant à y les p' valeurs successives o, 1,2, 3, 4v jus" qu’à p' — f ; et sans aller au delà, puisque les racines a -\-yp™—'J reviendraient alors aux précédentes, mais prises au-dessus du module pm.

Si l’on prouvait, en second lieu, que toute autre racine a! qui répondrait à la même forme que a, c’est-à-dire à la forme a -t- DKp7 et d’où résulterait ainsi

retombe nécessairement sur une de celles que je viens d’énumérer, il s’ensuivrait que la proposée ne peut avoir plus de p' racines différentes relatives à a, plus de pv racines relatives à b , etc., et, par conséquent, plus de dp' racines différentes, au-dessous du module pm.

III. Pour établir le premier des deux points qu’on vient de supposer, il suffirait de prouver que si l’on cherche, par le binôme de Newton, le développement de (a.-\-ypl)ep\ on trouvera un résultat de cette forme

(a H- ypl)6pJ — aepv + Y pH-v,

où Y est un entier. Car, en faisant i -+-v = m, c'est-à-dire i — m — v, on verrait que le second membre se réduit à 1 DK p'n, puisque a étant racine par hypothèse, câpJ se réduit à 1 -+- DKpm : d’où l’on pourrait conclure que si a est racine de la proposée, a. + ypm~v en est une autre quel que soit y : ce qui est la première de nos deux suppositions.

Ensuite , il faudrait prouver que , si y est premier à p , le multiple Y est aussi premier à p : de sorte que pi+v est la plus haute puissance de p , par laquelle on puisse diviser le terme Yp'-*-', et qu’ainsi a -+- yp1 ne peut etre racine si l’exposant i tombe au-dessous de m — v. Car il s’ensuivra que toute racine a! relative au résidu a, et par conséquent de la forme â-t -yp1 ■> retombe nécessairement dans la forme a -hyp”'— ' : ce qui est la seconde de nos deux suppositions.

IV. Tout se réduit donc enfin à démontrer que l’on a toujours, quel que soit y, l’équation

(a -K yp1 )6p'- = a 0pJ -f- Yp ,+v,

telle, que Y est un nombre entier; et que, si y est premier à p , Je nombre Y est aussi premier à p.

Y. La démonstration immédiate de ce théorème, qui paraît facile au premier coup d’œil, présente néanmoins beaucoup de difficultés, à cause de l’exposant composé QpJ d’où naissent les coefficients du binôme. Mais voici un moyen très-simple de sortir de cet embarras, et d’arriver au théorème de la manière la plus claire et la plus rapide C’est de supposer qu’au lieu d’élever tout d’un coup le binôme a H- ypl à la puissance 0pv , on l’élève çl’abôrd à la simple puissance p; et puis le résultat obtenu à la puissance p; et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive au résultat qui réponde à la puissance pv ; et enfin, de supposer qu’on forme la puissance Q de ce dernier résultat.

Or, en élevant le binôme a -f - ypl à la puissance p, on a

(a yp‘ )p = ap -I- p.u.p~' ypl + ~'P~~ aP-2 + •••>

où l’on voit que le second terme est divisible par p'+' , et que tous les autres le sont, au moins par p'+2, pourvu que le nombre premier p

soit > i : car le coefficient du troisième terme, qui est^^ — -, est alors

divisible par p, et par conséquent ce troisième terme est divisible par p2'-*-', et l’est ainsi, au moins, par p,+2, puisque i est supposé être au moins i : quant aux autres termes qui contiennent p31, pu, etc., il est évident qu’ils sont au moins divisibles par p,+2; on a donc

(a. +yp‘)p = a^ + Yp41,

où Y( est un nombre entier. Et l’on voit, de plus, que cet entier Y; est de la forme a.p~K y -+- ^ p : si donc y est premier à p (comme a l’est aussi par hypothèse), le multiple Y; sera aussi premier à p.

Mais par la même raison , en élevant le nouveau binôme a.p Y tpl+i à la puissance p, ce qui donnera la puissance p2 du premier binôme a -i - y p', on trouvera

(a -h y Pi)pi = apS ■+■ Ywp,+2,

ou Yr sera un entier, premier à p, si Y,, et par conséquent si y est pre-

inier à p. Et ainsi de suite; d’où l’op conclut

(a H- ypl Y = up' + Y, />'+',

où Yv est un entier, premier à p si jr est premier à p.

Actuellement, qu’on élève à la puissance 0, et il vient

(a -4- jpl )ep' = u->p' ■+■ Y p'^-%

où il est évident que Y est un entier de la forme

or, si j est premier à p, comme Y, le sera aussi , et que a et 0 < p le sont aussi par hypothèse, il s’ensuit que Y sera aussi premier à p. Ce qui donne enfin le théorème général qu’il s’agissait de démontrer. 51. Il résulte de là que l’équation

xn — 1 = DTLpm ,

où le nombre n est égal à pni~' ( p — 1), a des racines primitives , c’està-dire des racines qui, par leurs puissances successives o, 1, 2, 3,..., n — t, sont propres à former la série complète de tous les nombres 1, e, e' , e",... inférieurs et premiers à pm. Car, puisque aucune équation

xü — 1 = 3TL pm ,

ou D est diviseur de n, 11e peut avoir plus de D racines différentes audessous de pm, on démontrera ici, par un raisonnement tout à fait semblable à celui du n° !2, que parmi les/i racines de la proposée, il y en a au moins une qui, par ses puissances successives o, 1, 2, 3,..., n — 1, ne ramènera point l’unité avant la puissance rièmc, et qui, par conséquent, formera la suite complète de toutes les racines de la proposée.

Et maintenant, si / est une de ces racines primitives, il est clair que toute puissance rh, d’exposant h premier à //, en est une autre; et que toute puissance /'?, d’exposant q diviseur de //, est une racine primitive de l’équation binôme inférieure

xi — r = Ole p'n.

32. Enfin , tout ce qu’on vient de démontrer pour un module pm qui est une puissance d’un nombre premier supérieur à 2, peut également s’appliquer au cas où le module est le double de cette puissance, c’està-dire est égal à 2 pm.

En effet, en considérant l’équation

xn — 1 = OÏL (2 p'n ),

où le nombre n qui marque combien il y a de nombres inférieurs et premiers à 2 p'n est le même que ci-dessus , c’est-à-dire est pm~\p—\ , on ferait voir de la même manière que l’équation

xopJ — 1 = yrc (2 pm)

ne peut avoir que 0pJ racines différentes au-dessous de 2 pm. Car ces racines devant toutes satisfaire à la simple équation

et celle-ci ne pouvant avoir plus de 0 racines en nombres a, ù, c,... inférieurs à 2p, il s’ensuit que toutes les racines de la proposée doivent entrer dans les 0 formes

a-\-DHlp, b ^ p, c h- DU py...,

et que, par conséquent, si a est une racine de la forme a -+- OU p, ou a est nécessairement impair et OTL pair , a + y p'n— v en est une autre, quel que soit le multiple pair y , pris depuis o jusqu’à 2 pJ — 2, ce qui fait en tout pJ valeurs différentes au-dessous de 2 pm.

On ferait voir que toute autre racine a' se rapportant à la même forme a -+- 3K- p, rentrerait nécessairement dans les précédentes, etc. ; d’où résulte exactement, pour les équations binômes rapportées au double d’une puissance d’un nombre premier, la même suite de propriétés que pour les équations binômes rapportées à la simple puissance de ce nombre premier.

35. Quand le nombre premier p est égal à 2, toutes ces propriétés n’ont plus. lieu; et l’équation

xn — 1 = OU ,2'"

ne peut plus avoir de racines primitives, excepté dans le cas unique

de m — 2, ce qui donne le module 2'” égal à 4- En effet, l’exposant n , qui devient alors égal à 2, ne peut avoir au-dessous de lui d’autre diviseur que l’unité; or, l’équation

x — \ — 0Tü(2-2)

ne pouvant avoir qu’une seule racine 1, il s’ensuit que la proposée

x2 — 1 = 3TL (,22)-,

qui a deux racines, en a nécessairement une qui est primitive.

Au reste, la raison de cette exception particulière se trouve encore dans la propriété qu’ont les équations binômes rapportées au double d’un simple nombre premier p, d’avoir des racines primitives, quel (pie soit p . et par conséquent dans le cas même où p = 2.

Manière de résoudre l’équation — 1 = 311 pm par l’équation x° — 1 — OÏL p .

34. Il résulte du théorème précédent que si a est une racine de xD — 1 — OÏL pm, où D = ôpv,

a 4- jrpm—v nomseulement en sera une autre, quel que soit y, mais encore sera une racine relative au module p'n+> si l’on choisit y d’une manière convenable.

En effet, on aura

(a 4- j ypm~'J)D = aD 4- .y.p"‘ 4- etc.,

où le reste des termes marqué par etc. est au moins divisible par or. puisqu’on a , par hypothèse ,

au — [ = A p'n1

il viendra

(a 4- jp'n~ V)D = 1 4- (A 4- 9y.D~'.y) p'n 4- etc. ;

donc si l’on choisit y de manière à rendre le coefficient (A 4- 6al)~'.y) divisible par p , tout le reste des termes après le premier 1 , sera divisible par pm+' ; il n’y a donc qu’à déterminer y par l’équation du premier degré

A 4- 0.y.°~l.y = Oïl pt

équation toujours possible; car le coefficient de j est premier a p, et A est aussi premier à p, puisque a est supposé racine de

x° — 1 — are p'n,

pour le module p"1, et non pas pour le module plus élevé pm+i .

Ainsi, quand on connaît une racine a qui appartient à l’équation

jcn — 1 = Oïl p:nf

et seulement pour le module p'n, de manière que le multiple OH- est un nombre A qui n’est point divisible par p , on peut toujours trouver une racine a 4 -ypm~^v qui résout la même équation pour le module plus élevé pm+i ; c’est-à-dire qu’on peut résoudre l’équation

xD - 1 = Oïl(pm+<).

Donc, si l’on a une racine de la proposée pour le simple module p, on en peut déduire une autre pour le module p2, et de celle-ci une autre pour le module p3, et ainsi de suite; de sorte que la résolution d’une équation

Xu — I = 31^ p"‘

ne dépend que de la résolution de l’équation

,rD — r = 31*1- p , rapportée au simple module p.

Article Vil.

De l’équation binôme xa — i= 3Fi(2”), où l’exposant m du module im est supérieur à 2.

55. Cette équation du degré n=im~' a toujours a"1-' racines différentes i.’3, 5, 7,9,..., 2'" — 1, en nombres inférieurs et premiers au module 2'"; mais l’équation du degré sous-double 2m~2,

a encore les mêmes racines : car ces racines étant nécessairement de la forme 1 4-^.2, il est facile de voir (en faisant le carré de ce binôme, et

puis le carré du résultat, et ainsi de suite), qu’on a toujours (i -i -y.2fv — i h- an.

quel que soit y ; on a donc

(i h- y — i -+- aiL am.

Et cela peut se voir encore en observant que les racines peuvent toutes se mettre sous la forme ±. ce qui donne évidemment

(riz i -h y.22)2m~~ — i ■+ 3^ (2"*).

Il résulte donc de là qu’aucune racine de la proposée 11e peut , par ses puissances successives o, 1,2, 3,..., fournir plus de la moitié des nombres inférieurs et premiers à 2m, et par conséquent 11e peut être une racine primitive de l’équation

x2m~' — i = 3ïl (a«).

36. Mais s’il n’y a point ici de racines primitives absolues , on peut démontrer, du moins, qu’il y a toujours quelque racine propre à fournir, par ses puissances, la moitié des 2'""' résidus inférieurs et premiers à 2m, ce qui mérite d’être remarqué.

En effet, si l’on considère le binôme 1 + y. 2*, où je suppose que y soit impair, et i au moins égal à 2, il est facile de voir qu’on aura toujours l’équation

ou Y sera un entier impair.

Donc la plus haute puissance de 2, qui puisse diviser (1 -+-y. 21 )2V — 1, est 2,+v; donc pour que le binôme i-hy.21, élevé aux puissances successives o, 2, 2% 2%..., puisse ramener l’unité par rapport au modide 2"', il faut au moins aller jusqu’à la puissance 2% telle que y + i soit égal à m.

Donc, si l’on donne à i la plus petite valeur qu’il puisse avoir dans le théorème précédent, et qui est i— 2, on aura le binôme 1 -hy.22, dont aucune puissance 2, 2% 23,... ne donnera l’unité avant la puissance 2'"a. On ne pourra donc trouver 1 pour aucun des exposants 2, 4, 3,... qui forment tous les diviseurs de 2m 2 ; et comme, d’un autre côté, cela

ne pourrait avoir lieu pour aucun autre exposant sans avoir lieu pour son commun diviseur avec a"1-2, il s’ensuit qu’on ne pourra trouver l’unité pour aucun des exposants i, 2, 3, 4, 5,... inférieurs à 2m-2.

Donc la racine x = 1 -\- y. 12, où y est un impair, est une espèce de racine primitive de l’équation proposée, en ce qu’elle fournit par ses puissances successives o, 1,2, 3, 5,... une moitié des a'"-1 ra-

cines différentes de cette proposée.

Et maintenant, il est clair qu’en prenant dans cette période de résidus le troisième terme, le cinquième, le septième, etc., on aura autant de ces sortes de racines primitives qu’il y a de nombres inférieurs et premiers au nombre a'”-2, et que, par conséquent, il y en aura a'"-3 . c’est ce qUi s’accorde d’ailleurs avec l’expression 1 -4- y. a2 de ces racines primitives, puisqu’on ne peut donner à y que les am 3 valeurs impaires 1, 3, 5, 7,..., (a"1'2 — 1).

Si, au lieu du binôme 1 ■+■ y. a‘ , on eût considéré le binôme

! j y. a', on aurait trouvé exactement les mêmes propriétés; d’où

je conclus, en donnant h y les mêmes valeurs que ci-dessus, qu’il y a encore a"1-3 nouvelles racines primitives de la même espèce que les précédentes.

57. Mais il faut bien remarquer que chacune de ces nouvelles racines fournit, par ses puissances, une moitié des résidus qui n’est pas la même que la moitié précédente, et que ces deux périodes n’auront de commun qu’une moitié de leurs termes, et, par conséquent, un quart de tous les résidus.

Ainsi, pour le cas de m = 5, ou pour le module a5 = 3a, on a l’équation

.r,c — 1 1= 3TL (3a),

qui a les seize racines 1, 3, 5, 7, 9,..., 3i, et qui n’en a pas davantage au-dessous de 3a. Mais l’équation

.x8 — 1 = DM (3a),

du degré sous-double, a les mêmes seize racines, de sorte qiie cette équation a deux fois plus de racines que d’unités dans l’exposant de son degré. Aucune des seize racines de la proposée ne pouvant donc passer la huitième puissance sans ramener l’unité, 11e peut fournir plus de huit résidus différents par rapport au module 3a; et il n’y a point de racines primitives absolues.

Mais il y en a, du moins, de relatives à la moitié des seize résidus dont il s’agit; et ces racines sont

1 4» 1 ■+■ 3.4, 1 + 5.4, 1 + 7-4» ou bien 5, i3, 21, 29.

Et, par exemple, la première 5, étant élevée aux puissances successives o, 1, 2, 3, 4, 5,.., fournit les huit racines différentes

et chacune des trois autres i3, 21, 29 fournirait exactement, mais dans un autre ordre, la même période de ces huit résidus.

Ensuite, il y en a quatre autres, savoir :

— n- 4> — 1+3.4» — 1+5.4, — i + 7-4> ou bien 3, ri, 19, 27, telles que chacune fournit aussi huit résidus différents 1 , 3, 9, 27, 1 7, 19, 25, Il ;

nouvelle période qui n’a de commun avec la première que les quatre termes 1, 9, 17, 25.

Ainsi, dans le polygone régulier de trente-deux côtés, si l’on joint les sommets de 5 en 5, et puis dans le nouveau polygone qui en résulte, si l’on joint encore les sommets de 5 en 5, et qu’on fasse de même dans le polygone résultant, et ainsi de suite, on produira dans un certain ordre huit des seize polygones réguliers différents de trentedeux côtés.

Et, en prenant un quelconque de ceux qui restent et faisant la même opération , on produira dans un ordre semblable les huit autres polygones réguliers; de sorte que les seize polygones réguliers de trentedeux côtés seront partagés en deux groupes semblables, où chaque polygone dérive du précédent par la même loi.

Mais cette manière de les partager en deux groupes n’est pas unique, car en employant une racine de la forme — 1 + 4 y, telle que la racine 3, on formera huit polygones réguliers qui ne seront pas les mêmes que les huit premiers dus à la racine 5 : il n’y en aura que quatre de communs aux deux périodes.

58. En général , la racine .*■:= 1 +j. 2*, oùjr est impair, et i au moins p • i3

égal à 2, conduira à une période de im~l racines différentes; et x' = — 1 -h y. 2' conduira à une période d’autant de racines; mais ces deux périodes n’auront de commun que la moitié de leurs termes : car il est aisé de voir que les puissances paires de x1 sont les seules qui puissent revenir, et qui reviennent en effet (dans un autre ordre, ce qui Fst indifférent) aux puissances paires de x.