Ainsi, pour le module 32, l’équation

x 8 — 1 = oru 32

a seize racines x = L’équation

rt: 1 +J-.22, en faisant y = o, 1 , 2, 3, 4» 5, 6, 7. x 4 — [ = 3TL 32

en a huit de la forme ±. 1 -1- y. 23 qu’on trouve en faisantj^=o, i , 2, 3, Enfin l’équation

x 2 — 1 = OIL 32

en a quatre de la forme ± 1 4- y. 2*, en y faisant = 0, r.

Il n’y a que l’équation simple

.r — i = 3ïb 2m,

et l’équation

X2”'”' — l = 3TL l'n,

qui aient précisément autant de racines qu’il y a d’unités dans l’expo sant de leur degré; toutes les autres en ont le double.

Mais en voilà assez sur le cas singulier du module égal à une puissance de a ; il faut voir maintenant ce qui regarde les équations binômes rapportées à des modules composés.

Article VIII.

De l’équation binôme xn — i — 3fl(N), rapportée à un module composé N.

4t. Soit N = A“.B6.CC... ; A, B, C,.. étant des nombres premiers absolument; si n est le nombre qui marque, combien il y a de nombres i, e, e', e",... inférieurs et premiers à N, on aura l’équation

xn — i = 3Tb (N)’

qui admettra n racines î, e, e', e",... et qui n’en aura pas davantage.

Mais x étant premier à N, est aussi premier à chacun des facteurs Aa, B*, Cc,... de ce nombre composé N; on aura donc aussi

X* — I = 3IL (Aa), xê — i = 3IL(B *), X/— I = 3TL(CC),...,

a, 8, y,... étant les nombres qui marquent combien il y a de nombres inférieurs et premiers aux facteurs respectifs Aa, B6, Cc,.... Or, soit m le plus petit nombre divisible à la fois par a, S, y,... ; il résulte des équations précédentes qu’on aura aussi

xm — i = 3TL(A8), xm — i = 3TL (B6), xm — i + 31b (C%..,

c’est-à-dire que le binôme xm— i sera divisible à la fois par les facteurs Aa, B6, Cc,... et par conséquent divisible par leur produit N, puisque ces facteurs sont premiers entre eux. On aura donc, pour une valeur quelconque de x,

- i = 3IL(N).

IOO

Mais le plus petit nombre m qui soit divisible à la fois par a, é, y,... est toujours moindre que le produit aëy..., si ces nombres ne sont pas premiers entre eux ; or, excepté le cas où N serait simplement une puissance A" d’un nombre premier A, ou le double de cette puissance, les nombres

a = A*-1 (A - j), ê = B6-' (R - i), y = Cc~4 (C - i),...

ne sont jamais premiers entre eux , puisqu’ils ont au moins le commun diviseur a ; on a donc nécessairement le nombre m < n.

Donc un nombre quelconque x, premier à N, étant élevé aux puissances successives 1, 2, 3, 4 ? amènera toujours l’unité pour résidu, avant qu’on arrive à la puissance n ; donc il n’y a pas de nombres x dont les puissances successives x , x2, , x3, x puissent former tous les nombres inférieurs et premiers à N; et par conséquent le nombre composé N, ou, pour mieux dire, l’équation

xn — T = 3fl (N),

ne peut avoir ce qu’on appelle des racines primitives.

42. Quand le nombre N est une puissance A" d’un nombre premier, ou le double aA" de cette puissance, cette conclusion n’a plus lieu: car on a alors

et le plus petit nombre m divisible par a est a lui-même; ainsi l’on a

et il n’est plus prouvé que, dans ce cas, l’équation

x” — 1 = 3TU (N)

ne puisse avoir des racines primitives : et, en effet, on a démontré cidessus que cette équation a toujours de telles racines.