CHAPITRE Ier
De quelques propositions Jondamentales de la théorie des nombres.
Je commencerai par établir le théorème général qui regarde le nombre des racines ou solutions entières d’une équation indéterminée de degré quelconque. Ce théorème est tout à fait analogue à celui qui sert de base en algèbre h la théorie générale des équations, et je vais
les démontrer tous deux de la même manière. J’examinerai ensuite les autres théorèmes à mesure qu’ils se présenteront dans le cours naturel de ces réflexions.
Article Ier.
Sur le nombre des entiers qui peuvent rendre un polynôme divisible exactement par
un nombre premier.
4. Considérez un polynôme rationnel et entier du degré m, de la forme
xm kxm~' -+- Bxm 1 -4 h Sx -4- T,
et que, pour abréger, je désignerai par X. Prenez m quantités quelconques a, b , c,..., s, t , et divisez le polynôme X par le binôme x— a, jusqu’à ce que le reste ne contienne plus la lettre x, ce qui est toujours possible; vous aurez l’équation
X = (x - a) X' -+- Xa,
le quotient X' étant un polynôme du degré m — i en x, et le reste Xa étant le polynôme proposé X où l’on aurait changé x en a.
Divisez de même X' par x — b et vous aurez de la même manière un quotient X" du degré m — 2, et un reste X',, qui sera le polynôme X' où l’on aurait changé x en ù; et par conséquent vous aurez
Continuez de même de diviser X" par x—c, et ainsi de suite jusqu’au dernier polynôme Xm* qui ne sera plus que du premier degré en x. et que vous diviserez par x — t‘, et vous trouverez enfin
Xm-‘ = (x — t) -4- X',”-1.
Substituez maintenant dans la première équation, à la place de X', sa valeur donnée par la seconde, et dans l’équation résultante, à la place de X", sa valeur donnée par la troisième, et ainsi de suite; et vous aurez l’équation
X = Xa -t- (x — a) X'ft -+- (x — a) (x — b) X" -4- (x — a) (x — b) (x — c) X " • • •
SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. i3
équation identique , c’est-à-dire , qui aura lieu quelles que soient les quantités que vous vouliez prendre pour a , b, c,..., s, t.
2. Or actuellement supposons que la quantité désignée par a soit telle qu’étant mise au lieu de x dans le polynôme proposé, elle réduise ce polynôme X à zéro ; alors le terme marqué par Xa sera nul de lui-même, et l’équation précédente se réduira à celle-ci :
Supposons ensuite que b soit aussi une quantité capable de réduire X à zéro; on aurait donc Xb = o ; mais l’équation précédente, en faisant x — b, donnerait X6 = [b — a) X', ; donc si b diffère de a, X6 — o donne nécessairement X', = o, et la transformée se réduit encore et devient ainsi
-+- {x — a) (x — b)(pc — c)---(x — s) (x — t).
De même, si x—c rend nul le polynôme X, on aura X" = o, et ainsi de suite; de sorte que si a , b, c,..., s, t sont m quantités qui puissent réduire le polynôme X a zéro, ce polynôme peut être transformé identiquement dans le produit
ce qui est le fondement de toute la théorie des équations.
3. On voit par là qu’il n’y a pas plus de manières de réduire à zéro le polynôme X du degré m, qu’il n’y a de manières de réduire à zéro le produit de m facteurs x — a, x — b, x — c,..., x — s, x — t-, or il est évident qu’un produit ne peut jamais devenir nul à moins que quelqu’un de ses facteurs ne soit nul en particulier; de plus, chaque facteur x — a ne peut devenir nul que d’une seule manière, savoir, en faisant x = a ; donc un polynôme X du degré m ne peut devenir nul pour plus de m valeurs de x, c’est-à-dire que l'équation X — o ne peut avoir plusde racines qu’il n’y a d’unités dans le degré de cette équation.
4. Soit maintenant p un nombre premier quelconque , et considé-
i4 RÉFLEXIONS
rons les nombres entiers x inférieurs à p, qui peuvent rendre le polynôme X divisible par p : ces nombres entiers seront les solutions ou racines de l’équation indéterminée X = DU p, en désignant par 01 Lp un multiple quelconque de p ; et je dis que cette équation ne peut avoir plus de racines qu’il n’y a d’unités dans le degré m de cette proposée. En effet, si nous reprenons l’équation identique
X= Xa +(x — a)X'b -+-(x — a)(x — b) X" 4-(.r — a) {x — b) (x — c) X',h — -t- (x — a){x — b)[x — c)-'-(x — s) {x — t),
nous voyons qu’en supposant a un nombre inférieur à p, qui rende X divisible par p, de manière qu’on ait X„=0TLp, le polynôme X devient , à ce multiple près de p,
De même, si x = b rend X divisible par p , de manière qu’on ait Xb = 01 Lp, comme l’équation précédente donne X4 = [b— a)X'b, il en résulte qu’on aurait [b — a) X' = DICp; mais b et a étant des nombres différents inférieurs à p, il est clair que le facteur b — a ne peut être divisible par p; donc l’autre facteur X'6 doit l’être; donc Xb = OTcp donne nécessairement X'h — OTLp, et le polynôme X, à un multiple près du nombre p, se réduit à
De même, si le nombre x = c rend X divisible par p, on en conclura X" = OTLp, et ainsi de suite; de sorte que si a, b, c,..., s, t sont ni nombres entiers inférieurs à p qui rendent X divisible par p, ce polynôme X du degré m sera, à des multiples près du nombre p, équivalent au produit des m facteurs binômes x— a , x— b , x— c,..., x—s, x—t. Ainsi il n’v aura pas plus de manières de rendre le polynôme divisible par p qu’il n’y en a pour le produit équivalent dont il s’agit.
Or, p étant un nombre premier, ce produit ne peut devenir divisible par p, qu’ autant que l’un des facteurs le sera séparément; mais il est évident que chacun d’eux, tel que x — u, ne peut l’étre que pour une
SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. i 5
seule valeur de x inférieure à p, savoir, x = a\ donc l'équation indéterminée X = Dïip, du degré ni, ne peut avoir plus de m racines ou solutions en nombres entiers inférieurs à p.
Remarque I.
5. J’ai supposé tout de suite que le premier terme xm de la proposée n’avait pour coefficient que l’unité, parce qu’il est aisé de voir qu’on peut toujours réduire à cette forme une équation quelconque
Axm + Bxm-' + Cxm-2 H h Sx + T = Oïl p ,
en ajoutant aux coefficients T, des multiples convenables
de p , qui les rendent tous divisibles par le premier coefficient A que je suppose premier à p. Il est évident que ces multiples de p ajoutés aux coefficients ne peuvent changer en rien les racines de la proposée, mais ils rendent tout le premier membre divisible par A, et l’on a la transformée
Xm -+- A'xm~{ -4- B'xm~2 H h S'x -+- T' — DRp,
qui a les mêmes racines et dont le premier terme n’a d’autre coefficient que l’unité.
Si A n’était pas premier à p, il serait donc de la forme pp et l’on pourrait alors supprimer le premier terme de l’équation, laquelle ne serait ainsi que du degré m — î ; et de même pour le coefficient suivant B, s’il n’était pas premier à p.
Si tous les coefficients A, B, C,..., S, T étaient divisibles par p, le polynôme proposé serait toujours divisible par p pour toutes les valeurs possibles de x, ou, pour mieux dire, il n’y aurait plus alors d’équation.
6. Quant à ce multiple convenable de p qu’il faut ajouter à un coefficient B, pour le rendre divisible par A, on le trouve facilement en posant l’équation du premier degré,
B H- ip .
— — un entier = e ,
OU
e A — ip = B ,
équation toujours possible si A est premier à p , et qui fera connaître les valeurs de i et de e par la méthode connue [*]. On opérerait de la même manière pour rendre tous les autres coefficients C, D,..., S, T divisibles par A. Ces transformations sont tout à fait analogues à celles qu’on emploie dans les équations algébriques pour faire disparaître les fractions et réduire le premier coefficient à l’unité.
Ainsi nous considérerons toujours les équations indéterminées sous cette forme très-simple, où le premier coefficient est i, et tous les autres réduits à des entiers, comme nous l’avons supposé dans la démonstration du théorème fondamental que nous venons de présenter (n° 4)..
Remarque II.
7. Lagrange est, comme on sait, le premier qui ait proposé et démontré ce théorème, dans les Mémoires de V 'Académie de Berlin pour l’année 1768. Euler, dans le tome XYI1I des Nouveaux Commentaires de Saint-Pétersbourg , l’a démontré dans le cas de l’équation binôme, mais par une méthode qu’il est facile d’étendre à une équation quelconque. O11 le trouve encore dans les Recherches de Legendre sur l’analyse indéterminée, dans sa Théorie des nombres , et dans l’ouvrage de M. Gauss. Mais toutes ces démonstrations sont à peu près la même présentée de différentes manières : la nôtre nous paraît aussi claire et aussi simple qu’on puisse le désirer.
Remarque III.
8. Cette démonstration suppose essentiellement que le nombre ou module p auquel on rapporte l’équation soit un nombre premier. Car s’il s’agissait d’un module composé N, le produit des binômes x — a, x — b, x — c,... pourrait être encore divisible par N sans qu’aucun d’eux le fût séparément. Il suffirait que l’un de ces binômes fût divisible par un des facteurs de N, et un autre par l’autre facteur, et le produit serait encore divisible par N : d’où l’on voit que l’équation
[*] On donnera plus loin quelques méthodes nouvelles pour résoudre les équations indéterminées du premier degre.
X = OIlN peut avoir, si N est un nombre composé , plus de racines qu’il n’y a d’unités dans l’exposant de son degré. Il serait facile de compter le nombre de toutes les solutions possibles, par le nombre de toutes les manières possibles de décomposer le nombre N en différents facteurs premiers entre eux; mais nous y reviendrons, et nous ne con sidérerons ici que le cas d’un module absolument premier et que nous désignerons toujours par la même lettre p.
Remarque IV.
9. On peut remarquer encore que cette démonstration sur le nombre des racines entières de l’équation indéterminée X — Dïip, est tout à fait la même que la démonstration relative au nombre des racines des équations déterminées X = o. On n’y suppose absolument que l’opération de la division algébrique , et ce théorème fondamental , démontré par Euclide , que si deux nombres sont premiers par rapport à un troisième, leur produit est aussi premier à ce troisième nombre. Il résulte donc des premiers principes du calcul qu’une équation indéterminée du degré m,
xm -+- Ax'"-1 Bx"i-2 h — — srap,
ne peut avoir plus de m racines ou solutions en nombres entiers inférieurs à p; car une fois qu’on lui en supposerait m, on prouverait tout de suite qu’elle est, aux multiples près de p, identique avec l’équation
(x — a) (x — b) ( x — c)— = Otl p,
laquelle 11e peut avoir d’autres racines que a, b, c, etc. Par la même démonstration on voit encore qu’une équation X = JUp, du degré m, peut avoir autant de racines qu’il y a d’unités dans l’exposant m de ce degré; car on peut sur-le-champ former une équation
xm ■+■ Axm~' H = 3ïlp,
qui aurait m racines données a, b , c, etc. : il n’y aurait qu’à faire le produit (x — a)(x — b){x — c)... et à l’égaler à un multiple quelconque de p. Ainsi il y a une infinité d’équations
Xm -+- Axm“* H = 3TL p,
qui ont effectivement m racines, et il ne peut y en avoir aucune du degré m qui ait plus de m racines; mais voilà tout ce qui résulte de la démonstration précédente. Lorsqu’on propose une équation du degré m , on ne peut savoir en général si elle a ou non des solutions en nombres entiers. Il n’y a qu’un cas particulier, fort remarquable, où l’on connaisse toujours le nombre et les valeurs des racines par la forme même de l’équation proposée; c’est le cas de l’équation binôme xp~' — i = .71 \p, laquelle a toujours pour racines les p — i nombres entiers r, a, 3, 4 , 5,..., — i, inférieurs à p: ce qui est, en d’autres
termes, l’expression du fameux théorème de Fermât.
Corollaire.
10 Mais, de ce théorème, qui sera démontré plus loin, on peut tirer une conséquence générale sur le nombre des racines entières que peut admettre une équation quelconque
Xm 4- Axm~' 4- Bx'"-2 4 = D\Lp.
Car puisque, aux multiples près de p , le binôme xp~' — i est identique avec le produit
(x — i) (x — a) (x — 3)-”(x — p — i ), il en résulte que, si la proposée
xm 4- Axm~{ 4 — = 3TL p
a m racines entières , e, e', e", etc., inférieures à p , le premier membre xm 4- Axm~' 4-... est nécessairement un diviseur du binôme xp~{ — i ; ou plus généralement, que si elle a un nombre Q de racines entières, le polynôme xm 4- Axm~' 4-... aura nécessairement avec xp~K — i un commun diviseur du degré Q, et la réciproque est manifeste. D’où je conclus qu’on pourra toujours reconnaître si une proposée
xm 4- A.rm l 4- ••• =
a des racines entières, et quel est le nombre de ces racines, en cherchant le plus grand commun diviseur du polynôme xm 4- Axm~* 4-... et du binôme xp~{ — i. Si ce commun diviseur existe, et qu’il soit du
degré Q, la proposée aura 0 racines entières; s’il n’y a pas de commun diviseur, la proposée n’admettra aucune racine entière. On voit doncque toutes les équations
xm 4- Axm~{ 4-...= CIXLp,
qui admettent m racines, ne sont, aux multiples près de la hase ou module p, que des diviseurs de l’équation binôme xp~' — 1 = et qu’ainsi cette équation, qui semblait particulière, est au fond trèsgénérale et renferme en quelque sorte toutes les autres; ce qui fait sentir d’abord toute l’importance du théorème de Fermât dans l’analyse indéterminée.
Article II.
Sur le théorème de Fernuit.
i l. Ce theoreme a été démontré pour la première fois par Euler, et depuis par presque tous ceux qui se sont occupés des propriétés des nombres. J’en proposerai encore dans ce Mémoire deux démonstrations nouvelles extrêmement simples. Mais, auparavant, je suis bien aise d’indiquer celle que Lagrange en a donnée dans les Mémoires de Berlin pour l’année 1771, et qui paraît assez naturellement déduite des premiers principes du calcul.
12. Cet illustre auteur fait voir que, si l’on forme l’équation
p étant un nombre premier, et qu’on représente le polynôme qui en résulte par
xp~' 4- Ax1*-* -(- B^-3 h 4- T — 1 = o,
tous les coefficients A, B, C, etc., T, seront divisibles par le nombre premier p.
Ainsi tous les coefficients peuvent être représentés par a/>, y p, etc., zp; de sorte que l’équation qui a pour racines les nombres 1, -2, 3, 4, 5,..., p — 1, est de cette forme
xp~' 4- a.pxp~ 2 4- §pxp~3 H h rp — 1 =0.
Or, par la théorie des équations, on sait que le dernier terme t/> — i est égal au produit de toutes les racines 1,2, 3, 4> 5,,.., p — 1 ; ainsi l'on a
