p — 1 4- 1 =zp

et par conséquent le produit de tous les nombres 1, 2, 3, 4? 5 — 1 , augmenté de l’unité, est toujours divisible par p, quand p est un nombre premier : ce qui donne d’abord le beau théorème qu’on attribue à Wilson , et que personne n’avait encore démontré.

Ensuite la même équation précédente , mise sous la forme

xv~K — 1 = — (axp~2 H- §xp~3 4- etc. 4- r)p,

fait voir que le binôme xp~{ — 1 est toujours divisible par p , quelque valeur 1, 2, 3, 4? 5,..., p — 1, qu’on veuille donner à x.

Donc l'équation indéterminée xp~K — 1 = OîL p a toujours p — 1 racines ou solutions entières, qui sont 1, 2, 3, 4» 5, etc., p — 1, ou. si l’on veut , pp 4- 1 , + 2, p./) + 3, pp 4- l\, etc., pp 4- p — 1 : car,

en négligeant les multiples de p, une puissance quelconque de pp 4- e revient à la même puissance de e.

Ainsi le binôme xp~{ — 1 , où p est un nombre premier, est toujours divisible par p, en prenant pour x un nombre quelconque premier à p.

C’est le fameux théorème de Fermât.