On déduirait encore de cette même équation

(x — 1) (x — 2) ( x — 3)...(x — p — 1) = x1*”' +- apxp~2 4 Et/? — 1 ,

que la somme de tous les nombres

la somme de leurs produits deux à deux, la somme de leurs produits trois à trois, etc., sont divisibles par p, lorsque p est un nombre premier.

Ainsi le théorème de Fermât, le théorème de Wilson et ceux qu’on vient d’ajouter, sont des corollaires d’une même équation qu’on démontre assez facilement par la méthode des coefficients indéterminés, et par la considération des coefficients du binôme ou des

termes p, — — - ? p'p * — - 5 etc. , qui , lorsque p est premier , sont tous entiers, et divisibles par p, à l’exception du dernier - ’ qui est égal a l’unité.

Article III.

Théorème de Fermât généralisé.

14. Au reste , le théorème de Fermât peut être en quelque sorte généralisé, c’est-à-dire étendu à un nombre quelconque N, premier ou composé , et s’exprimer de la manière suivante :

Si n marque combien il y a de nombres inférieurs et premiers à N , on a toujours xn — \ divisible par N, ou xn — 1 = OR. N, pourvu que sc soit un nombre premier à N.

Ce théorème a été démontré assez directement par Euler dans les Nouveaux Commentaires de Saint-Pétersbourg (années 1760 et 1761).

Si le nombre N est premier, alors il est clair que n est égal à N — 1 , et l’on peut prendre pour x tel nombre qu’on voudra qui ne soit pas un multiple de N ; et ce cas revient exactement au théorème de Fermât.

15. En général, l’équation xn — 1 = ORN a n racines entières qui sont les n nombres inférieurs et premiers à N ; et il est aisé de voir qu’elle n’en peut avoir d’autres. Car soit , s’il est possible, une racines qui aurait avec N un commun diviseur Q, de manière qu’on eût

x — Oy et N = Q P ; on aurait donc , par hypothèse ,

Qn.yn — 1 = OR .(0P),

d’où il résulterait

Qn~ 1 .yn — ~ = ORP,

équation impossible, à moins que 0 ne soit égal à l’unité, et que, par conséquent, or et N ne soient premiers entre eux. Ainsi l’équation xn — 1 = 3RN ne peut être résolue que par les nombres premiers à N, et n’a que n racines en nombres entiers inférieurs à N. Quant aux

autres solutions en nombres supérieurs à N, nous ne les considérerons point, puisque, rabaissées au-dessous de N par la division, elles reviendraient aux premières que nous désignerons généralement par

i , a , b , c, etc., N — i .

Remarque I.

16. Ce qu’on vient de dire est d’autant plus remarquable que si le binôme x" — i est résoluble en facteurs rationnels de degrés inférieurs, quelques-uns de ces facteurs, étant séparément égalés à un multiple de N, peuvent avoir plus de solutions qu’il n’y a d’unités dans le plus haut exposant de l’inconnue x, ce qui ne peut jamais arriver quand N est un nombre premier.

Mais dans le cas de N nombre composé, si quelque facteur de x" — i égalé à un multiple de N a plus de solutions qu’il n’y a d’unités dans l’exposant, les autres facteurs en auront nécessairement moins, puisque la proposée xn — i = OïlN ne peut avoir en tout plus de n racines.

17 Pour éclaircir la chose par un exemple, considérons le nombre N = i 5, on aura

i , 2, 4? 7? 8, ii, 1 3, 14

pour les huit nombres inférieurs et premiers à 1 5 ; par conséquent n — 8, et l’on a l’équation

mais le binôme x* — i se décompose de cette manière (. x 2 — i) {x2 -h i) {x* i) ;

or, pour le premier facteur x 2 — i qui n’est que du second degré, il y a quatre manières de le rendre divisible par 1 5 , savoir, en faisant

x=i, ou x = i4, ou x = 4? ou x = 11.

Le second facteur x 3 -h i ne peut être rendu divisible par 1 5 d’aucune

manière, ni le troisième facteur x4 + 1, de sorte que les équations

x2 1 = 3Tti 5 et x4 -+- 1 = Jïli5

ne peuvent avoir aucune solution; mais l’équation résultante du produit des deux premiers facteurs, savoir,

(x2 — l) (x2 + i) = X4 — I = OTL I 5 ,

a encore les quatre solutions

parce que chacun de ces nombres rend le premier facteur divisible par 3, le second par 5, et par conséquent le produit, divisible par 3 5 ou 1 5; ainsi l’équation x4 — 1 = 3TLi5 a les mêmes huit solutions que l’équation x8 — 1 = 3ïLi5; et le facteur x4 4- 1, égalé à un multiple de 1 5 , n’en a aucune.

Voici le résultat de la substitution des différents nombres premiers à i5, dans le produit des trois facteurs

(x2 — 1) (x2 + i)(x4h-i)= x8 — 1 ; x — 1 donne (o) (2) (3) = o.i5,

x = 4 donne (3.5) (17) (257) = OTLiS,

x=ii donne (3.5.23)(2.6i)(2.732i)= dtli5, x =14 donne (3.5. 1 3) (197) (4 1 .937^ = STUi 5,

où l’on voit que ces quatre nombres x rendent le seul premier facteur x2 — 1 divisible par i5.

Ensuite

x = 2 donne (3) ( 5 ) (17) = 3TW 5,

x = 7 donne (3. a4) (52.2) (2. 1 201)= 3TLi 5,

x = 8 donne (32-7) (5.i3) (17.241) = 5,

x=i3 donne (3.2;,.7)(5.2.i7)(2.73.i7) = 3L 1 5,

où l’on voit que ces quatre nouveaux nombres x rendent le premier facteur x2 — 1 divisible par 3, et en même temps le second x2 -t- 1 divisible par 5; mais le troisième facteur x4 -+- 1 n’est rendu divisible ni par 3 ni par 5, par aucun des huit nombres inférieurs et premiers

à 1 5, et par conséquent ne peut le devenir par aucun nombre possible ; de sorte que l’équation x* -t- i = 31Tei5 n’a aucune solution en nombres entiers.

Remarque II.

18. Quand N est un nombre premier p, l’équation xn — i= 31VN devient xp~' — i = p , et si l’on décompose le premier membre xp~' — i en différents facteurs rationnels, chacun d’eux égalé à un multiple de p a toujours autant de racines qu’il y a d’unités dans le degré de ce facteur, et n’en a ni plus ni moins. Cela tient à ce que le nombre p étant premier, un produit ne peut jamais être divisible par p , à moins que quelqu’un des facteurs ne le soit séparément. Or un facteur (x° -+- ), du binôme proposé, ne peut devenir divisible par p, pour plus de 0 valeurs de x , comme on l’a démontré; d’un autre côté, il ne peut l’ètre pour moins de 6 valeurs, car il faudrait alors, ce qui est impossible, que l’autre facteur, qui est du degré p — i — 9, le fut pour plus de p — i —6 valeurs, afin qu’on retrouvât les p — î racines entières qui satisfont toujours à la proposée.

Î9. Ainsi l’on a toujours, non-seulement l’équation xp~' — i = DRp <jui a p — i racines entières , mais encore les équations x9 — i = DRp qui en ont précisément 0, quand 6 est une aliquote de p — i : car, dans ce cas, il est clair que x° — i est un diviseur rationnel de xp~ * — i . Mais nous reviendrons avec détail sur la théorie de ces équations.

Auparavant, je veux montrer que le théorème de Wilson peut être aussi généralisé, ou étendu d’un nombre premier p à un nombre quelconque N, et démontré directement de la manière suivante.

Article IV.

Théorème de ff^ilson généralisé.

20. Soient \ ,a,b, c, d, etc., N — i les nombres inférieurs et premiers a un nombre quelconque N, il est clair que ces mêmes nombres pourront être mis sous la forme

i-f-tlAN i -4-3TLN i-t-OtlN , ^ , , etc.,

abc

de manière qu’on aura

i + 31LN

I+3TLN

= g, etc.,

i 4- DTLN N - i ~

a, g, etc., étant les mêmes que a , ù, etc., mais en général dans un autre ordre, excepté pour le dernier qui, dans tous les cas, donnera toujours

i + 3TLN N — i

on aura donc toujours, quel que soit N i +3ÎLN i-HJILN i -+- DîLN i -+-3ÎLN

= ag^.-.N — i

abc. . . N — i ,

d’où l’on tire (en multipliant les deux membres par abc ... N — i, et réduisant le premier membre à la forme i SIVN) , l’équation

i + 3îlN = (abc.. . N - i)a,

ou bien

(abc ... N — i)s — i == 31UN,

c’est-à-dire que le carre' du produit de tous les nombres inférieurs et premiers à un nombre quelconque N, étant diminué de V unité est toujours divisible par N, théorème général qui s’étend à tous les nombres N , simples ou composés.

21. Mais il y a plus: l’équation précédente peut se mettre sous la forme

|(rtùc...N — i) -+- i| \(abc . . . N — i) — i} = 3HN,

et l’on peut démontrer que l’un ou l’autre des facteurs qui forment le premier membre est séparément divisible par N ; et l’on peut distinguer ainsi tous les nombres N en deux classes qui appartiennent à l’un ou à l’autre de ces deux cas. Ceci mérite d’être examiné avec soin.

Je reprends les expressions précédentes,

i -H 3TLN a

H-3ILN

etc. ,

et j’observe que si a était toujours différent de é différent de b, etc., de manière qu’on eut, par exemple,

i 4- 3ÏLN ,

et puis, en prenant, un nouveau nombre c,