I + 31VN

= X ou

i + 01CN = x2 ;

ce sont les deux nombres i et N — i ; mais il peut y en avoir d’autres suivant la nature du nombre N.

Or, si N est tel qu’il y ait un nombre pair de ces couples qui puissent donner i h- 3TtN — x2, il y aura un nombre pair d’expressions de la forme

- I -4- 3ILN = X (N - x);

le produit total sera donc de la forme i -t- 3TLN, et, dans ce cas, ce sera le facteur a.b.c.d ... N — i — i qui sera divisible par N.

Mais si le nombre de ces couples dont le produit est de la forme — iH-DILN, est impair, le produit total sera aussi de la forme — I-+-D1LN, et alors ce sera le facteur a.b .c.d . . . N — 1 + 1 qui sera divisible par N.

23. Ainsi tout se réduit à reconnaître, d’après la nature du nombre N , si l’équation

x2 — 1 = JllN

a des solutions conjuguées x et N — x, en nombre pair ou en nombre impair.

Or, je dis que l’équation

X2 — \ — 3ILN, OU ( X -4- 1) [x — 1) = 3HN,

a autant de couples de ces solutions conjuguées, qu’il y a de manières de partager N en deux facteurs P et Q premiers entre eux, ou n’ayant tout au plus que le commun diviseur 2.

En effet, il est clair que les deux binômes x -4- 1 et x — r, ou sont premiers entre eux, ou n’ont pas de. plus grand commun diviseur que 2. Donc leur produit ne peut être divisible par N qu’autant qu’un de ces binômes x -4- 1 le sera par un facteur P de N, et le second binôme x — 1 par l’autre facteur Q (ces deux facteurs étant ou premiers

entre eux, ou sans autre commun diviseur que 2). Et réciproquement, on voit qu’à chacune de ces décompositions de N dans les deux facteurs P et Q, répondra un couple de valeurs de x, pour la résolution de l’équation

(x ■+- 1) (x — i) = 31VN.

Et si l’on veut trouver ces valeurs, on fera d’abord

x H- 1 = mP, et en même temps x — 1 = ra'Q, ce qui donne

rriP — m! Q = 2 ,

équation toujours possible puisque P et Q sont premiers entre eux, ou le deviennent en les divisant par le nombre 2 qui forme le second membre; on en tirera donc les valeurs des multiples m et m et de là la valeur de x.

Ensuite, changeant l’ordre des facteurs P et Q, on ferait x 4- 1 = pQ, et x — 1 = p/P, et l’on trouverait de même

d’où l’on tirerait les nouveaux multiples p et p/, et de là, la valeur conjuguée de x ; mais ce calcul est inutile, puisque cette seconde valeur est évidemment PQ — x . En effet, si des deux binômes x -+- 1, x — 1, le premier est divisible par P et le second par Q, il s’ensuit qu’en changeant x en PQ — x, le premier, au contraire, devient divisible par Q et le second par P.

Ainsi donc on a pour l’équation

x2 — 1 = 3AN, ou 1 -f- 31UN = x2,

autant de couples de valeurs de x qu’il y a de manières de partager N en deux facteurs soit premiers entre eux, soit dépourvus de tout autre commun diviseur que 2.

24. Or, soit d’abord N impair ou double d’un impair; il n’y a lieu qu’à des décompositions de ce nombre en facteurs premiers entre eux : et si k marque le nombre des facteurs simples qui entrent dans N, on

sait que le nombre de ces décompositions est marqué par ik~ { . [F~ oyez plus loin le n° 29.) Ainsi ce nombre est toujours pair, excepté lorsqu’on a k = 1, ce qui répond au cas où le nombre N n’a qu’un seul facteur simple, c’est-à-dire est de la forme pm, p étant un nombre premier.

Donc, pour N = p'n, c’est-à-dire pour une puissance quelconque ni d’un nombre premier p impair , on a toujours

i .a.b.c.d . . . N — i + i= 3IUN ;

ce qui renferme, comme cas particulier, le théorème de Wilson, en faisant m = 1.

Si N = ipm, on a bien deux décompositions possibles de N en deux facteurs premiers entre eux, savoir, 1 et 2 pm, et puis 2 et p'n; mais ces deux décompositions répondent aux mêmes solutions de

x* — 1 = ^ ( 2 pm ) ,

puisque si l’un des binômes x + 1 et x — 1 est divisible par 2 p"‘ et par conséquent par 2, l’autre est aussi divisible par 2. Ainsi, dans le cas de N = 2pm, p étant un nombre premier quelconque, excepté 2 , il n’v a encore qu’un seul couple de solutions possibles pour

et partant, on a, comme ci-dessus,

mais pour tous les autres cas de N impair ou simplement pair , on a 1 .a.b.c.d . . . N — 1 — 1 = 3TLN.

2o. Soit à présent N pairement pair ou d’un degré supérieur de parité; et soit k le nombre des facteurs simples qui entrent dans la composition de N; on aura d’abord 2*-' pour le nombre de toutes les décompositions possibles en deux facteurs premiers entre eux, et puis encore ik~{ pour le nombre des décompositions en deux facteurs non premiers entre eux, mais sans autre commun diviseur que 2; donc le nombre total des décompositions sera 2.2*-1 ou 2A, et par conséquent

toujours pair, et l’on aura

i a.b.c.d etc. N — i — i = 31tN.

26 On exceptera pourlant le cas du nombre N = 2.2 ou 4; car à cause de la propriété de chacun des binômes x -+- 1 et x — 1 , qui est de ne pouvoir être divisible par 2, sans que l’autre ne le soit en même temps, il est clair que les deux solutions de x2 — 1 = 31^4 sont les mêmes, soit pour la décomposition de 4 en 1 et 4 9 soit pour la décomposition de 4 en 2 et 2, comme on l’a déjà remarqué plus haut, pour le cas de N = 2 p'n.

27. Ainsi, pour nous résumer, le produit de tous les nombres 1 , a, b, c, etc., N — 1, injérieurs et premiers à N, étant augmenté de l'unité , est divisible par N dans tous les cas de N = p ou 2 p, p étant un nombre premier quelconque ; et dans le cas de N = pm ou -ipm, p étant un nombre premier quelconque, mais autre que le nombre 2.

Pour tous les autres cas , le produit des nombres injérieurs et premiers à N, étant , au contraire, diminué de V unité , est toujours divisible par N.

28. M. Gauss, dans ses Disquisitiones arithmeticce , a indiqué cette extension du théorème de Wilson, pour des nombres quelconques N ; mais comme il n’a point ajouté la démonstration des différents cas, il m’a paru assez intéressant d’éclaircir ce théorème qui dépend essentiellement de la résolution de l’équation binôme

x- — \ — OÏL N ,

et du nombre des racines qu’elle admet suivant la nature du nombre donné N. On a vu d’ailleurs comment cette équation indéterminée se résout tout de suite au moyen d’une autre qui n’est que du premier degré, et dont la solution s’obtient par les méthodes connues.

Article V.

Sur toutes les décompositions possibles d’un nombre en deux facteurs premiers entre eux.

29. J’ai dit plus haut que le nombre de manières de décomposer N = a* b* ci..., en deux facteurs P et Q premiers entre eux, était marqué par 2*-', k étant le nombre des facteurs simples a , b c,... qui

SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 3i

entrent dans la composition de N. On peut facilement démontrer ce théorème , comme le fait Legendre, en le tirant comme cas particulier d’un autre théorème où l’on considère tous les diviseurs possibles du nombre N ; mais on peut aussi le démontrer directement et de la manière la plus simple, par la considération suivante. Et d’abord, puisque P et Q sont supposés premiers entre eux, on voit que chacun des diviseurs simples a, b , c,... ne peut jamais entrer que dans un seul des deux facteurs P et Q. Et par conséquent les exposants a, ê, y,... de ces diviseurs simples n’influent en aucune sorte sur le nombre cherché, qui est le même que si l’on avait simplement N = abc... et qui ne dépend ainsi que du nombre k de ces diviseurs simples a , b, c, etc.; or, si l’on veut compter maintenant en combien de manières ce produit abc... peut être partagé en deux facteurs P et Q, il n’y a qu’à voir de combien de manières on peut prendre les lettres a, b, c,... une à une, ce qui donne d’abord le nombre k ; et puis ces mêmes lettres 2 à 2, ce

qui donne ~~~ — -5 et puis ces mêmes lettres 3 à 3, ce qui donne

* — ■ a l — - ; et ainsi de suite jusqu’aux combinaisons k — 1 à A' — 1 ; et l’on aura d’abord le nombre

+ etc. ,

qui sera double du nombre des décompositions que l’on considère , puisque celles qui répondent aux combinaisons 1 à 1, 2 à 2, 3 à 3, etc., sont les mêmes qui répondent respectivement aux combinaisons k — 1 àA — 1, k — 2 à A — 2, A — 3 àA — 3, etc. Donc , si l’on ajoute au nombre précédent le nombre 2 ou r + 1, pour compter aussi deux fois la dernière décomposition de N dans les facteurs premiers entre eux 1 et N, on aura

— 1— etc. — t- i ,

qui sera double de toutes les décompositions possibles que nous cherchons. Mais il est évident que cette suite n’est autre chose que (1 + i)A ou 2a; donc, en divisant par 2, on a pour le nombre cherché 2*-1, comme nous l’avions supposé.