ARITHMETIQUE COURS ELEMENTAIRE

Calcul intuitif, mental et chiffré.

Premiers éléments de la numération parlée et de la numération écrite.

Petites tions fondamentales: additions et soustractions.

Problèmes les.

epéra-

Calcul

écrite continuées jusqu’à 10,000.

Les quatre opérations fondamentales.

Etude commencée des romains.

Premières notions intuitives sur les fractions.

Problèmes.

Monnaies et me- | sures de longueur. |

faci- |

intuitif, | | mental et chiffré.

Numération par- | lée et numération

chiffres

ler degré

(a) Donner au moyen d'objets usuels la notion des nombres: de 1 à 10 d’abord: de 1 à 20 ensuite—Apprendre à former et à nommer ces mêmes nombres, ainsi qu'à les représenter par des chiffres. Additions et soustractions orales puis écrites sur des nombres concrets ne dépassant pas 10 d'abord, 20 ensuite.

(b) Intuition, formation, dénomination et représentation chiffrée des nombres de 20 à 100. —Additions et soustractions orales puis écrites sur des nombres concrets ne dépassant Pas 100.

(€) Problèmes très faciles, relatifs aux besoins journaliers de la vie.

(@&) Revision de l'année précédente.

(b) Muitiplications et divisions sur des nombres ne dépassant pas 100.

(c) Numération parlée et numération écrite de 100 à 1,000 d’abord, de 1,000 à 10,000 ensuite. —Opérations fondamentales orales puis écrites sur des nombres concrets et abstraits ne dépas- Sant pas 10,000.—Ces mêmes opérations combinées.

(4) Etude spéciale de la table de multiplication, jusqu'à 12. Etude des chiffres romains de I à XII Lecture au cadran des heures, des demies, des quarts.

(c) Formation, dénomination, représentation au moyen d'objets et représentation chiffrée des fractions les plus usuelles: une demie, un quart, un tiers.

(f) Problèmes pratiques sur les quatre opérations fondamentales. Preuves de ces opérations.

(9) Notions intuitives sur les monnaies: sur les pieds et les pouces.*

N.B.—Conduire de front le calcul mental et le calcul chiffré; de manière que le calcul mental fournisse la base, l'explication et le raisonnement des quatre opérations fondamentales du calcul chiffré.

* Si le système décimal est adopté, les explications seront données en conséquence.

Mathématiques

ARITHMETIQUE

COURS ELEMENTAIRE.—Suite,

ler degré—Suite,

(a) Revision de l’année précédente.

(b) Numération parlée et numération écrite des nombres entiers, terminées.

. (4) Etude complète de la table de muitiplication.

(e) Etude des chiffres romains de I à M.— Lecture au cadran des heures, des demies, des quarts, des minutes.

(f) Formation, dénomination, représentation au moyen d'objets et représentation chiffrée des fractions ordinaires dont le dénominateur ne dépasse pas 10.

Calcul intuitif, mental ct chiffré.

Numération parlée et numération écrite des nombres entiers.

Numération par- | lée et numération écrite des nombres

| décimaux, .. jus- (9) Connaissance pratique et raisonnée des

| | qu'aux millièmes. | quatre opérations fondamentales sur les nombres

| 8e | Etude des chif-\ entiers; de l'addition et de la soustraction des

Année | fres romains jus-| nombres décimaux (dixièmes et centièmes); de

qu'à M | la multiplication et de la division des nombres

| Notions intuiti- | décimaux (dixièmes et centièmes) par un nomves sur les frac-| bre entier.

tions usuelles, (h) Nombreux problèmes empruntés à la

continuées. vie usuelle, à l’économie domestique, à l’agricul-

Problèmes. ture, aux métiers—Donner aussi beaucoup de

Monnaies, poids, | mesures de capaci- | té pour les liqui-

des, et mesures de : longueur continuées.

problèmes sous forme de comptes et de factures. () Notions intuitives continuées sur les monnaies: sur les pieds. les pouces, les lignes, avec étude de la table des mesures de longueur. —Notions intuitives sur la livre, le gallon.— Etude de la table des poids (avoir-du-poids) et de la table des mesures de capacité (gallon, demi-gaïlon..pet, pinte et chopine).*

N.B.— Conduire de front le calcul mental et le calcul chiffré; de manière que le calcul menta: | fournisse la base, l'explication et le raisonnement | des opérations du calcul chiffré.

* [’oir note au bas de la page précédente.

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Mathématiques

ARITHMETIQUE

COURS ELEMENTAIRE.—Suite,

Calcul intuitif, mental et chiffré.

Numération des nombres entiers et numération des nombres décimaux.

Fractions ordi-

| naires — notions

intuitives: réduction, quatre opérations fondamentales, conversion en fractions décimales.

Problèmes variés.

Monnaies, et mesures.

poids

2nd degré

(a) Revision de l’année précédente.

(b) Numération parlée et numération écrite des nombres entiers et des nombres décimaux.

. (6) Formation, dénomination et représentation des fractions ordinaires dont le dénominateur ne dépasse pas 20.

(d) Conversion des fractions ordinaires en fractions décimales, et applications diverses.

. (€) Fractions ordinaires: réduction, addition, soustraction, multiplication et division des

fractions dont le dénominateur ne dépasse pas 12,

(f) Problèmes variés—toujours très pratiques—sur les nombres entiers et les nombres décimaux.—Problèmes très faciles, oraux d’abord, chiffrés ensuite, sur l’addition, la soustraction, la

multiplication et la division des fractions.

(9) Problèmes faciles et usuels de calcul mental sur le percentage et l'intérêt simple.

(h) Monnaies, poids et mesures: revue de l’année précédente. —Etude de la table des mesures de capacité (minot, gallon, pinte, chopine).* Etude de la table des mesures du temps: année, mois, jours, heures, minutes et secondes.

N.B.—Conduire de front le calcul mental et le calcul chiffré: de manière que le calcul mental fournisse la base, l'explication et le raisonnement des quatre opérations du calcul chiffré.

* Voir note au bas de la page 81.

année

anéo

7e Année

Mathématiques

ARITHMETIQUE

COURS MODELE (Intermédiaire)

Fractions ordi- | naires ét décimua- | les. —Règles com- | posées. |

Règles de trois | simples et compo- |

sées. |

Percentage élé- !

| men Intérêt simple.

Percentage et

appli ses.

taire.

ications diver-

(a) Récapitulation de l’année précédente.

(b) Fractions ordinaires et fractions décimales; théorie élémentaire, et applications variées, orales et écrites, dans un ordre progressif.

(ec) Règles composées: revue des tables, des nombres complexes précédemment étudiés, et nombreux problèmes usuels.

(d) Méthode de l'unité appliquée aux règles de trois simples et composées.

(e) Percentage élémentaire (f) Intérêt simple.

. (9) Problèmes variés très pratiques, toujours précédés d'exercices de calcul mental.

(a) Récapitulation de l’année précédente.

(db) Percentage appliqué aux règles de profits et pertes, de commission, de courtage, de rentes et actions, de taxes et d'escompte commercial.

(€) Problèmes variés et calcul mental en rapport.

COURS : CAPÉMIQUE (Primaire supérieur)

Percentag: et ses applications (sui-

te).

Revision géné-

rale.

(a) Récapitulation de l’année précédente.

(b) Percentage appliqué aux règles d’escomte en dehors et en dedans, des paiements partiels, d'échange et de douane.

(d) Intérêt composé.

(e) Problèmes variés et calcul mental en rapport.

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Mathématiques

ARITHMETIQUE

Dével r chez l'enfant une idée nette, exacte du nombre, au moyen d'objets matériels ; lui montrer à former des nombres à l'aide de ces mêmes objets; lui apprendre à nommer les nombres et à les représenter par des chiffres:—en même temps, mais encore à l'aide d'objets matériels, lui faire résoudre mentalement puis par écrit de petits problèmes familiers très simples, présentant d'abord séparément et ensuite combinant ensemble graduellement des applications de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division ;—c'est enseigner la numération parlée et la numération écrite; c'est enseigner les quatre opérations fondamentales du calcul, d'après la méthode qui consiste à aller du concret à l'abstrait, du connu à l'inconnu, du particulier au général, du facile au plus difficile — la seule méthode rationnelle et féconde avec les jeunes enfants — la seule méthode à employer dans les classes inférieures et celle qui doit dominer dans tout le cours élémentaire.

C'est donc à l'aide d'objets matériels d’un maniement individuel aisé, — par exemple, à l'aide de billes, où mieux de bûchettes représentant les unités et de bâtonnets représentant les dizaines, ou encore à l’aide de points tracés au tableau noir,

u’il faut inculquer aux nlus jeunes écoliers toutes ces premières notions du calcul. t c'est aussi au moyen de représentations matérielles, de procédés graphiques, d'exemples variés traités d'abord mentalement sur de petits nombres, qu'il faut ensuite leur donner toutes les notions nouvelles à mesure qu'elles se présenteront.

Il va de soi qu'on s’affranchira de ces démonstrations matérielles, sitôt qu’on se sera assuré que les élèves comprennent les rapports des nombres abstraits. On débute par le concret, mais pour en dégager l’abstrait, dès qu’on le peut ; sauf à revenir à la démonstration concrète, chaque fois qu’on craint que les élèves n’associent que des mots au lieu d'associer des idées claires et bien nettes.

En résumé, l’enseignement élémentaire du calcul doit offrir successivement les trois formes suivantes : forme intuitive, forme mentale et orale, forme chiffrée. Et les notions théoriques, restreintes aux connaissances indispensables, sont déduites progressivement d'exemples choisis et gradués avec soin. Les définitions ne sont données que lorsque les notions ou les opérations à définir sont bien connues. Par exemple, aux petits enfants, déjà initiés aux opérations fondamentales sur des nombres concrets et abstraits et à l'emploi de signes qui représentent ces opérations, on dira simplement: 4 + 3 = 7, c'est une addition; 7 — 2 = 5, c'est une soustraction 3 X 3 ou trois fois trois (2 + 3 + 3) = 9, c'est une multiplication : partager 8 pommes entre quatre enfants et leur en donner 2 à chacun (ou 8 + 4

= 2), c'est faire une division. Les définitions plus serrées, plus rigoureuses, viendront plus tard.

Le calcul mental qui est le fondesr:nt de :: coina'ssance des nombres et des procédés abréviatifs les plus sûrs, devra ître f'obiet de soins très spéciaux dans toutes les classes. Les élèves seront, en conséqueñte, exercés de bonne heure à calculer de tète. Mais ces exercices seront raisonnés, jamais exérutés machinalement. On se rappellera que le calcul mental a pour objet les noml:es et non les chiffres. Autrement c'est le calcul écrit, exécuté de mémoire. qu ©n terait faire. Le calcul mental a ses procédés à lui, qui diffèrent de «cux du caicv! érsit. Le maitre doit connaître lui-même ces procédés: et c’est sci “evoir de les xpliquer aux élèves et de tenir à ce qu'ils les mettent en pratique. Ainsi, pour additionner 37 avec 38 l'élève devra, par la pensée, décomposer ces deux nombre- en dizaines ec en unit s; soit 50 du premier nombre et 30 du second font £o, auqiet on ajoute 7 + 8 pour faire 95. De même, pour additionner 257 avec 138, on décomsosera, encore par la pensée, ces deux nombres en centaines, dizaines, unités; soit 200 + 100 = 360;

86 RÈGLEMENTS DU COMITÉ CATHOLIQUE Mathématiques

ARITHMETIQUE-— (Suite)

- 30 = 80; en tout 380, auquel on ajoute 7 + 8 pour faire 395. Et l'on suivra procédés analogues pour toutes les opérations traitées par le calcul mental.

11 serait même à désirer que les problèmes de tout genre fussent faits d’abord mentalement sur de petits nombres, avant d'ètre donnés à résoudre par écrit sur de grands nombres. De cette façon, les problèmes seraient évidemment beaucoup mieux compris,

Mais, au premier chef, il importe que chaque connaissance nouvelle soit donnée lentement, progressivement, et qu'elle soit accompagnée d'applications nombreuses qui l'enfoncent en es = sorte dans l'intelligence et la gravent à jamais dans la mémoire Donnons quelques exemples. On fait observer intuitivement, en les manipulan:, que 4 crayons et 4 crayons font 8 crayons, que 4 billes et 4 billes font 8 billes, que 4 :: points et 4 :: font 8 :: :: points ; et l'on conclut que toujours 4 et 4 font 8. On procède de même pour la soustraction, la multiplication, la division ; en ayant soin toujours de passer avec lenteur et #raduellement des nombres concrets : 6 pommes, 6 points, 2 oranges, 2 points, aux nombres abstraits : 6. 2.

Quand les élèves sont parfaitement familiarisés avec les quatre opérations fon-

entales sur des nombres qui ne présentent aucune difficulté, on aborde les cas plus complexes. Ces cas eux-mêmes seront vite çompr », si le maitre les amène suocessivement et sait les graduer, Dans la soustraction, par exemple, chaque chiffre Ju nombre supérieur est plus ee que son correspondant du nombre inférieur, soit 44—22; il n'y à pas de dif ulté, Mais un chiffre du nombre inférieur est plus grand que son correspondant du nombre supérieur, soit 44—28, il y a une difficulté ; et l’on apprend à la résoudre par la méthode des emprunts. Le nombre supérieur renferme un zéro, soit 40—28 ; la difficulté est encore plus grande, et l’on fait voir l'avantage qu’il y a à substituer à la méthode des emprunts celle de la compensation. On suit pour les autres opérations la même marche: et si la gradation des difficultés est fidèlement observée, encore une fois, les élèves comprennent sans peine.

Le maître continuera l'emploi de cette marche progressive et graduée pour toutes les autres parties du Programme qu'il a à parcourir. Supposons que les fractions ont été enseignées aux élèves à l’aide d'une pomme, d’une feuille de pa-

ier, coupées en parties égales d’abord, inégales ensuite. Par Pintuition, la manipu-

tion, des exercices de superposition, on leur fera facilement voir et comprendre que les 3 quarts d’une feuille de papier coupée en 4 morceaux sont la même chose que 9 morceaux de cette feuille de papier coupée en :2; et de là à faire comprendre qu’on peut multiplier les deux termes d’une raction par un même nombre sans en Changer la valeur, il n’y a qu'un degré. Il suffit d’un effort de l'esprit pour le franchir. Un effort encore et après avoir remarqué, toujours intuitivement, qu'on ne ut pas comparer des tiers avec des quarts, l'élève comprendra qu'on peut fort en au contraire comparer des douzièmes avec des douzièmes; de là, la réduction des fractions au même dénominateur qui rend possible les additions et les soustractions.

Mais il serait trop long de poursuivre ainsi l'examen des divers cas que présente l'étude de l'arithmétique; au maître de bien saisir la méthode exposée jusqu'ici, et de l'appliquer constamment.

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Mathématiques

ARITHMETIQUE- (Suite)

Il est évident cependant que les premiers principes de la numération auront été donnés d'une façon également intuitive, c'est-à-dire au moyen d'objets réels: haricots, crayons, büchettes-unités et bâtonnets-dizaines, Dans chaque leçon les élèves auront joué un rôle très actif; il ne s'agit pas de leur enseigner beaucoup à la fois, mais de leur inculquer l'idée du nombre et de les mettre à même le plus tôt possible de former des nombres, de les lire et de les écrire avec assurance, Or, on n'arrive à ce résultat que par des exercices multipliés. Les jeunes élèves comptent d'abord des objets true et individuellement, de 1 à 10; puis de 2 en 2: puis de 10 à 1 etc. On répète plus tard ces exercices sur les groupes suivants: de 10 à 20, de 20 à 100. Il est indispensable que cette première étude soit bien faite. Il faut, en particulier, que les enfants voient bien et par suite comprennent qu'une dizaine est l'équivalent de dix unités, etc. que les chiffres ont une valeur absolue toujours la mème, et une valeur relative dépendant de la place qu'ils occupent. Et entre-temps, cette direction est clairement formulée dans le programme, les élèves auront été initiés aux cas les plus simples des quatre opérations fondamentales.

Quant à l'enseignement des mesures, mesures de longueur, mesures de poids, mesures de capacité, mesures monétaires, il doit être pareillement, au début, intuitif et expérimental autant que possible. Les jeunes enfants mesurent eux-mêmes des

eurs, des capacités, pèsent des objets, comptent des pièces de monnaie, etc. amais les explications du maitre, si claires qu’elles soient, ne remplacent ces exercices exécutés par les élèves.

Quelques observations sur les problèmes sont aussi nécessaires.

Et tout d'abord, le choix des problèmes ne doit pas être laissé au hasard de l'inspiration. Le maitre devra en rédiger le texte lui-mème après l'avoir médité ; ou encore l’emprunter au manuel, à un recueil, à quelque revue pédagogique, mais toujours en connaissance de cause et après en avoir scruté les données, Le mieux serait de se composer un recueil personnel, correspondant année par année aux divisions du programme. C'est le moyen le plus sûr de mettre de l’ordre et une gradation bien suivie dans l’enseignement.

Ensuite, il convient que les problèmes contiennent, dans une très large mesure, des notions usuelles d'un intérêt pratique, Pas de curiosités, pas d'énoncés fantaisistes, jamais de données qui ne soient exactes et vraies; mais des nombres

s et pris dans les usages de la vie. Dès les premières leçons, on ne propose aux petits enfants que des nombres représentant des choses et des grandeurs utilss à connaître. Plus tard, on leur propose des nombres donnant la population du village, de la paroisse, du comté, de la province, du Canada tout entier. On leur fait

ercher la distance qui sépare la localité du village voisin, de la ville la plus rapprochée, de la capitale provinciale, de la capitale fédérale. On les exerce sur des nombres qui représentent la longueur des principales rivières du Canada, la hauteur des montagnes les plus élevées, les dates des événements les plus remarquables de notre histoire, etc, etc. C'est avant tout aux circonstances de la vie ordinaire, aux opérations, aux transactions qui se font autour d’eux, aux métiers, aux industries, aux professions de la contrée, à l'économie domestique, à la comptabilité agricole, à l'exploitation d’une ferme, d’une basse-cour, d'une fromagerie, d’un verger, d’un jardin potager, aux ruines causées par l'intempérance, la paresse, le luxe, etc, etc., que les suiets des problèmes doivent être empruntés. Cette ma: nière de procéder offre un triple avantage : elle met plus d'intérêt et de vie dans les leçons ; elle inculque aux enfants une foule de connaissances utiles ; elle les prépare directement aux calculs qu'ils auront à faire dans la pratique de la vie.

D'une façon générale, on devrait aussi veiller à ne faire opérer les enfants que sur des nombres ayant trois ou quatre chiffres au plus. Les additions seules peu-

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ARITHMETIQUE- (Suite)

vent être longues; mais toutes les autres opérations sur les nombres entiers et sur les fractions doivent être simples et courtes, comme celles qu’on rencontre usuellsment.

11 y aurait enfin grand profit à demander aux écoliers d'imaginer eux-mêmes des problèmes devant amener telles ou telles opérations déterminées. Rien n’est plus propre à stimuler leur attention, à leur faire comprendre et retenir la nature et le mécanisme de ces opérations.

Après le choix des problèmes, une chose qui a également son importance, c’est la manière de les résoudre. Pour la résolution, on fera écrire au-dessous de l'énoncé, sur une seule ligne horizontale, tous les nombres à retenir, avec une lettre initiale indiquant ce que chacun d'eux représente; puis on rapprochera, au-dessous de cette ligne, les unités de même nature. Ainsi disposés et groupés, l'élève voit mieux les nombres, il perçoit plus vite et plus nettement leurs rapports, et il lui devient facile de trouver les comparaisons et les raisonnements qui le conduiront à la solution, Pour la clarté des exercices et la commodité de la correction, il serait bon de faire partager le cahier en deux colonnes, et de faire placer les calculs à gauche, les raisonnements à droite.

Les élèves s’imaginent souvent avoir fait un raisonnement, quand ils ont simplement indiqué ce qu'ils font. Il appartient au maître de les prémunir contre ce défaut. Dans le même ordre d'idées, il ne suffit pas de faire parler les élèves ; mais il faut exiger d'eux un langage correct, exact, des phrases complètes et claires. La précision du langage est assez facile à obtenir en arithmétique ; et quand, grâce au maitre, l'élève s'en est fait une habitude, il la garde dans ses autres études,

Pour ce qui est de la correction, la meilleure est celle qui est collective et f:ite au tableau noir. On s'attache à faire distinguer ce qui est donné de ce qui est inconnu, et à faire découvrir les rapports des choses: à faire déterminer bien nettement ce qui est cherché, et à diriger la marche du connu à l'inconnu sans rian laisser d’inexploré. C’est le moment de comparer entre elles les diverses soluticas possibles, de montrer pourquoi l'une est préférable à l’autre, d'attirer l'attention sur les procédés de simplification et sur les méthodes d’abréviation.

Comme il y aurait quelque avantage à varier la forme des corrections, on Pourra aussi employer parfois, soit le procédé mutuel, soit le procédé individuel.

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COMPTABILITE