T=GA.Î
En appelant G la résistance au glissement latéral par unité de surface et de longueur du solide, la distance l étant la même pour toutes les fibres de la section, le plus grand déplacement, et par conséquent le plus grand effort, est relatif à la fibre la
320 cniQcnEiiE partie.
plos iiojgnée de Faxe AB, ou à la plus grande valeur de r', que nous appelleroDS r.
Maînteiiant, pour qa*fl j ait équilibre entre les forces exlérieores, qui tendent à tordre le solide^ et les résistances moléculaires des fibres à la torâon, il faut qu'il y ait égalité entre les moments des unes et des autres par rapport à Taxe autour dnqud s'établit cet équilibre.
Le moment de la force T relative i Tune des fibres est
6« / et l'angle Oi de déplacement étant les mêmes pour toute l'étendue d'une même section, il s'ensuit que la somme de tous les moments semblables pour l'étendue entière de la section est
égale au produit de G y par la somme des produits analogues
i kf^f chacun d'eux étant celui de l'aire. de la section transyersale de la fibre mn par le carré de sa distance à l'axe. Celte somme des produits Ar^ a été nommée par M. Persj le moment cTinertie polaire. En la désignant par Ii, la somme de tous les moments des résistances moléculaires à la torsion sera donc
et devra être égale à la somme H des moments des forces extérieures qui tendent à produire la torsion; de sorte que l'on aura, pour la condition générale de l'équilibre, la relation
Glt^=M.
Telle est la relation générale qui exprime la condition de l'équilibre entre les résistances moléculaires au déplacement par torsion et les forces extérieures, pour chacune des sections transversales du corps<
894. Observations relatives aux CTLmDRBS. — Dans cette expression, le rapport y est précisément la tangente trigono-
métrique de Tangle de déplacement des fibres situées à Funité de distance de Taxe ; et pour les solides cylindriques dont Taxe est perpendiculaire au plan de section, cet angle étant le même dans chacune d'elles, les fibres se courbent peudant la torsion, selon les hélices dont le pas est donné par ce rapport, et dont Tinclinaison sera proportionnelle à. leur distance K à l'axe. On déduit de là :
oi M , M ,
-=gj- et a, = gj./.
Par conséquent, pour un solide prismatique ou cylindrique de longueur L, tous les déplacements angulaires, mesurés à Funité de distance, s'ajoutant, ainsi que nous Favons déjà dit, on aura, pour Fanglé total de déplacement de sa tranche extrême,
Donc les angles de torsion sont :
l« Proportionnels à la somme des moments des forces extérieures ;
2° Proportionnels à la longueur des solides, ou à la distance qui sépare les sections extrêmes.
Ces deux conséquences ont été vérifiées pour les déplace^ ments angulaires compris entre les limites où Félasticité n*est pas altérée, par MM. Duleau et Savart.
895. Observation sur l'usage de la formule précédente. — Nous ferons de suite remarquer que Fangle a étant Ici exprimé par un arc de cercle d'un rayon égal à Funité, tandis que Farc réel de torsion éprouvé par la fibre la plus éloignée de Faxe, et située à la distance /, qui est celui qu'il importe de connaître et de limiter, a pour valeur r'a, il convient de multiplier les deux membres de Fexpression ci-dessus par /, ce qui donne
Ml
nés. DES M. IL ^1
De plus, dans la plupart des cas de la pratique, et en particulier dans les machines, il importe de limiter les angles de déplacement éprouvés par les parties extrêmes des arbres; et commç on a vu qu'ils étaient proportionnels à la longueur L des solides, il convient de rendre l'angle de torsion produit dans chaque section d'autapt plus petit que le solide est plus
long, ce qui revient à dire que le rapport ^ devra avoir une
valeur limitée selon la nature des matériaux employés et la destination de l'appareil que l'on considère. Nous reviendrons plus loin sur ces considérations.
898. Appucation de la formule précédente aux cylindres £T aux prismes. — PouF Comparer les résultats fournis par la formule précédente avec ceux des expériences des auteurs que nous venons de citer, il faut y substituer les valeurs du moment d'inertie polaire Ii qui conviennent à leurs formes.
897. Valeurs du moment d'inertie polaire des sections TRANSVERSALES. — Si l'ou uommc V et 1^ les distances de la section transversale m d'une fibre élémentaire à deux axes perpendiculaires entre eux, oa?et oy (pi. VI, fig. 16), passant par le centre de gravité o de la section, on aura évidemment
ar*=rav'-|-au'.
Donc le moment d'inertie polaire d'une aire plane est égal à la somme des moments d*inerlie pris par rapport à deux axes rectangulaires passant par le centre de gravité de cette section. Il suit de là que, pour le cercle plein, dont le moment d'inertie par rapport à un diamètre quelconque est \Tf&^ le moment d'inertie polaire sers^
I,^iicr*^iAr% et pai* suite»
^= I wr*=-î Ar= 1.6708r»= 0J9637rf».
Be même, pour une couronne circultefre, on aurait
Ij = ^ «(R'*— R«'«)= J ACR"— R"«), li i / R'*-B:% , ^ / R" + R"^
Les observations faites au n"" 257 sur l'excès de résistance que présentent les cylindres creux sur les cylindres pleins s'appliqueraient encore ici.
Résultats d'expérieiiees et formules pratiques.
898. Expériences de M. Duleau sur la torsion. — Pour discuter les résultats des expériences de cet habile ingénieur, nous avons groupé séparément, dans le tableau suivant^ celles . qui sont relatives aux corps cylindriques et celles qui se rapportent aux prismes.
Le poids employé pour produire la torsion était constamment de 10 kilogr. et son bras de levier égal à 0"'.32; de sorte que
Ton a
M = 10"iX0-.32=3.20.
La formule du n** 616 donne
G ML ail'
dans laquelle a exprime l'arc du rayon égal à l'unité qui mesure Tangle de torsion, tandis que cet angle est donné par M. Duleau en degrés. Il faut donc multiplier ce nombre de de-
grés par — — pour avoir la valeur de a â mettre dans la formule.
Enfin, pour les corps cylindriques, on a, d'après le numéro
nrécédenty
Il =1. 5708 R'*.
A Fàidè de ces données et de celles de l'observation, on a pu calculer la valeur de G correspondant à chaque expérience.
