II. — ReCHBRCHB DBS EFFORTS DANS LES BARRE

Indication des deux méthodes en présence. — Lorsqu'une poutre articulée est strictement indéformable, possédant n sommets et 2.n — 3 côtés, on peut, sauf certains cas d'.exception, déterminer par la statique les tensions de toutes sds barres lorsque les réactions des appuis ont été au préalable déterminées et sont supposées connues tout comme les forces appliquées. Pour cela, on dispT)se de deux méthodes basées, l'une sur la considération de l'équilibre des nœuds, l'autre sur la considération de l'équilibre des tronçons découpés paç un système de sections normales.

Il sufdt de montrer que l'on obtient le nombre des équations nécessaires à la détermination des a /i — 3 tensions dans les barres.

Chaque nœud regardé comme un point libre doit être en équilibre sous l'action des forces qui lui sont directement appliquées et des tensions des barres qui y aboutissent. Si cette condition est remplie par tous les nœuds, le système entier sera forcément en équilibre. Or, comme toutes les forces aboutissant à un nœud sont concourantes, il suffit d'écrire que la somme de leurs projections sur deux axes est nulle. Cela fait donc 2/1 équations de condition en tout. Si l'on éliminait entre élites les in '—'à tensions inconnues, on obtiendrait évidemment les trois équations de condition qui sont nécessaires pour que les forces appliquées, y compris les réactions d'appui, se fassent équilibre sur la poutre. Ces trois

POLTRES ET SYSTÈMES TRIAN6ULÉ8 MUNIS D'ARTICULATIONS. 385

équations, que Ton peul écrire a priori^ suffisent d'ailleurs dans certains cas à déterminer les réactions des appuis.

De même pour que le système soit en équilibre, il faut et il suffit que chacun des tronçons successivement découpés par un système de sections normales soit en équilibre sous l'action dés forces directement appliquées au tronçon et des tensions des barres coupées par la section correspondante à ce tronçon. On obtient ainsi en apparence 3n — 3 équations, à raison de trois par section normale; mais ces équations ne sont pas toutes distinctes. On reconnaît facilement, en effet, que deux sections normales successives ne sont séparées que par un seul nœud et que, par suite, toutes les barres qui ne sont pas coupées à la fois par elles concourent à ce sommet. Si donc on faisait les différences deux à deux des équations d'équilibre relatives à deux sections normales successives, ce qui reviendrait à établir les conditions d'équilibre ilu tronçon de poutre compris entre elles, on retomberait forcément sur les conditions d'équilibre du sommet qui les sépare. Or ces conditions doivent se réduire à deux, puisqu'il s'agit de forces concourantes. Où ne peut d(mc obtenir plus de 2/1 — 2 équations distinctes. Si l'on éliminait entre elles les 2/1 — 3 tensions inconnues, on aurait évidemment la condition qui doit exister entre les forces appliquées aux n — i premiers sommets. Cette condition, c'est que leur résultante doit passer par le /i'*"* sommet. . Le problème est donc bien déterminé, sauf dans certains cas exceptionnels où les équations obtenues seraient incompatibles ou indéterminées en raison des valeurs particulières de leurs coefficients. Nous ne nous occuperons pas de ces cas d'excepti(m.

Tout l'intérêt de la classification faite précédemment dans les systèmes strictement indéformables consiste à mettre en évidence les cas dans lesquels la résolution analytique ou graphique des ^^uations peut s'opérer d'une manière simple en pratique.

Les systèmes à nœuds canoniques, qui p<)ssèdent èi\ même temps des sections canoniques, se prêtent également bien aux deux méthodes; mais la seconde convient seule aux systèmes à sections canoniques en général.

Méthode basée sur l'équilibre des nœuds dans les systèmes à nœuds canoniques. — 11 importe, [)our éviter des erreurs de signe

PlQEAUD U.)

SS6 ciunniK xv>.

faciles à commeilre, de bien se rappeler la disiinction -entre les efforts exercés sur une barre par les nœuds auxquels elle se rattache, et les efforts- égaux et de si^e contraire qui sont exercés par la barre sur les nœuds^ et par suite sur le reste de la construction. Il sera utile à ce point de vue d'arrêter d avance un programme d'opérations méthodique, tel que par exemple le suivant. . -

On part d'un nœud simple O, auquel sont attachées deux barres

Fig. i33.

OA et OB, de directions connues, et auquel sont appliquées des forces dont la résultante est connue en grandeur et en direction. On décompose cette résultante en deux forces dirigées suivant OA et OB, et Ton obtient ainsi les actions exercées par le nœud stu: les barres. Ces forces sont égales à celles que ces barres exercent ^ leur tour sur le reste de ^a construction. On les supposera donc ensuite transportées respectivement en A et B pour les adjoindre aux forces extérieures données agissant en ces nœuds. Si Fun de ces nœuds est transiormé en nœud simple par la suppression de la barre qui v aboutit, et dont l'action est connue, il jouera dans la suite des opérations le même rôle que le nœud simple primitif (). En tous cas, par déiinition même, il y aura un n(cud sim[)le dans le canevas réduit par la suppression des deux barres OA et OB.

Le sens positif à considérer dans une barre telle que OA pourra être sjstématiquenieut celui qui va de O vers A, c'est-à-dire qui va du nœud simple dont on s'occupe vers la seconde extrémité de la barre. Alors, si le nœud simple exerce sur cette barre un effort positif, celte bari'e sera comprimée. Dans le cas contraire, elle serait tendue.

POUTRES ^ SYSTÈMRS TUANGVU^ MUNIS D'ARTICULATIONS. 387

a. Solution analytique. — Soient a et ^ les angles que font, avec la direction de l'axe Ox^ les directions positives des deux barres OA et OB respectivement, et soient Ta et T^ les efforts exercés par le nœud sur ces barres. Inversement, les efforts exercés par les barres sur le nceud seront respectivement — T^ et — Ta.

D'autre part, soit R la résultante des forces connues appliquées au nœud simple O et y Fangle que fait sa direction avec Ox.

Les deux équations d'équilibre du nœud s'écriront

T/< cos a -h Ta ces p = R cos Y, T,^ siiia -H Ta sinp = R siny.

On en déduit iiçmédiateineuL

la — *^-: — 7-5 \9 lA=t\-: — 5— •

sin(p — a) sio<a — p)

Ces relations peuvent encore se mettre sous la forme

T^ Tj, R

siii(P — y; ~ sin(Y — a> ~ siii(^ — a)

et on les obtiendrait directement sous cette forme en considérant le triangle de décomposition de la force R suivant les deux directions a et p. »

Une opération de même nature se retrouvera pour chacun des nœuds simples successivement rencontrés dans les figures réduites successives.

Finalement, on aboutira à une figure réduite à un triangle. Les trois groupes de deux équations, que Ton peut écrire pour l'équilibre de ses trois sommets, fourniront les tensions des trois dernières barres, .ainsi que les conditions d'équilibre des forces appliquées, ce qui donnera la possibilité de vérifier les calculs successifs.

A. Solution graphique. Procédé de Crémona. — Au lieu de calculer les efforts T^ et Ta, on peut les déterminer graphiquement , soit sur la figure elle-même, soit au moyeu d'un polygone des forces construit à part. Ce polygone des forces comprendra en premier lieu les forces connues appliq^iées au n<eud O considéré, savoir : les forces directement appliquées à ce nœud et les tensions préalablement déterminées de certaines des barres qui y aboutissent .

Cela fournira la résultante R. H suffît ensuite, pour trouNtT les aeui efforts exercés sur les barres OA et OB, de décon^poser R

rig. i34.

UJ

suivant la direction dp ces barres, en menant par les deux extrémités de R des parallèles à ces directions. Le triangle AtoB, par exemple, fournira T^, = A to et T^ = coB, les sens de T^ f^t T^ étant marqués par les flèches.

Celte construction peut se faire d'une seconde façon équivalente en considérant le triangle ABw'.

On peut profiter de cette faculté pour juxtaposer, sur une seule et même épure, tous les polygones des forcés relatifs aux différents sommets rencontrés. C'est cet avantage particulier que Ton recherche dans le procédé dit des figures réciproques^ dont l'idée est due à Maxwell et qui a été perfectionné par Crémona.

Fi^. i35.

rc)

Nous nous bornerons à en faire l'application au cas d'une fijjure réticulaire. La règle à suivre peut alors s'indiquer très simplement de la manière suivante.