POUTRES ET SYSTÈMES TRIANGULKS MUNIS D'ARTICULATIONS

Soil le canevas réticiilaire ABCDEA. Désignons parles lettres corrcspondanles abc de les forces en équilibre appliquées aux différents sommets suivant les lignes d'action connues (A) (B) ...

Fig. i36.

Traçons un polygone a^voea des forces appliquées dans Tordre où on les rencontre en faisant le tour du canevas, dans le sens des aiguilles d'une montre par exemple. Chaque côté est désigné sur la figure par le nom de la force a 6c .... Ce polygone est fermé, puisque les forces appliquées (y compris les réactions d'appui supposées connues) forment un système en équilibre.

Par Forigine de chaque force, menons une parallèle à la barre qui vient avant elle sur le pourtour. Ainsi, par l'origine a de a, nous mènerons une parallèle à la barre (2); par l'origine ^ de 6, nous mènerons une parallèle à la barre (1), et ainsi de suite. (Ces différentes parallèles sont indiquées en pointillé sur la figure.)

Cela fait par le point de rencontre m des parallèles 1 et 2 aux barres (i) et (2) qui aboutissent au nœud simple A, on mènera une parallèle /^î/i,* ou 3, ù la première diagonale (3), jusqu'à sa rencontre en n avec la parallèle 4- Par le point /i, on mènera de même une parallèle np à la diagonale suivante (5) jusqu^à sa rencontre en p avec la parallèle (6), et ainsi de suite pour un canevas plus compliqué. On formera ainsi une ligne eiT zigzag mnp .., (ou 3-5-7), ^^^^ ^^s différents côtés mn — np — ... sont parallèles aux diagonales successives et dont les sommets sont sur les parallèles aux barres de pourtour qui encadrent la diagonale considérée, dans l'ordre du numérotage.

On reconnaîtra sans peine que ce tracé fournil tous les poljgoncs des forces relatifs à l'équilibre des différents nœuds.

Le triangle a^wi, par exemple, donne les forces am et m p qui ri'-sullent de la décomposition de la force a suivant Jes deux barres (a) et (i).

De même, le quadrilatère m ^y" fournit d'abord la résultante my (non tracée) des forces connues i et b qui s'exercent sur le nœud B. Celte résultante se trouve elle-même décomposée suivant les barres (3) et (4)) en nm d'une part et ny d'autre part.

De même encore, le pentagone ctmnpt fournit la résultante tn des forces connues e, a et 3 qui s'exercent sur le nœud E. Cette résultante est décomposée suivant les barres (5) et (6) en np clpt. Et ainsi de suite.

En fin d'épuré, la figure doit fournir certaines vérifications résultant des conditions d'équilibre du dernier triangle. Dans la figure ci-dessus, la ligne np doit passer par le |ioinl de concours des lignes 6 et 7.

Usera utile, finalement, de distinguer par des traits de différentes grosseurs ou couleurs les barres lendues des barres comprimées. Cette distinction se fera facilement, d'après le sens des efforts déterminés. Ainsi, la force exercée par le na>ud A sur la barre (a) riant am, cette barre est tendue. De même la bnrre 1 est comprimée, etc.

Reinarijue I- — Nous avons supposé pour la généralité qu'il y avait une force appliquée à chaque nœud. S'il en était autrement, certains côtés du polygone des forces a^y — auraient une longueur nulle, de sorte que deux ou plusieurs sommets de ce polygone seraient confondus. De ces sommets multiples partiraient plusieurs des parallèles aux barres de pourtour, et rien ne serait changé pour cela à la construction indiquée.

Jiemargiie II. — Dans le cas [larticulier, mais cependant assez habituel, où toutes tes charges sont appliquées soit aux nœuds supérieurs de la poutre, soit aux nœuds inférieurs, le polygone des forces se trouve identique à celui dont on fait usage pour déterminer les réactions des np[)uls et tracer hi courbe des pnîssions.

POUTRES ET SYSTÈMES TIUANGVLÉS MUNIS D'ARTICULATIONS. SqI

Remarque II L — Si le canevas était non pas réticulaii^, mais seulement p$eudo-recticulaire, et si, par exemple, les nœuds B et C étaient confondus en réalité, ainsi que les diagonales 3 et 5, la règle précédente demeurerait applicable à condition de faire le dédoublement iictif ()ue nous avons précédemment indiqué.

La ligne 4 de l'épure de Crémona serait arbitraire et les lignes 3 et 5 de cette même épure seraient confondues. La tension dans la diagonale réelle 3-5 serait la différence entre les longueurs mn et np comprises sur l'épure, entre les lignes 2 et 4 d^une part, et entre les lignes 4 et 6 d'autre part, c'est-à-dire tout simplement la longueur mp comprise entre 2 et 6. '

Le tracé effectif de la barre fictive 4 6t de la ligne qui lui correspond dans l'épure de Cnémona n'est doue pas en réalité nécessaire. Mais il est intéressant d'effectuer le numérotage des barres en tenant compte de ces éléments fictifs. Cela évite toute incertitude sur la manière de continuer l'épure et écarte des chances d'erreur, sans compter l'avantage toujours appréciable d'une grande généralisation des règles et des résultats.

Méthode basée sur Péquilibre des tironçons de poutre dans les systèmes à sections normales canoniques. — Le programme des opérations est le suivant. Par hypothèse, on a au moins une section

Fig 137.

normale XX qui coupe au plus trois barres (numérotées 1-2-3 sur la figure). Celte section sépare la poutre en deux tronçons, l'un à gauche, l'autre à droite.

39a CHAPITRE XV. ^

On envisagera spécialement Tun d'eux, celui de gauche par exemple, et Ton cherchera la résultante R des forces qui -lui sont appliquées, y compris les réactions d'appui s'il y a lieu. Cette résultante, qu'on peut appeler la force extérieure relative à la section XX, doit faire équilibre ^ux réactions que le tronçon de droite exerce sur le tronçon de gauche, ou encore former un système équivalent aux actions ^,, ^2, /.i, qu'exerce le tronçon de gauche sur le tronçon de droite suivant la direction des trois barres coupées. Si l'on considère systématiquement la question à ce dernier point de vue, il s'agira donc de décomposer la force extérieure R suivant trois lignes d'action non, concourantes 1-2-3. C'est un problème facile à résoudre, soit graphiquement, soit analytiquement. Comme cas particulier, on peut avoir seulement deux barres coupées par la section considérée. Alors le problème ne diffère pas *de celui qui a déjà été étudié précédemment. La force R est alors la résultante des forces qui s'exercent sur le nœftd à la rencontre des deux barres coupées.

Les tensions /|, Z^, ^3 étant déterminées, si l'on envisage le tronçon de droite, il sera en équilibre sous l'action de ces tensions (substituées à la force R) et des autres forces qui lui sont directement appliquées. Ce tronçon, après suppression des barres- 1-2-3, possédera une nouvelle section simple, et on la traitera de la même façon que la première. . •

De même, si l'on envisage le tronçon de gauche, il sera en équilibre sous l'action des forces qui lui sont directement appliquées et des réactions — (^i )î — (^a)? — ('3)5 dirigées suivant les trois barres 1-2-3. Après suppression de ces bîirres, il possédera par hypothèse une nouvelle section simple, et on lui appliquera encore le même procédé. Et ainsi de suite.

Pour toute section simple telle que XX, il sera utile de se fixer systématiquement un sens positif sur chacune des barres coupées par ell€. On pourra, par exemple, supposer-que ce sens positif est tel que l'on passe du tronçon de gauche au tronçon de droite en traversant la section. De cette façon, aune tension positive correspond une compression dans la barre; à une tension- négative correspond une traction.

Cette méthode est susceptible d'une application graphique (|ue l'on appelle généralement la méthode de Culmann^ et dont

POUTRES :bt systèmes triangulés munis d'articulations. 393

nous ne voyons rien de bien utile à dire, sinon qu'on peut s'efTorcer de réunir sur une même épure toutes les constructions nécessaires pour les différentes sections rencontrées.

Au point de vue analytique, il y a lieu de signaler tout particulièrement un procédé spécial, appelé théorème de liitter^ qui ^ permet de déterminer isolément les trois tensions inconnues £,,

Appelons, d'une manière générale, sommet opposé à une barre coupée par la section siitfple XX le point de concours des deux autres barres qui sont coupées en même temps qu'elle par celte section. La barre r, par exemple, aura pour sommet opposé le point de concours G| des deux barres n*^ 2 etn** 3.

Si Ton considère toutes les forces appliquées au tronçon de gauche, forces dont la résultante est R, et si Ton désigne par M, leur moment par rapport à G|, Tune des équations d'équilibre* consistera à écrire que M| est égal au mom^int de la tension t^. En effet, les tensions t^ et ^3 passent par G| et ont des moments .nuls par rapport à ce point. Désignons par h^ la distance de G» â la barre 1 qui lui est associée, et convenons de considérer /i, comme positif si G est à la droite d'un observateur qui parcourrait la barre i dans le sens positifs défini ci-dessus.

L'équation dont il s'agit sera

/,/i, = M, d'où ^1= -rr-'

On obtiendrait des équations analogues pour les deux autres barres. Par exemple, pour la barre 2, le sommet opposé serait G2, point de concours de 1 et 3. Si Ton désigne par Ma le moment de R, ou de Tensemble des forces appliquées au tronçon de gauche, on aura

en ob^icrvant que, dans le cas de la figure, Aj doit être considéré romme négatif, puisque G2 est à gauche de la barre 2 parcourue dans son sens positif.

On peut donc énoncer ce résultat général. La tension t dans une barre quelcoiicj-ue est fournie par l'expression

394 CHAPITIIB XV.

étant données les conventions suivantes. Le sommet opposé à la barre est le point de concours des deux barres qui, soit dans la poutre prise dans son entier, soit daiis Tune des poutres réduiieîj <|ue Ton peut être conduit à envisager, sont coupées, en même temps qu'elle par une section .normale simple (coupant au plus trois barres). Le. moment M, que Von peut appeler mom^ent de flexion relatif à la barre^ est le moment de toutes les forces, appliquées au tronçon situé à gauche de la section simple, moment pris par rapport au sommet G opposé à la Jbarre. Enfin h est la distance de la barre au sommet qui lui est opposé; cette distance étant prise positivement ou négativement, suivant que le sommet opposé est^ droite ou à gauche de la barre parcourue dans son sens positif, é'est-à-dire de gauche à droite à travers la section.

Il existe des schémas de poutres pour lesquels on peut disposer d'une série de sections normales simples suffisante pour la détermination de toutes Içs tensions dans les barres, sans qu'il y ait lieu d'envisager une suite de poutres réduites. Le théorème de Ritter dçvient alors particulièrement avantageux.

Cette circonstance se présente notamment avec les schémas réticulaires, puisque lious avons vu qu'il y a dans ce cas un système de Al -h I sections normales simples, correspondant chacune à une diagonale, ou barre de numéro impair. Nous avons vu aussi qu'on pouvait faire correspondre à chaque barre un sommet opposé, qui est toujours le point de concours des deux barres qui l'encadrent dans l'ordre du numérotage. Enfin, il est facile de trouver une règle simple pour la composition du moment de flexion M relatif à chaque barre. Cette règle est la suivante :

Le moment de flexion M est le moment de toutes les forces appliquées en des nœuds {ou sommets) dont le numéro d^ ordre est inférieur à celui de la barre considérée, ^'

En se reportant à un schéma de poutre réticulaire, et en considérant la section normale simple qui correspond à la diagonale a/> -h 1 , on reconnaît facilement que cette section laisse à sa gauche tous les nœuds réels dont le numéro est inférieur à 2^ -+- i , le dernier nœud dépasse'' étant Gj;,.

La règle s'applique donc directement à la diagonale 9.p -f- 1 .

POUTRES ET SYSTÈMES TRIAN6ULBS MUNIS D'ARTICULATIONS. 3g^

EUle S'applique aussi sans difficulté à la barre membrure â/7+2, car il n'y a pas de nœud réel portant le n* 2/> -f- 1 .

Enfin elle s'applique à la barre de nunién> 2/?, qui peut être i^ttachée à la section normale précédente, correspondant à la diagonale ip — \, 11 est d'ailleurs indifférent de compter ou non dans les forces appliquées au tronçon de gauche celle qui serait appliquée au sommet O^pj car elle aurait un moment nul par rapport à ce sommet, opposé à la barre %p.

Remarque /. — Le théorème de Ritter présente un cas d'exception quand le sommet opposé à la barre est rejeté à Tiilfini. Cela arrive souvent pour une diagonale quand les membrures qui Tencadrent sont parallèles entre elles. Dans ce cas, M et h sont

tous les deux infinis et la formule ^ =i= -r ne s'applique plus. On

trouve alors la valeur de /, ou la limite du rapport ~ , en écrivant

que sur un axe perpendiculaire à la direction commune des membrures la somme des composantes des tensions est égale à la composante T de la force extérieure R. Les composantes des tensions des membrures sont nulles; celle relative à la diagonale est /sina, si l'on désigne par a l'angle de la diagonale et des membrures. On

a donc dans ce cas

sina

Remarque II, — Plus généralement, si le sommet opposé à une diagonale, telle que 2, est très éloigné, et si l'on éprouve quelque difficulté à trouver les q«4intités Ma et h^ qui lui correspondent dans la formule de Ritter, on peut déterminer la tension t^ <lès que l'on connaît les tensions tf et ^j, en écrivant que les projections de R et de ti £2^9 sont égales sur la direction ar.r, d'ailleurs arbitraire.

Remarque III, — Le théorème de Ritter ramène très simplement l'étude de la tension dans une barre déterminée d'un système à sections canoniques à l'étude du moment de flexion M qui est proportionnel à cette tension.

II en sera de même de l'étude de la fatigue dans la barre qui est

le quotient ^- de la tension par Taire S de la section normale de la barre.

Définition des lignes dUnfluence dans les poutres articulées. — Nous avo^s supposé, dans ce qui précède, que les charges étaient directement appliquées aux nœuds de la poutre, ou bien reportées en ces nœuds par des poutres secondaires, ou longerons, sur lesquelles les charges peuvent occuper diverses ppsitioiis.

Supposons qu'un longeron horizontal règne d'un bout à l'autre de la poutre et qu'une charge mobile P =r= 1, de direction verticale, se déplace sur lui. L'effet produit par cette charge mobile dans une barre déterminée de la poutre pourra être différent suivant les dispositions prises pour rattacher le longeron aux nœuds de cette poutre. Généralement, le longeron sera rattaché à un certain nombre de nœuds, dont les numéros formeront une suite de nombres définis, quand on parcourra le longeron de gauche à droite. Ces nœuds successifs seront ce qu'on peut appeler les nœuds de chargé. Leur suite pourra comprendre toiis les nœuds, ou au contraire n'en comprendre qu'une partie.

Supposons maintenant que la position de la charge mobile P soit définie par Tabscisse a de sa ligne d'action, abscisse comptée à partir de Texlrémité gauche de la poutre, ou du longeron, par exemple. La ligne d'influence correspondant à un effet déterminé dans une barre déterminée sera la courbe dont Tordonnée représenterait l'effet en question en fonction de l'abscisse a.

Toute l{gne d^ influence sera constituée par une ligne poly- >nale i charse.

gonale dont les sommets seront sur les verticales des nœuds de

Supposons, en effet, deux nœuds de charge consécutifs G et G'. Si la charge P se trouve sur le longeron au droit d'un de ces nœuds, elle agira sur la poutre comme si elle était directement appliquée à ces nœuds, et elle produira des effets y et y respectivement. Si elle se trouve comprise entre G et (i', elle se décomposera en deux forces p et p agissant suivant les verticales des nœuds, el Teffel produit par elle sera représenté par l'expression

Or les deux forces p et p\ dont la somme est égale à P, varient linéairement avec Tabscisse a, tanl que cette abscisse est comprisse

POUTRES ET SYSTÈMES TRUNGUl.BS MUNIS D*ARTICUL4TI0NS. 897

entre G et G'. 11 en est donc de même de l'expression précédente.

En conséquence, pour construire une ligne d'influence quelconque, il suffit dans tous les cas d'en déterminer les points qui correspondent aux verticales des nœuds de charge, puis à relier ces points par des lignes droites.

Un nombre plus ou moins grand de ces lignes droites peuvent d'ailleurs se confondre, dentelle sorte que la ligne d'influence cherchée peut se réduire à un très petit nombre de côtés. Le principal intérêt de toute étude particulière consiste à rechercher a priori la forme des lignes d'influence, le nombre de leurs côtés et la position de leurs sommets, ou points de brisure.

Étude d'une poutre réticolaire posée sur appuis simples. — Considérons, pour fixer les idées, le schéma réticulaire ci-contre et supposons que les appuis soient deux nœuds quelconques, G à gauche, et G' à droite, de façon que la poutre soit en réalité une poutre console.

Pour préciser, supposons que l'appui de gauche soit le nœud G4, et que l'appui de droite soit G^j. La poutre pourra être divisée en trois parties distinctes : une console de gauche, une console de

Kig. i38.

droite et une partie centrale. Dans Texemple choisi, la console de gauche comprendra les barres 1, 2, 3, j, précédant l'appui G»; la console de droite comprendra les barres 12, i3 suivant l'appui G12; et la partie centrale sera composée de toutes les autres, qui forment un schéma réduit, de même nature que le schéma total.

Il y a donc deux études distinctes à faire, celle relative à une barre de la partie centrale et celle relative à une console.

Considérons d'abord la partie centrale et proposons-nous de trouver la ligne d'influence du moment de flexion M^ relatif à une

398 CHAPITSS XV.

barre d^ndice p. Soit G^ le sommet opposé à la barre et soit Xp Tabscissc de la verticale de ce sommet.

Soit d'une manière générale a l'abscisse de la verticale suivant laquelle agit la charge mobile P = 1 . Cette abscisse est supposée rapportée à l'appui de gauche G; elle peut être positive ou négative, et il suffit d'attribuer à a les diverses valeurs qui correspondent aux abscisses des difTérents nœuds de charge.

Quel que soit a, on reconnaîtra d'abord que la réaction de Tappui simple de gauche G sera* donnée' dans tous les cas ()ar la formule

en désignant par / la distance horizontale des deux appuis G et G'.

Cela posé, considérons la charge P lorsqu'elle coïncide avec un nœud de charge G»«, d'abscisse -a:«= a.

Si Ton a m>»p, le moment de flexion M^ aura simplement pour valeur

Mp= Rarp= P — j—^j.'

Si l'on a m </>, le moment Mp sera composé du moment de la réaction R et du moment de la force P. Son expression sera

M„= Rxp- P(r„- a) = P ^iL^^.

Si le sommet G;, est un nœud de charge, et si l'on fait a == Xp^ ces deux formules donnent la même valeur

Xp(f — Xp)

On en déduit facilement les résultats suivants :

i" Si Gp est un nœud de charge, tous les sommets de la ligne d'influence qui correspondent à des n(Euds de charge d'indice inférieur ii p se trouvent alignés sur la droite

POUTRES ET SYSTÈMES TRIANOtJLÉS MUNIS D'ARTICULATIONS. 599

qui coupe la verticale a = o, au poiat M = o et la verticale aL = Xp au point d'ordonnée M = P ^' T^'^^ '

De même tous les sommets de la ligne d^nfluence qui correspondent à des nœuds de charge d'indice supérieur à p se trouvent iilignés sur une seconde droite ,

qui coupe la verticale a = / au point M = o et la verticale ctr=:Xp au même point que la précédente.

La ligne d-influence complète se composera donc de deux droites seulement, et ces deux droites seront complètement définies par leur ordonnée commune sur la verticale aL = Xp du nœud G^.

2® Si Gp n'est pas un nœud de charge, les résultats précédents subsistent pour tous les nœuds de charge d'indice inférieur à p d'une part, et pour tous les nœuds de charge d'indice supérieur à p d'afitre part. Si donc l'on désigne par G^ et Gr les nœuds de charge qui encadrent G;,, les deux droites précédemment définies, se coupant sur la verticale de G^, constitueront des portions de la ligne d'intluence cherchée. On sait, d'autre part, 'qu'entre les verticales G^ et G,- la ligne d'influence est une troisième portion de droite, joignant les points où les deux droites précédentes coupent les verticales de Cr^ et Gr respectivement.

Il peut arriver, dans ce caa, si la verticale de Gp est en dehors de l'épure, ou simplement éloignée, qu'il y ait quelque difficulté à définir les deux premières droites par leur ordonnée commune sur cette verticale. Alors il sera possible et commode de définir l'ensemble des trois droites constituant la ligne d'influence par les ordonnées, qui leur sont communes deux à deux sur les verticales de (jy et Gr respectivement.

En d'autres termes, pour définir complètement la ligne d'influence de M^, il suffira de supposer que la charge coïncide avec Gp, si G^ est un nœud de charge, et, dans le cas contraire, de déterminer les deux nœuds de charge G^ et Gr qui l'encadrent et de supposer que la charge mobile coïncide successivement avec Gq et Gril est bien évident, d'ailleurs, que la ligne d'influence de la

/|00 CHAPITIIB XV.

tension tp dans la barre est proportionnelle à celle de M^,. Par suite, si l'on dispose d'un moyen simple quelconque pour déterminer les valeurs de tp^ lorsque la chargé coïncide soit avec G;m soit avec G^ et Gr, ces déterminations suffiront dans tous les cas pouf déterminer les sommets de la ligne d'influence cherchée, soit celle de M^, soit celle de Ip^ et pour tracer complètement cette ligne d'influence.

La forme affectée par la ligne d'influence peut être assez variée, car elle dépend des positions respectives de toutes les verticales GG','G^, G^ et Gr« Mais les règles précédentes permettent de la déterminer toujours sans difficulté.

Considérons maintenant une console, celle de gauche par exemple. On peut l'étudier indépendamment du reste de la. poutre, et en appliquant des principes analogues. Ici, la réaction R de Tappui n'intervient jamais dans la composition du moment do flexion M;,.

La charge mobile P coïncidant avec un nœud de charge G/», on distinguera deux cas.

Si 7w5p, le moment de flexion M^, est nul.

Si /n ^/^j on aura

Par suite, tous les sommets de la ligne d'influence qui correspondent à des nœuds de charge d'indice égal ou supérieur à p sont situés sur la ligne de référence, à laquelle o,n rapporte les ordonnées. Tous les sommets qui correspondent à des nœuds do , <;harge d'indice inférieur à p sont sur une même ligne droite, qui coupe d'ailleurs la ligne de référence sur la verticale de G^, et dont le coefficient angulaire est connu et égal à i .

Si Gy, est un noMid de charge, cette droite suffit à définir la ligne d'influence. Dans le cas contraire, on cherchera encore les nœuds de charge G,, et (irqui encadrent (i,j, et l'on saura d'avance que l'ordonnée de la ligne d'influence est nulle sur la verticale Gr. Il suffira donc de déterminer le point correspondant à la verticale Gy et de le joindre au point d'ordonnée nulle sur la verticale Gr pour avoir le côté de la ligne d'influence dans l'intervalle de ces deux verticales.

Remarque /. — Les résultats qui viennent d'être oblenus

POtTHES KT SYSTÈMES TRIANGULK8 MUNIS D'aHTICULATIONS. 4^1

s^appliquent aux poutres pseudo-réticulaires, dont on peift toujours ramener le canevas à un canevas réticulaire par un numérotage convenable.

En ce qui concerne;, les ba/res de pourtour, ou membrures, qui ont toujours pour sommets opposés des nœuds réels, 11 n'y a aucune difficulté. Les points de brisure de la ligne d'influence ne peuvent se rencontrer que sur la verticale de G;,, si Gp est un nœud dp charge, ou sur les verticales de G^ et Gr qui sont les nœuds de charge encadrant (j^.

Mais en ce qui concerne une diagonale dédoublée, il lui correspond en réalité deux sommets opposés ijp et G^,', et les nœuds de charge qui les encadrent peuvent ne pas être les mêmes. Théoriquement, il faut chercher les lignes d'influence de M^ et M^', ou de tp et de tp' isolément, puis les combiner par voie d'addition algébrique. Cela pourra conduire ù des formes plus compliquées. Mais les points de brisure se rencontreront toujours sur les verticales des nœuds de charge encadrant soit Gp soit G^', et il suffira toujours de les déterminer directement, par un procédé d'ailleurs quelconque, pour être en mesure de tracer la ligne d'influence complète.

Rémarque II. — 'Bien que le tracé des lignes d'influence suffise en principe pour résoudre toutes les questions relatives au cas de charges verticales multiples, il est utile de dire quelques mots au sujet de la recherche directe des moments de flexion dans une poutre réticulaire reposant sur des appuis simples coïncidant avec ses nœuds extrêmes.

^Supposons d'abord un système de charges appliquées aux nœuds de la poutre, et supposons tracé un polygone funiculaire d^ ces charges, rapporté à sa ligne de fermeture, coçimc s'il s'agissait d'une poutre prismatique.

Considérons la barre d'indice p et son sommet G^,. Soit G^ le dernier des nœuds chargés qui précède G,,. D'après ce que nous avons dit plus haut, le moment M^ sera la somme des moments de la réaction de l'appui de gauche et de toutes les charges appliquées aux nœuds d'indice inférieur à p. 11 sera représenté par le segment compté sur la verticale de G^ entre la ligue de fermeture et le côté du polygone funiculaire qui suit la charge appliquée <^n (i^.

PiGEAUD . 26

La seule difiércncc essentielle avec le résultat trouvé pour les poutres prismatiques consiste en ce que la verticale de G;, ne rencontre pas toujours ici le côté dont 11 s'agit du polvgone funicu- , laire, mais seulement son prolongement. Gela arrive notamment si la barre d'indice p est une diagonale.

Quand les charges appliquées agissent, non pas directement sur les nœuds, mais sur un longeron qui les y reporte, on peut au préalable en faire la décomposition suivant les veilicfiles des nœuds et rentrer dans le cas précédent. Mais on peut plus simplement tracer le polygone funiculaire des charges, sans s'inquiéter de leur position par rapport aux nœuds. Ensuite, on remplace le polygone funiculaire par les cordes qui joignent deux à deux les points situés sur les verticales des nœuds -de charge successifs. Ces cordes sont, en efFel, les lignes de fermeture des polygones funiculaires partiels que l'on aurait eu à envisager si l'on avait voulu décomposer les forces données suivant les verticales des nœuds de charge successifs.

Étude d*un arc à triple articulation. — IVous supposerons ici que l'arc repose sur ses nœuds extrêmes pourvus d'articulations, et que les appuis soient de rtiveau pour simplifier.

On commencera par étudier l'arc, conime si son articulation centrale était supprimée et comme s'il reposai! sur des appuis simples. Sous l'action d'une charge mobile P = i , on pourra supposer déterminé le moment de flexion p. correspondant à uq sommet quelconque de la poutre, et notamment le moment de flexion jjl' au nœud qui forme l'articulation* centrale. '

La ixîaction complémentaire d'apj)ui est une force Q dirigée suivant la corde, ligne qui joint les articulations extrêmes. Si Ton désigne par y l'ordonnée d'un sommet ra|)portée à cette corde, le moment total de flexion en ce si)mmet sera

Pour l'aVlicuhuion centrale, on doit avoir J\F = o. Par suite, Q est déterminée jmr réqualion déjà rencontrée

/-Qy=o, d'où Q = -h-

La ligne d'influence de Q st^a donc une réduction de celle de [x'.

POUTRES ET SYSTÈMES TftIANGULBS MUNIS D'ARTICULATIONS. f\OS

Elle se composera de deax droites seulement, si l'articulatioTi cenirale est mi nœud de charge, ce que nous supposerons.

Dans ces conditions, le mom^ent de llexlon en un sommet quelconque G^, correspondant à la barre d'indice y>, sera

Sa ligne d'influence, combinaison linéaire de celles de [jl^ el de jx' sera donc composée d'un petit nombre de lignes droites, et ses somçiets, ou points de brisure, se rencontreront toujours d'un coté sur la verticale de Tarticulation centrale, |)oint de brisure pour ^/jl', et d'un autre côté sur les verticales des nœuds de charge (j^ et (i^ qui encadrent le sommet G;,, si (-elui-ci n'est pas lui-même un nœud de charge, ou simplement sur (i^, s'il est luimême un nœud de charge.

1^ règle qui s'en déduit pour la détermination de la ligne d'influence de Mp, ou de tp^ est la suivante.

On placera la charge mobile à l'aplomb de l'articulation i\(t\\T traie et Ton déterminera les tensions dans les barres. On adra ainsi d'un seul coup les points de toutes les lignes d'/nfluence qui sont situés sur la verticale de l'articulation centrale. Puis, pour une liiirre déterminée, d'indice />, on supposera la charge mobile à l'aplomb de (i^,, si ce point est un nœud de charge, ou à l'aplomb des nœuds de charge qui l'encadrent dans le cas contraire. On aura ainsi les points situés sur ces verticales et l'on n'aura plus i\\\h joindre par des droites les diflérents jyoihts déterminés.

Nous allons d<mner un exemple détaillé de ces déterminations.

Fermes du type Gisclaxd. — Lne ferme ( lise lard est un arc à triple articulation renversé, l'articulation centrale O étant au-d<*ssous des appuis ou articulations extrêmes A et A'.

Chaque demi-ferme, telle que AO, est composée de ti-iangles accolés, dont deux côtés passent par le point A. On n'a donc j)as un schéma réticulaire, mais seulement un schéma pseudo-rélicu- . laire. On résoudra le nœud multi()le A en supposant intercalés des triangles infiniment plats dont les bases seront par exemph» <lirigées suivant une même droite arbitraire AS, qu'on pourra niêm<* sup» ' poser verticale pour faciliter certains calculs. I^i figure indi([ue le

4o4 CHAPITRK XV.

numérotage à allribuer aux barres et aux nœuds dans le système réliculaire équivalent. Chaque diagonale se trouvera dédoublée

Fig. 139.

(exception faite de la première) et portera deux numéros impairs • successifs. Les côtés intercalaires infiniment petits, dirigés suivant AS, porteront les numéros o, 4? 8, 12 ( en tenant compte de la barre zéro d'un schéma prolongé vers la gauche), F^es nœuds inférieurs de la poutre sont leurs sommets opposés, et portent les mêmes ituméros. Ils constiluenl, de plus, la suite des nœuds de charge,, car c'est en ces nœuds que s'attache le tablier porlanl les charges. La ligne brisée formée parées nœuds tourne généralemenl sa concavité vers le haut; à titre exceptionnel, c'est une ligne droite. Ses différenls cotés sont les numéros pairs 2, (), 10 et ont pour sommets opposés le point A.

On distinguera donc ces côtés, de numéros pairs (/n^-j-a) qu'on appellera liens^ des côtés de numéros impairs qu'on appellera haubans. Le hauban central AO jouera un rôle spécial. Toutes ces barres sonl constituées par des câbles flexibles et ne peuvent en principe résister à des compressions.

Ceci posé, il est très simple de reconnaître la fornie des lignes d'influence des tensions el de trouver les ordonnées des ))oints de brisure qui les définissent. .

Tout d'abord, il est aisé de reconnaître que, lorsque la charge mobile P = i esl appliquée à Tun des nœuds de charge, elle ne [>rovoque aucune tension dans tontes les barres simples situées à sa gauclie, c'esl-à-dire portant des numéros inférieurs à celui du uœud chargé. Ex('eption doit cependant être faite pour le hauban central AO, que nous examinerons à part.

POUTRBS ET SYSTEMES TRIANGULES MUNIS D ARTICUL^VTIOXS.

Supposons, en effet, la charge P appliquée en Gg par exemple. Cetre charge se décomposera simplement suivant la diagonale j-c) et le lien n** lo. Il n'y aura ai|cune tension dans le lien précédent numéroté 6. C'est presque évident et au surplus cela résulterait du théorème de Ritter, car pour* la barre «6 le sommet opposé est A et il n'y a aucun nœud chargé, de numéro inférieur à 6, à Texception du nœud A lui-même. On a donc M6=o=/6ll ne peut par suite y avoir de tension dans les barres qui précèdent la barre n® 6.

Considérons maintenant cette barre n" 6. Les nœuds de charge qui Tencadrent sont Gj et Gg. On sait qu'au delà de Gg la ligne

d'inHuence se confond avec la ligne de référence O. Elle aura donc en Gg un point de brisure connu, et d'ordonnée nulle. 11 suffît de déterminer soii second point de brisure, situé sur la verticale (G4). La ligne d'influence a la forme ci-contre AMiGgA' et ne présente qu'une zone. L'ordonnée Mi G» s'obtiendra d'ailleurs en supposant la force P = i appliquée au nœiid G», et en le décomposant suivant la barre 6 et la diagonale 3-5. Cela ne peut donner qu'une traction et par suite il ne peut y avoir que des tractions dans la barre considérée. . f

Examinons maintenant un hauban tel que 3-5, qui est toujours une barre dédoublée. Les nœuds de charge qui encadrent la barre simple n" 3 sont Gq et Gj. Ceux qui encadrent la barre simple n** 5 sont Gj et Gg. On sait que le point de brisure situé sur (GK)a une ordonnée nulle et qu'au delà de Gg la ligne d'influence se confond avec la ligne de référence. 11 reste donc à déterminer les points de brisure N» et N^ situés respectivement sur (G j) et (Go) respectivement. La détermination de l'ordonnée (J4N4 est toute faite, car elle résulte de la décomposition de la charge P, appliquée en G^», suivant le hauban considéré et suivant la barre n** 6. Elle corrcs-

4o6 CIIAMTB£ XV.

pond nécessairement à une traction. Pour avoir l'ordonnée GoN©, on supposera la charge P appliquée au ricrud Go et on la décom-

!>osera d'abord suivant les barres i et 2. Ei\suite on décomposera a traction ainsi trouvée pour la barre n^ 2, suivant les deux barres (] et .5-5. •

Ici, il fiiut faire une remarque essentielle. Si la ligne brisée formée par les nœuds de charge est concave vers le haut, comme nous Tavons supposé, la direction de la barre 2 prolongée passera au-dessous de la barre 6 et l'on sera conduit à un effort de compression dans le hauban 3-5. Cet effort sera d'autant plus faible que Tangle aigu des deux côtés successifs 2 et 6 sera j)lus petit, et il deviendra nul si cet angle est nul, c'est-à-dire si les nœuds de charge (i^Ci^Gg sont en ligne droite.

Dans le cas le plus ordinaire, la ligne d'influence aura donc la forme ci-desso'us ANoN^GgA' et présentera deux zones, une positive et une négative, cette dernière disparaissant si les meuds de charge sont en ligne droite.

Enfin, examinons le hauban spécial, AO. 11 joue le rôle d'un hauban ordinaire t^nt que la charge mobile affecte la demi-ferme de gauche. Quand la charge dépasse l'articulation O, il joue le rôle

d'une retenue pour la demi-ferme de droite. Sa tension ne peut, dans ce s<^ond cas, que varier linéairement avec l'abscisse de la charge; autrement <lit, sa ligne d'influence est une ligne droite entre () et A'. La ligne d'influence complète sera de la forme cicontre AL8L|2A^ Elle a encore une zone positive et une zone négalivt» dans le cas général, cette dernière zone pouvant encore disparaîln^ quand le lien n° 10 est dans le prolongement de la l)arn' OA'. *

En conséquenciî, on pourrait théoriquement éviter toute com-

POUTRES ET SYSTÈMES TR1\NGIILÉS MUNIS d'aRTICU IMITIONS. 4o7

pression dans les haubans en établissant tous les nœuds de charge en ligne di'oite et dans le prolongement de OA'. Mais celte solution

radicale aurait rinconvéniçnt d'augmenter d^me manière excessive la hauteur de la construction et elle n'est d'ailleurs aucunement nécessaire. En effet, l'ouvrage portera toujours, antérieurement aux surcharges variables qui lui seront imposées, une certaine charge permanente, plus ou moins assimilable à une charge uni- . formément répartie. Cette charge permanente produira des tensions dans toutes les barres, à moins de circonstances très exceptionnelles, car la surface des zones positives des lignes d'influence remporte sur celle des zones négatives. Dans ces conditions, il ne pourra y avoir compression dans un hauban que si les surcharges peuvent y produire une compression maxima supérieure à la tension initiale qu'il prend sous Faction de la charge permanente. Or, il est toujours possible d'éviter cette éventualité par un tracé convenable de la ligne brisée passant par les nœuds de charge. M. Résal a donné l'équation d*une courbe limite sur laquelle il

• convient en principe, de placer les différents nœuds pour qu'on soit assuré de donner partout la prépondérance à l'effet de la charge permanente. Celte courbe dépend du rapport de la charge permanente />, supposée uniformément réparlie, à la. surcharge variable 7, supposée aussi uniformément répartie. Pour trouver son équation, on suppose que les nceuds de charge sont infiniment rapprochés, et Ton écrit que pour la diagonale qui aboutit à Tun

^ d'eux, les aires posilives et négatives de la ligne d'influence sont

dans le rapport ^ — —-

Plus simplement, on déterminera par quelques tâtonnements les directions à attribuer aux barres 10-6-2 successivement rencontrées à partir du nœud central. .

4o8 CHAPITRE XV. <

Pour la barre n* lo par exemple, il faut faire en 'sorte qu'il nV ait pas de renversement d'efforts dans le hauban central AO. Or, la ligne d'influence de ce hauban possède un point de brisurp Lia qui ne dépend pas, de la direction de la barre n** lo. Celle-ci influe seulement sur l'ordonnée f^G» du point de brisure situé sur la verticale Gg. Quand on connaît la charge permanente et les surcharges variables^ envisager, il est facile de déterminer la valeur maxima Y qui peut être admise pour cette ordonnée LgGg. Une fois celle-ci connue, on essaiera pour le nœud Gg diverses positions prises sur la- verticale (Gg) et Ton s'arrêtera à celle qui donne pour l'ordonnée LgCig une valeur égale, ou légèrement inférieure à \.

La position du nœud Gg étant fixée, on procédera d'une façon analogue pour fixer celle du nœud précédent (J4. Il s*agit cette fois de faire en sorte qu'il ny ait pas de renversement d'efforts dans le hauban ^-9. Or, la ligne d'influence de ce hauban a encore un sommet [celui correspondant à la verticale (Gg)], qui ne dépend que de la position de Gg, déjà fixée, et non de celle de G^. On déterminera G» sur la verticale correspondante (G»), de manière que le second sommet de la. ligne d'influence ait une ordonnée négative acceptable, et ainsi de suite.

On arrive ordinairement très vite à placer deux des nœuds successifs sur une même horizontale, tout en satisfais.int à la condition qu'il n'y ait pas de renversement d'efforts dans la diagonale correspondante. A partir de ce moment, le plus simple est de placer tous les nœuds restants sur celle même horizontale.

On peut avoir, dans certains cas, intérêt à placer systématiquement tous les nœuds sur une même droite, horizontide, ou presque horizontale, ou même sur une ligne légèrement convexe épousant la forme du tablier suspendu à la ferme. Ce tablier pourrait alors remplacer les liens. On n'aurait de renversements d'efforts à craindre que dans le hauban central. 11 pourrait être opportun pour • l'éviter de recourir à un procédé pratique, tout différent de celui qui vient d'être exposé. Il consisterait à alourdir artificiellement la partie centrale du tablier, au moyen d'un lest approprié, de ftianière à augmenter la tension initiale des haubans centraux.

Remarque. — Dans ce qui précède nous avons supposé, pour

pot TRES ET SYSTÈMES TRIAN6ULÉS MUNIS d'aRTIGULATIONS, /i09

simplifier l'exposé, que Ton avait recours à des constructions graphiques pour trouver les tensions des barres. Mais on peut tout aussi bien recourir au calcul. Clierclions par-exemple à calculer les ordonnées MtG» et N^Ij^ des lignes d'influence du lien n" 6 et du hauban 3-5, lorsque la charge P coïncide avec le nœud G^. Prenons pour direction positive dans la barre () celle qui va de (ij à (jg et appelons a Tangle positif qu'elle fait avec Thorizontale. Prenons de même comme direction positive dans le hauban, celle qui va de A à (i, et appelons — [3 l'angle (négatif) qu'elle fait avec riiorizontale. l-.a direction de la charge P faisant un angle

y = — - avec l'horizontale, on aura en appliquant les formules

générales, et en désignant par Tqj et Tp les tensions respecti\es des barres 6 et 3-5,

Ce sont deux tractions.

Calculons de même l'ordonnée Go^fo == T'p de la ligne d'influence du hauban 3-5. Il falit passer par Tintermédiaire de la tension T^. qui se produit dans la barre n® 2 sous l'action d'une charge P appliquée en Gq. On a, d'après la première des formules précédentes.

sin(a'-+-P')

en désignant par ol et P' les angles que f(ml avec l'horizontale la barre n" 9. et le hauban n** i . Cette tension T^» est dirigée de G^ vers G©; elle est négative par rapport au sens positif choisi sur la barre n" a. Il faut la décomposer à son tour suivant les directions 6 et 3-5. En appliquant les formules générales on trouve

^f p cos^' sin(g — g')

f^"" sin(a'-+-p') sin(a^-P)'

On voit que si ot = a', on a T« = o, et que si a > a', on a Tp < o, et par suite une compression dans le hauban.

On peut, en utilisant ces formules, trouver assez simplement Téquation de la courbe limite de M. Résal. Supposons les nœuds de charge infiniment voisins et situés sur une courbe qui ait pour équation ^K ==/(^)- Soit rfjc Tinlervalle constant qui sépare deux

4lO CHAPITRE XV.

nœuds de charge successifs. L'aire posilive de la ligne d'influence du hauban qui aboutit au point G (xy) a pour valeur TpX rfx.

L'aire négative a pour valeur - T'^ X X. Il faut écrire que leur rapport est égal à^ — 2. en valeur absolue. Or, ce rapport a pour valeur principale^

idx tosasin(a-h S) lidx ^ , \ ,'

— r— 7 7- ■ - „', — i-^ = — 7-co8'a(tanga •+- tans 4).

D'un autre côté, on a

o y dy

tangp=^, tanga=^

et, par suite,

»/ ^ dot d^y ,

Le rapport en question peut donc s'écrire

'^ , \ dx X )

dx^ et l'équation différentielle cherchée est

ou encore

p-^ q .d>y dy

a/> dx^ dx '^

C'est une équation linéaire facile à intégrer.

m. «- Recherche des déformations.

Déformation d'une barre. — Nous supposons que la section de chaque barre soit la même d'un bout à l'autre. Alors si t est la traction s'excrçant dans une barre de longueur / et de section S, l'allongement de cette barre sera donné par. la formule

tl

Si t représente une compression, X représente naturellement un raccourcissement.

POUTRES ET SYSTÈMES TRUNGULBS MUNIS U'ARTICI LATIOXS. /\H

Déformation d'ensemble. — Lorsque l'on connaît les elForts supportés par toutes les barres d'un système articulé, ainsi que les sections de ces barres, on, peut donc déterminer tous leurs allon- «çemenls et Ton peut construire la figure déformée, puisque l'on connaît les nouvelles longueurs de toutes les barres.

Mais la construction de la figure déformée n'est pas pratique, à cause de la petitesse relative des déformations par rapport aux longueurs des barres. On |)eut y suppléer par plusieurs méthodes.

l* MftXHODE BASÉE SUR LE REPLACEMENT RELATIF d'uK SOMMET

PAU RAPPORT A OEUx AUTRES. — Supposons, cc qui est un cas absolument général, que les sommets A et B étant fixés, un troisième sommet C puisse s'en déduire par la connaissance des Ion-

gueurs des barres AC = b et BC =: «, puis qu'un quatrième sommet pui-sse se déduire de deux des trois premiers, et ainsi de suite. Soient A', B', C'ies positions des trois sommets après déformation.

Fig. -».

Les points A' et B' sont supposés connus, ainsi que les allongements a et ^ des cotés a et b.

.|l;2 CHAP1TR1-: XV.

Par A' traçons une parallèle' à AC, et prenons A'a = b e\ ali = ?.

Par ^' traçons de même une parallèle à Bc, et prenons B' b = a et 6Q = a.

Pour trouver le point C, il suffit de décrire de A' eomme centre avec A' P = 6 -|- 8 pour rayon un arc de cercle PC, et de B' comme centre avec B' Q = a -+- a un second arc de cercle QC et de prendre leur intersection. Les arcs de cercle PC et QC peuvent, à des infiniment petits près du second ordre, être remplacés par les perpendiculaires PC et QC élevées sur A'P et B'Q respectivement, les ang^les de A'C et de B'C avec* AC et BC respectivement étant très petits.

La figure Ca Pc'Q^C qui fournit le déplacement ce du point G

peut donc {»lre construite indépendamment de la connaissance des

points A et B, el peut par suite être tracée à une échelle arbitraire

aussi grande qu'on le voudra, et elle se réduit à ceci. Sur une figure

auxiliaire (rapportée si Ton veut à deux axes Ox^ Oj')' ^" marque

les points a et 6, tels que les vecteurs Oa et 06 représentent les *

déplacement^ des sommets A et B :

Oa = Ca =: AA', Ob = cô== BB'.

Par a on mène urt vecteur aP parallèle au côté b et égal à p. Par b on mène un vecteur 6 Q parallèle au côté a et égal à a. On trace les perpendiculaires Pc et Qcâces derniers vecteurs. Le vecteur Oc représente le déplacement GC du sommet C.

On peut grouper sur la même iigure les constructions suivantes qui détermineraient le déplacement d'un quatrième sommet, et ainsi de suite.

Il est bien évident que les déplacements ainsi trouvés ne seront que des déplacements relatifs et non les déplacements réels, si les déplacements attribués aux deux premiers sommets ne sont, pas eux-mêmes des déplacements réels. Ces déplacements relatifs définiront seulement la nouvelle forme de la poutre et non sa nouvelle position.

L'épure dont il vient d'être parlé peut également servir pour la détermination des déplacements angulaires, tel que Tangle CA'P que fait la nouvelle direction A'C avec AC. 11 suffira de mesurer PC ou Pc à Téchelle de l'épure et de diviser sa valeur par celle du

POLTRI^S ET SYSTEMES TRIANGULES MUNIS D ARTICULATIONS.

cuir b. Le sens du déplacement angulaire est toujours indiqué sans ambiguïté par le sens du vecteur Pc.

On peut de même en déduire la variation subie par l'angle de deux barres quelconques. C'est la différence des déplacements angulaires des deux barres, pris chacun avec son signe.

2® Méthode particulière aux poutres réticulaires. — a, \ arialion (Vun angle A (Vun triangle quand le côlé opposé a éprou\?(:

Fig. i-V').

un allongement a, les deux autres côtés demeurant de longueur invariable, — De la formule

* t= 6* -T- c* — ibc cos A

on déduit par différentiation

2aa =-+- 'ibc sin A d\.

Mais 6c sin A ==«/*, en désignant par A la hauteur correspondante au côté a. Par suite, on a

ou

oi = h d\

b. Déplacement élémentaire d^un point insariablement lif*^ à Vextrémilc de la poutre lorsqu'une des barres subit un allongement a. — Si une des barres de la poutre s'allonge, il en résulte une déformation pour le triangle ou pour les deux triangles dont elle fait partie. Mais à gauche comme à droite restent deux tronçons sans déformation. Celui de gauche reste immobile par hypothèse, celui de droite subit au contraire un certain déplacement, et ce déplacement d'une figure in\ariable de forme ne peut

être autre chose qu'une rotation i\utour d'un certain centime instantané.

Ce centre instantané est toujours le sommet opposé à la barre qui s'allonge.

En efiet, supposons d'abord qu'il s'agisse d'une membrare telle que BD, dont le sommet opposé est le point C. Ce point, considéré

Kig. i46.

comme faisant partie du ironcon de jçauche, demeure fixp par hypollièse. Considéré comme faisant partie du tronçon de droite, il constitue le centre instantané de rotation, en raison de sa Il xi té. y

Supposons maintenant qu*il s'agisse de la diaj^onale (^D, dbnt le sommet opposé est S, point de concours des côtés BD et CE qui l'encadrent. I^e point B étant lini, et la longueur BD invariable, le déplacement du point D est DI)| perpendiculaire à BD. De même, le point Ci étant fixe et la lon<:;;ueur CE invariable, le dépla- <*ement du poini E ne peut être que perpendiculaire à CE. Par suite, le centre instantané, qui est le point de rencontre des pci'pendiculaires élevées au milieu de I)D« et de EE|, ne peut être autre que le point S.

En ce qui concerne la grandeur de la rotati(m, elle est donnée par la variation de l'angle correspondant à la barre déformée dans le triangle constitué par cette 'barre et par le sommet opposé. iW résultat est évident quand il s'agit d'une membrure telle (jue BD. (^uand il >'ajiil d'une diagonale telle que CD, il suffit pour \r \ cri fier de constater qu<.» la rotation est mesiirée par

POUTRBS ET SVSTÈkfiS TRIANGV LÉS MUNIS D'ARTICULATIONS. 4'^

rangleDSDf qui estla variation de l'angle DSC, puisque le point C reste iixe.

La valeur de la variation de Tangle dont il s'agit a donc pour .

expression dans tous les cas co = ±: j-, a étant l'allongement de la

barre et h sa distance au sommet oppose.

EnGn, en ce qui concerne son signe, on voit facilement qu'il

faut toujours prendre a>=— t» quand on compte comme nous

Tavons fait les roUitions pbsitives dans le sens de Oj? vers Oy et quand on admet pour h la règle qui lui attribue le signe + lorsque le sommet est à droite de la barre. En effet, si la barre CE s'allonge, on a h <o, et ci> positif. Si Ton prend une barre supérieure, telle que BD, on a h >► o, et o> négatif. Enfin, pour une diagonale telle^ que CD, ijiyant son sommet opposé S à sa gauche, on a encore /i <; o et <î> >> o.

Cela posé, si l'on appelle p et q les coordonnées d'un point P invariablement lié à l'extrémité droite de la poutre, et si Ton appelle Ç et ti celles du sommet opposé à la barre qui s'allonge, les composantes w, i^ du déplacement du point P seronL

Si l'allongemenl a résulte de la tension qui s'exerce dans la

barre, il a pour expression a = - — , et, en vertu du théorème de

Ritter, t a pour expression / = j. 11 en résulte pour w la valeur

suivante :

ES/i«

expression dans laquelle il \\y a |)lus besoin de s'occuper du signe de h qui intervient au carré.

Si l'allongement a résulte d'une augmentation de température produisant rallongement t par unité de longueur, on a

'>.z=lz et oj = ^

4l6 CHAPITRE XV.

c. Déplacement total du point. P^ lorsqu'un nombre quelconque de barres se déforment. — En supposant que tous les allongements ou raccourcissements puissent être assimilés à des infiniment petits, ainsi que les déplacements totaux du point P, on peut totaliser tous les résultats obtenus pour les différentes barres et Ton parvient sans peine aux formules suivantes dans le cas où les déformations sont dues aux charo-es :

2 Ml

V^ Ml , >

t' = 1^0 -H COo (/? — iTo ) -f- Jli gg^ (;? -^ $ )i

Dans le cas où les déformations seraient dues à une augmentation de température, il faudrait ajouter aux seconds membres les sommes

respectivement.

Dans ces formules, les sommations sont supposées faites pour toute* les barres. Si l'on voulait troiiver seulement le déplacement d^in nœud de coordonnées xy de la poutre réticulaire, il faudrait, bien entendu, supposer la poutre limitée à ce nœud et ne faire les sommations que pour les barres de la poutre réduite dont ce nœud serait l'extrémité de droite. Les coordonnées p qI q seraient à remplacer par celles xy de ce nœud.

Remarque I. — On voit sans peine l'analogie de ces .formules avec les formules de déformation des poutres prismatiques. 11 y a presque identité, et il suffit pour opérer la transformai ion de rem-

, , . ^ Md^ , . , M/

placer les quantités -j^ par les quantités ^r:irri'

Remarque IL — (iénéralement on peut, dans ces formules, négliger les termes qui proviennent des changements de longueur des diagonales. Ces termes sont relativement petits pour une double raison. %

D'une part, les tensions par unité de surface de la section sont

POITRKS ET ^TSTBMBS TRlANGt'LÉS MUNIS D'ARTICULATIONS. ^l'

généralement plus faibles pour les diagonales que pour les membrures.

D'autre part, la quantité h relative à une diagonale est généralement grande par rapport à la hauteur de la poutre. Dans les poutres droites, à membrures parallèles, elle est même infinie. Il en

résulte que pour les diagonales les rotations élémentaires co = — -.

sont très petites et que les déplacements a, rqui en résultent sont simplement de Tordre de grandeur de a. Ils sont négligeables pai*

rapport aux termes — ^ — *- et a?^~ qui proviennent des membrures un peu éloignées de l'extrémité gauche de la poutre.

Cette simplification a quelque analogie avec celle qui consiste à négliger la déformation due à reflbrt tranchant dans les poutres prismatiques.

Remarque III. — Si aucune charge n'agit sur la poutre et si celle-ci n'est soumise qu'à une élévation de température et est d'ailleurs complètement libre de se dilater, elle se transforme en une figure homothétique à la figure primitive. Par suite, on a les relations suivantes :

Ces relations expriment des propriétés géométriques de toute figure réticulaire.

Étude de la déformation verticale d'une poutre réticulaire. —

Appliquons les deux premières formules de déformation à la poutre extrême, et pour simplifier supposons x^ =r o et Xx = L, L étant la longueur de la poutre. Supposons d'ailleurs i\ = f, = o. On trouvera facilement

Par suite, w^ sera la réaction de Tappui de gauche sous Tact ion de charges fictives égales à — ^~r^ appliquées aux din'éreiil>

sommets (d'abscisses $), pour la poutre reposant sur appuis simples.

On a, de plus,

et Ton peut considérer s^ comme le moment de flexion produit au sommet {xy) sous Taction des mêmes charges fictives avec la même hypothèse relativement aux appuis de la poutre.

Sans qu'il soit utile d'insister, on voit comment on pourra procéder à Tétude de la déformation %\ On n'aurait qu'à suivre pas à pas la théorie déjà faite pour les poutres prismatiques. Si l'on néglige les diagonales, on n'aura de charges fictives à envisager que pour ceux des sommets qui sont des nœuds de la poutre, et le tracé du polygone funiculaire représentatif des moments de flexion, dus aux charges fictives sera des plus faciles.

Travail de déformation dans les poutres réticulaires. - Il est très facile de former l'expression du travail de déformation pour une poutre réticulaire. Si l'on appelle t la tension d'une barre, du reste positive ou négative, le travail est, pour une poutre quelconque,

JL JL 3 ES iES

Pour une poutre réticulaire, on a / =~> de sorte que

Zrf i ES /i*

"^ IV. — UeCHBHGHE des réactions DBS APPUIS