DANS LES SYSTÈMES HYPER STATIQUES

Nous supposons qu'il s'agisse, par exemple, d'un arc dont les réactions d'appui ne puissent pas être déterminées par les seules équations de la statique. La méthode générale consistera à étudier le même arc considéré comme reposant sur des appuis statiques convenablement choisis, puis à déterminer les réactions d'appui complémentaires, de telle sorte que les déformations des extrémités de l'arc satisfassent aux conditions imposées par la nature du problème. *

POUTRES ET SYSTÈMES TRIANGULKS MUNIS D'ARTICULATIONS. 4l9

Prenons par exemple le cas d'un arc articulé aux deux extrémités A el A|, soumis à Taction de charges données. On supposera

Fig. 14;.

A complètement fixe, et les deux appuis A el A| susceptibles de développer seulement des réactions verticales. Il s'ensuivra dans toutes les barres de la poutre certaines tensions et Ton en déduira la forme nouvelle prise par la poutre et le déplacement horizontal u % pris par l'extrémité A|. Il s'agit de trouver ensuite la force horizontale Q, appliquée suivant K^ A, qui serait capable de ramener le point A à sa position primitive, ou de produire un déplacement égal à -• u%. Pour y parvenir, on prendra une force cjuelconque q^ exprimée par un nombre simple d'unités de force, et l'on déterminera les tensions qu'elle produirait dans toutes les barres du système si elle était seule^On en déduira le déplacement u[ du point A|. La force cherchée Q doit être telle que

Prenons en second lieu le cas d'un arc encastré suivant les deux barres extrêmes AB et AjB|. Les points A et A| sont complè-»terhent fixes, par exemple, et les points B et B| ne peuvent subir de déplacements que dans les directions AB et A| B| respectivement'. Comme système d'appuis statiques, on peut supposer qu'on conserve l'encastrement AB et qu'on supprime celui de droite. Alors on pourra étudier la poutre comme une console sous l'action des charges données, et déterminer les déplacements w,, u% et v^ de l'extrémité de droite. Ensuite, dans là même hypothèse^ on cherchera l'effet produit : i® par une force verticale, unité appliquée en A« ; 2° par une force unité agissant suivant AA, ; 3® par un couple de forces égal- à l'unité et ayant pour bras de

levier A|, B|. On 'déterminera pour chacun de ces cas les dépla-

cements

(le rextrémité de droite. Les réactions cherchées, qui sont la force verticale T, la force horizontale Q, et le moment d'encastrement X, seront données par les trois équations du premier degré

Tw'i -h Q Ôj' -h X Ul'J^H- 0*1 = o, T a; -h Q U\ -+- X M7-h Ml =: o,

T v\ -h R v\ H- X v'I-^ Pj = o.

Méthodes spéciales aux poutres réticulaires. — ' On peut, dans ce cas, utiliser les équations de déformation à la i*echerche des réactions d'appuis, en suivant identiquement la marche indiquée [>our les poutres prismatiques.

Après avoir fiiit Tétude de la poutre supposée sur appuis simples et trouvé le moment de flexion |jl en chaque sommet (ou même simplement en chaque nœud), on écrira que M = jjl -h A -h Bx — C^, en tenant compte, bien entendu, des conditions du problème et en choisissant les axes de coordonnées qui permettent de les simplifier.

En portant cette valeur de M dans les équations de déformation appliquées à l'arc entier, on obtiendra toujours les équations nécessaires pour déterminer A, B et C.

Dans le cas d'un arc articulé aux naissances, on prendra comme axes de coordonnées la ligne des naissances et une droite perpendiculaire.

Dans le cas d'un arc encastré, on commencera par déterminer le centre de gravité et V ellipse centrale dUnertie de VarCj en supposant que celui-ci est constitué par l'ensemble de ses sommets et qu'à chacun d'eux on applique une force (îctivfe égale

à 7f^-y-j« On prendra ensuite pour axes coordonnés les axes

principaux de l'ellipse d'inertie de l'arc, ce qui assurera la séparation des inconnues.

On pourra d'ailleurs, lorque [x désignera le moment de flexion

POUTRES BT SYSTEMES TRIANGULES MUNIS D ARTICULATIONS.

produit par une charge mobile unité, trouver la ligne d'influenc(î de toute Sommation Sixco, appliquée à l'ensemble des sommets de l'arc, en considérant les forces fictives o appliquées à ces différents sommets et en traçant leur polygone funiculaire.

Nous sommes obligés de nous borner ici à ces indications sommaires.

Pour terminer, nous rappellerons Téquivalence de cette méthode basée sur la théorie de la déformation avec celle qu'on peut tirer du théorème de Castlglianp, ou théorème du travail minimum.

Si l'on pose comme plus haut M = jjl + A + Bx — *Cy dans le cas d'un arc encastré, pris comme exemple, l'expression du travail de déformation devient