AS

cosa'

Mh"

formules tout à fait identiques à celles des poutres prismatiques. Au fond, cette identification n'est qu'une question accessoire

POUTRES TRIANGULÉES A ASSEMBLAGES RlGillES. 43 1

en pratique. L'essentiel est que les valeurs des tensions t et des fatigues n se déduisent de la connaissance des valeurs de M et de N aux différents points d'une certaine courbe ^moyenne ou directrice, connaissance complétée bien entendu par certaines données relevées sur la section de la poutre.

Il est en général* avantageux de prendre pour G une courbe facile à tracer a priori. Ce sera, par exemple, la courbé définie par la condition que les sections normales A' A" coupent les deux membrures sous des angles a et a" égaux entre eux. Plus simplement encore, ce sera la droite G^G, quand il n'en résultera pas do valeurs trop grandes pour a' et a". C'est, dîi reste, le conseil donné par M. Résal lui-même.

Il faut ajouter que cette méthode, pas plus que la métht)de précédente, ne dispense de la recherche ultérieure dçs efforts secondaires. Toutes les deux supposent à l'origine l'assimilation à un système articulé.

Étude de la déformation. ~ On peut très souvent, ainsi que nous l'avons déjà dit, négliger dans l'étude de la déformation l'effet des variations de longueur des diagonales, principalement lorsque leurs sections sont déterminées un peu largement. Si l'on admet cette simplification, on voit que deux poutres ayant mémo courbe moyenne et mêmes courbes de pourtour Se déforment de la même manière, quelle que soit leur triangulation.

Supposons que celle-ci soit à mailles assez serrées pour que la théorie précédente soit applicable, et négligeons l'effet de la composante normale N dans la déformation, effet que l'on pourra apprécier à part. La rotation w' due au raccourcissement de la membrure A'B' sera

ES'K» K/i* S'cos«a'

De même, la rotation o>" due à l'allongement A"B", sera

et la rotation co due aux déformations simultanées des deux mem-

brures, c'est-à-dire au tronçon de poutre A'B'A"B", sera

"" EA« [s'cos»a' "^ S'cos'a'J

On pourrait définir un nouveau moment d'inertie tel que

I "" A* [S'cos'a' "^ S'cos3a'J '

et Ton trouverait une formule identique à «elle des poutres prisniatiques.

Nota, - - On pourra appliquer la théorie précédente toutes les fois que la hauteur moyenne de la poutre ne dépassera pas le dixième de la portée. Pour les poutres hautes et à larges mailles, la méthode des systèmes articulés demeure préférable.

PoUTflCS COMPOSKKS.

On fait souvent usage de poutres articulées, ou bien de poutres ù assemblages rigides dont la triangulation ne rentre pas dans la définition des poutres réticulaires, ni même des poutres à nœuds ou à sections canoniques. Mais il arrive fréquemment que le schéma de ces poutres peut résulter de la superposition de deux ou plusieurs schémas réticulaires, ne différant que par leur triangulation.

Par exemple, la poutre à treillis doubles ci-dessous (i) peut être

Fig. i53.

considérée comme résultant de la superposition des deux poutres réticulaires (2) et (3).

De semblables poutres sont appelées par M. Résal des poutres composres. Voici comment on peut les calculer :

On suppose (|ue chacune des poutres (2) et (3), d'abord indépendantes, porte exactement la moitié des charges appliquées à la poutre (1). puis on suppose opérée la soudure de leurs barres

' POUTRES TRIAN6ULÉE9 A ASSEMBLAGES RIGIDES. 433

communes. • Ce procédé peut se justifier par les considérations suivantes.

Si les membrures des poutres (2) et (3) ont des sections égales en deux points correspondants, elles ont un même taux de fatigue,

Fig. i51.

car nous avons vu, à propos de la méthode de M. Résal, que les tensions dans les membrures dépendent peu du système de triangulation. Les membrures de la poutre ( i ) auront donc encore le même taux de fatigue, et les allongements proportionnels des membrures seront les mêmes en des points correspondants.

Fig. i55.

D'autre part, les positions relatives des nœuds dépendenjt pTîu du système de triangulation, mais seulement des allongements proportionnels des membrures. Les poutres (2) et (3) auraient donc leurs nœuds en coïncidence après déformation, si on les avait mis primitivement en coïncidence. L'équilibre ne sera pas troublé en réalisant leur soudure, et cet état d'équilibre conviendra évidemment à la poutre réelle qui résulte de la soudure préalable des deux autres.

On applique cette façon de procéder même à des poutres à barres surabondantes ou dont les schémas ont des barres de triangulation communes. Il arrive alors parfois, comme dans les poutres à croix dé Saint-André, qu'il faut retrancher et non ajouter les tensions trouvées pour ces barres communes, lorsqu'on les considère comme faisant partie des poutres élémentaires.

Au fond, cela revient à calculer toutes les poutres triangulées, quelles qu'elles soient, pourvu que leurs mailles soient suffisam- PiGBAUD 428

434 CHAPITRE XVI. ~ POUTRBS TRIANGULBB8 A ASSEMBLAGES RIGIDES.

ment serrées, par un procçdé uniforme, qui consiste à attribuer aux membrures les tensions qui s'y produiraient si la triangulation était établie suivant un canevas réticulaire quelconque, puis à décomposer la triangulation réelle en un nombre plus ou moins grand m de réseaux réticulaires et à calculer chaque triangulation

partielle dans l'hypothèse de charges réduites dans le rapport — •

Chaque barre de triangulation doit donc résister au m^^"^*^ de Veffort ranchai\l ou de Veffort tranchant réduit suivant le cas.

C'est principalement à M. Résal qu'est dû ce résultat très général qui a une très haute portée pratique.

CABLES DE PONTS SUSPENDUS ISOLÉS OU ASSOCIÉS A DES POUTRES DE RIGIDITÉ.

L — Cables flexiblbs.

Un cable diffère essentiellement d'une poutre prismatique. Il n'a par lui-même aucune forme déterminée et est susceptible de subir des déformations considérables sous l'action de forces transversales, même petites. Tout au plus pourrait-on dire, en vue d'une assimilation, qu'un câble est une ^poutre prismatique dont le moment d'inertie devient nul partout.

Les hypothèses sur lesquelles reposent la Résisttmce des Matériaux et les formules de la déformation des pièces courbes ne sont donc en aucune façon réalisées. Il en résulte, notamment, qu'on ne peut plus en général écrire les équations d'équilibre sans avoir égard à la forme prise par le câble déformé, et que par suite les équations ne sont plus linéaires par rapport aux forces, ce qui rend le principe de superposition des forces inapplicable.

Par contre, des propriétés spéciales assignées au câble découlent naturellement des lois spéciales pour son équilibre. Pour que le cable soit en équilibre, il faut nécessairement que chacun des éléments de sa« longueur ne soit soumis qu'à des efforts parallèles à sa propre direction. Autrement dit, la force cxlérieure doit passer par le centre de gravité de chaque section normale. Autrement dit encore, le moment fléchissant <lans chaque section doit être nul.

L'étude de la fatigue d'un câble est, de son coté, simplifiée. Il n'y a plus à s'occuper que de l'effort normal qui s'exerce dans le sens de sa longueur.

Équations générales d'équilibre sous l'action de forces dont les lignes d'action sont données. - Soit le câble GoO| pris dans ^a

CUAPITRB XVll.

position d'équilibre sous l'action des forces qui lui sont appliquées, forces que nous supposerons toujours verticales. Soit K^ la réaction du point d'atlache de gauche. Décomposons-la suivant la verticale Gq^, et suivant la ligne des appuis G^Gi et appelons T©

et C les composantes.

Fig.i56.

La composante Tq est égale à 1^ réaction verticale qui se développerait à l'appui Gq dans une poutre droite de même portée que le câble et reposant sur appuis simples. C'est, en effet, identiquement la même équation qui servirait a la déterminer. Par suite, si l'on prend par rapport au point G le moment de toutes les forces qui agissent a sa gauche, ce moment sera égal au moment [jl qui se produirait au point de la poutre droite situé sur la même verticale, augmenté du moment de C. Ce dernier a pour valeur

absolue

CxGH = C^cose,

en désignant par 0 l'angle que fait avec l'horizontale Ja ligne des appuis et par j^ l'ordonnée oblique GK, comptée sur la verticale entre la courbe décrite par le câble et la ligne des appuis. Le moment total a donc pour expression au point G

M = |jt — Cj^cos6,

ou encore, en posant C cos A = Q, c'est-à-dire en désignant par Q la composante horizontale de la réaction d'appui,

Jusqu'ici, nous avons traité le câble dans sa position d^équtlibre ^ comme une poutre prismatique rigide, et il est bien évident qu'une pareille hypothèse ne trouble pa§ l'équilibre. Mais la condition qui résulte de la flexibilité du câble consiste en ce que, en

tout point tel que G, on doit avoir M = o, dans la situation d'équilibre. Par suite, on a en tout point

On en conclut que les ordonnées j^ du câble, comptées sur la verticale à partir de la ligne G^G^^ sont proportionnelles aux ordonnées d'un polygone funiculaire quelconque des charges appliquées, rapporté à sa ligne de fermeture. Ces dernières ordonnées sont en effet elles-mêmes proportionnelles à [jl.

La courbe décrite par le câble est donc Tun de ces polygones funiculaires.

Ce polygone particulier est d'abord assujetti à la condition de passer par les deux appuis G© et G| , et pour achever de le définir il suffit de connaître le coefficient de proportionnalité Q, ou une autre condition équivalente permettant de déterminer Q.

Par exemple, si Ton supposait que, les charges verticales conservant leurs lignes d'action, la longueur du câble est réglable à volonté de telle sorte que, sur une verticale particulière d'abscisse x\ le câble ait une ordonnée y' donnée d'avance, on devrait avoir, une fois le réglage terminé,

,x'-Qy=o, d'où

rjL'

Supposons notamment qu'on envisage la charge permanente, évaluée à p kilogrammes par mètre courant, et que l'on veuille obtenir au milieu de la portée une flèch^ déterminée/. On aura

^z=zp i,

e^ pour X = - 014 aura

d'où

Ou bien encore, si l'on se donne la longueur L du câble, il faudra choisir parmi tous les polygones funiculaires, passant par Gq

CHAPITRB XVII.

et G| , celui qui a pour longueur L. C'est là un problème facile en théorie, mais qui exige quelques développements pour sa résolution pratique. Nous supposerons, au moins provisoirement, que le câble est inextensible, c'est-à-dire que sa longueur ne varie pas sous l'action des charges.

Calcul de la longueur d'un polygone funiculaire des charges et détermination de Q. - Supposons que Thorizontale G^G',, de longueur L', soit di\4sée en un certain nombre d'intervalles ii , ij? • • • 9 ^S l": '" • 7 dans lesquels agissent des charges uniformément réparties j!7i,/> 2, . .. ,p',p\. , ,

Supposons en outre que, suivant les verticales séparatives des difFét^ents intervalles agissent des forces isolées Pj , P.j, . . . , P', P",

Rien n'est plus facile que de trouver avec exactitude les valeurs (JL|, [JL2, . . . , [jl', p.", . . . que prend la fonction [x sur ces différentes verticales. On peut aussi trouver très facilement l'équation de [jl dans un intervalle déterminé tel que A'A"-:^ /, on aurait

, PL*— JJt' X(l — X) , ^ X(l — X)

en désignant pour abréger par l la quantité ^ .^ » et les abscisses x

étant comptées à partir de A'.

Supposons maintenant qu'on envisage l'un des polygones funiculaires passant par Gq et G^ et représentant jjl à une certaine

échelle, tel par suite que son ordonnée soitj^= n'Q ^^^^^ sup-

posé d*ailleurs quelconque. On aurait

ul' t P oeil — X)

On peut rectifier avec une très grande approximation cet arc de parabole en employant la formule ( * )

Fig. i58.

dans laquelle A est la longueur de la corde C'G" et f la flèche de Tare, comptée sur la verticale^ au milieu de la corde. On aura, en effet, X et /par les formules suivantes :

x.= /.-^iV! = /.(.-^^)

Pli

En faisant la sommation pour tous les arcs analogues, on aurait la longueur totale du polygone funiculaire particulier considéré.*

Si donc on connaît la longueur L du câble, on pourra, par tâtonnements, trouver un coefficient de proportionnalité Q qui assure Tégalité de longueur entre le câble et le polygone funiculaire correspondant. On pourra essayer successivement plusieurs valeurs de Q, et, quand on en aura deux qui donnent. Tune un résultat trop

(*) Cette formule, indiquée par M. Bésal, se déduit de la formule approchée

applicable à toat arc de courbe aplati assimilable à un arc de parabole, et dans laquelle <p est la flèche comptée au milieu normalement à la corde. Il est facile

de voir que l'on a 9 =fx> approximativement.

44o CHAPITRE XVII.

grand, raulre^un résultat trop* petit, on aura par interpolation la valeur de Q cherchée.

En pratique, ainsi que nous le montrerons plus loin, on peut toujours avoir à Tavance une valeur de Q plus ou moins approchée, et il ne s'agit que de la corriger. Voici comment on parvient d'une manière très simple à effectuer celte correction.

On peut admettre que la longueur d'un polygone funiculaire quelconque est, dans certaines limites, donnée par une expression de la forme

A désignant la corde, K étant* un coefficient constant et ^ une ordonnée particulière.

C'est la forme générale des formules de rectification des courbes aplaties.

Supposons que dans un essai fait avec la valeur Qi on ait obtenu une longueur L|, et une ordonnée y«, on aurait

tandis que l'ordonnée y serait liée à la vraie longueur L par l'équation

L — À = kyK • De là on tirerait

Or on a Par suite,

Qi^i-

Ce mode de correction est praliquemenl très exact. Nous en donnerons plqs loin une justification plus complète.

Méthode simplifiée pour les câbles à flèche modérée et à appuis sensiblement de niveau. - - La méthode précédente, due à M. Résal, peut être simplifiée encore quand il s'agit de cables dont la corde (*st sensiblement horizontale, et qui demeurent suffisamment voisins de celle corde pour qu'on puisse négliger devant Tunité les quatrièmes puissances du coefficient angulaire de la tangente,

CABLBS DE PONTS SUSPENOyS ISOLÉS OU ASSOCIÉS A DES POUTRES. 4 41

autrement dit les quaipièmes puissances de —-• Ce cas est assez étendu, puisque une parabole dont la flèche est le -^ de la portée, ne fournit qu'une valeur maxima de o,4 pour (^)> '^t par suite

une valeur maxima de o,0256 pour (--r) '

Lorsqu'on se place dans celte hypothèse, la formule de rectification d'un arc de courbe peut s'écrire

/ désignant la projection de l'arc sur l'horizontale.

Appliquons simplement ce résultat à l'arc de parabole défini par l'équation

IL= IJL -^ tX -h p -,

et dont la pfojection horizontale est /; on a

dy pi '

-^ =^ t -^ — px.

dx 2 ^

Par suite,

= y \^-\-^ ^7.i^^Si^^pX^p^X^dx

Si l'on avait affaire à l'arc de parabole résultant de la réduction de jx dans le rapport Q, ou de j= ^, il suffirait de remplacer l

et p par -k^^t^j <^t la formule deviendrait-

44^ CHAPITBK XVII.

£n effectuant La sommation pour les différents arcs dont se compose le câble, on aurait

OU

Cette formule donne directement la valeur de Q, puisque L — /, différence entre la longueur du câble et sa projection horizontale, est connue, ainsi que toutes les quantités figurant sous le signe de sommation X.

On aura ainsi tout au moins une valeur très approchée dç la poussée Q, et on la prendra comme point de départ pour l'application de la méthode de correction de M. Résal, si l'on juge avoir besoin d*une valeur plus exacte, ce qui sera rare en fait.

Les calculs indiqués par la sommation £ sont très simples à exécuter numériquement. On commence par calculer les moments fléchissants que l'ensemble des charges et surcharges produiraient aux points Ai, Aj, . . ., comme s'il s'agissait d'une poutre droite; on en fait les différences deux à deux et on les divise par les longueurs des intervalles correspondants pour avoir les valeurs des quantités t. En pratique, il arrive souvent que le nombre des intervalles à considérer est petit et, d'autre part, que l'on peut profiter de l'une ou de l'autre des simplifications suivantes. Ou bien les charges p des différents intervalles sont négligeables devant les charges P, ou bien celles-ci n'existent pas ou peuvent être remplacées par des charges uniformément réparties équivalentes.

Dans certains cas, tout à fait simples, on peut rendre explicite la somme I, et nous en donnerons deux exemples.

I® Câble à appuis de niveau ayant une charge p par mètre courant et portant un poids P à V abscisse a. — Au droit de la charge P, on a pour le moment fléchissant la valeur

On a donc

On en déduit facilement

2=^Vîli^>P,nH-,,,

Supposons, d'autre part, que Ton connaisse la flèche / que pren-

Fig. iSy.

drait le câble à vide ; c'est généralement une fraction simple de la portée. On aura approximativement

Examinons le cas extrême où P = o. Alors

^ vx " ^ "" 12 • 3 / ■" 64/»'

d'où

formule déjà donnée plus haut.

Examinons aussi le cas extrême où jd == o. Alors

On en déduit

C'est la formule approchée que l'on obtiendrait en considérant directement le câble comme formé de deux portions de ligne droite.

2** Câble à appuis de nweau^ ayant une charge p par mètre courant dans r intervalle central A, Aj = I2 et sans charge dans les intervalles extrêmes It et l^. — Sans insister sur les

détails du calcul, on trouve :

Mj-£^(/,+ -W,)'3,

On en. déduit

hih^'i

Fi g. i6o.

Dans le cas particulier où /| = /^ on a

Kt, si /, = o, .

comme plus haut.

Correôtions & faire pour tenir compte de l'allongement élastique du cAble, ou d'une variation de température. - Sous T effet de la traction qui s^exerce dans le câble, sa longueur prinii^ve L est modifiée. Elle s'augmente d'une quantité 8L, dont on peut obtenir une valeur approchée dès que Ton a déterminé comme ci-dessus une valeur approchée de la poussée. On peut, en effet, déterminer en chaque point la traction supportée par le cable dont on connaît la nouvelle figure, et en déduire l'allongement d'un élément de cable rfd.

La traction est F = Q -r- » et l'allongement est

"RS""ESU^/ L'allongement total est donc

Si Ton admet la simplification qui nous a donné la formule

on voit qu'au même degré d'approximation on aura

formule qui ne dépend pas de la forme de la courbe décrite par le câble.

Plus simplement, si les appuis sont sensiblement (de niveau, et si le câble ne s'éloigne pas trop de sa corde, on pourra même généralement admettre que Ton a partout F == Q et que

Bien entendu, si l'allongement provient seulement de l'application d'une surcharge, c'est seulement le supplément de poussée dû à la surcharge qu'il faut preridre en compte dans ces formules.

S'il s'agit d'une élévation de température fournissant un allongement proportionnel t pour Tunité de longueur du câble, l'allongement total 8L aura pour valeur

11 conviendra de tenir compte de ces variations de longueur pour obtenir la vraie valeur Q' de la poussée en modifiant en conséquence la valeur de L - /, qui deviendra

On aurait

d'où

11 peut arriver aussi que la variation de L - / provienne d'une variation de /, en cas de rapprochement des appuis par exemple. Le même principe est applicable. Q* est toujours inversement proportionnel à L — /. •

446 CHAPITRB XVII.

Il en résulte que la correction Q' r - Q zrr oQ peu» s'obtenir dans tous les cas par la formule approchée

2oQ ^ o(L— 0 Q ■" L— / '

qui n'est autre chose que la traduction différentielle de IVquation

primitive Q^ = ■ ^ et dont Temploi est légitime toutes les fois

que 8Q et 5(L — /) sont petits par rapport à Q et L l respectivement.

Poussée supplémentaire due & des surcharges qui déforment peu le cAble. Supposons qu'on parte pour le câble d'un état déformé correspondant à un ensemble de charges el de surcharges. Il y a parfois intérêt, lorsque Ton sait d'avance que l'adjonction de nouvelles surcharges ne peut déformer le cable d'une manière très notable, à rechercher simplement la variation q de la poussée, qui au total deviendra Q -+- 7, et lîj variation i> de l'ordonnée y (hi câble, laquelle va devenir y + r. On peut y parvenir très simplement quand on admet la formule de rectification approchée indiquée précédemment.

Supposons, en effet, le câble inextensible. Dans le premier étal on a .

'--um^-

Dans le second, on h

Par suite, en retranchant membre à membre, on trouve

En supposant en outre que (--f) puisse éire néi^ligé devant ^> on trouve simplement

dv dy ,

':j- -r- dx = o.

dx dx

Si Ton intègre par parties, et si Ton ol)serve que f et y sont

CABLES DE PONTS SUSPENDUS. ISOLiSS OU ASSOCIÉS A DES POUTRES. 447

nulles aux deux limites de rintégration, on peut mettre cette condition sous Tune des deux formes suivantes :

dx = o.

dx = o.

Appelons [jl' le moment fléchissant, dans la poutre droite, correspondant aux charges et surcharges primitives et jjl le moment analogue correspondant aux nouvelles surcharges, nous aurons les relations

d'où

ut -4- a y H-i; = ^ L-,

Appliquons l'équation de condition mise sous sa dernière forme / v -^dx = o, nous obtiendrons

équation d'où l'on tirera la valeur de q.

11 est bien entendu que si y a des définitions différentes .dans différents intervalles, il faudra décomposer les sommations actuellement envisagées et qui s'appliquent au câble entier, en sommations partielles dans lesquelles on. attribuera à -j^ la valeur qui leur correspond. D'une manière générale, si p est la charge uniformément répartie afférente à un intervalle, on a -r^ = — ~

dans cet intervalle.

A titre d'exemple, supposons que le càblç soit primitivement chargé uniformément à raison de p^^ par unité de longueur, on

aura partout --t^ = - ^ • Par suite, la formule précédente deviendra

g I y dx = I i± dx.

Il suffira de faire les aires des deux courbes représentant jjl et y

et de les diviser Tune par rautre. La courbe de y est d'ailleurs une parabole, et a pour équatiou

y^^j — jt — '

et son aire est ^ //

Premier exemple. — Cas <Vun poids isolé P agissant à Fabscisse OL. — On a