acte = P
Par suite,
Pour des câbles semblables,' c'est-à-dire tels que ^ soit le même,
des charges &eniblablement placées, c'est-à-dire telles que j soit le
même, produisent des poussées égales.
Sous la réserve supposée de la petitesse relative des surcharges par rapport aux charges initiales, les effets de différentes surcharges se superposent.
Deuxième exemple. - Cas (Vune surcharge uniformément répartie p^ entre les abscisses a — p e^ a-|- p. — On trouve
'>'P'P étant la surcharge totale, le dernier terme de la pare n-
thèse, ^» représente Técart qui existe entre la poussée due à une
charge concentrée à l'abscisse a et à la même charge répartie dans la zone qui va de a — ^ à a + ^.
Supposons, par exemple, a:= - et |î ^^ -•• On a
On réduirait donc la poussée de —^ seulement en adoptant un
dispositif capable de répartir sur la moitié de la portée une charge isolée placée au milieu.
Si l'on supposait a = y = ^ on trouverait une réduction un
peu plus forte, mais qui n'atteindrait encore que - seulement.
Valeur approchée de la déformation due à une charge isolée, f au droit de cette charge. — On n'a qu'à porter dans la formule
la valeur approcliée trouvée précédemment pour^. On a d'ailleurs
On trouve
if
8Pf a(l — a) V = — f- X -
Pt
fi''
pl /«
Pour une valeur déterminée de -j» v est proportionnel tl/. 11 est
approximativement proportionnel à —.7 quand ce rapport est sufH samment petit.
Problèmes divers concernant les c&bles obliques. — Soit L la longueur du câble, \ la longueur de sa corde, l celle de sa projec-
tion horizontale; soit p son poids par mètre courant, P=/>X son poids total; soit enfin F la trfictioh dans le sens de la corde et Q la composante horizontale de cette traction (ou poussée). En
PlOKAUD 29
iSo CHAPITRB XYll.
appelant 0 Tangle de la cOrde avec Thorizonlale, on a
D'autre part, le poids pïir mètre courant en projection horizontale est -f-T- et Ton a cosO
Enfin, on a approximativement Si l'on élimine y entre les deux dernières relations, on a
Ces formules permettent de résoudre tous les problèmes pratiques (jui peuvent se présenter. En voici quelques exemples :
I** i) ('^placement de V extrémité A supposée libre lorsque la tension suii^ant la direction AU passe de F à F\ — Dans la ni>uvell<; silci^tiofi, on a
On pourra donc calculer X', et par suite le déplacement. À' - a, dès que Ton connaîtra L', nouvelle longueur du câble.
Or, en supposant que la flèche y soil petite par rapport à X, la tension au\ différents points- du câble diffère très peu de' la traction exercée suivant la corde. L'allongement élastique du câble sous refPorl supplémT»ntaire V — F est donc très a])proximative-
ment
L'— L = L — -— — ou X -,^ ,
hî5 ES
E étant le coefficient d'élasticité el S la j^ection du cable.
On peut trouver une formule approxiinative donnant directe-
temenl rallongemenfX' - X. On a, en eflet,
p-'cos*orx V
CABLES DE PONTS SL'SPENDOS ISOLÉS OU ASSOCIÉS A DES POUTRES. iSl
En remplaçant dans le second membre L' — L par sa valeur, et en considérant d'autre part que dans ce second membre on peut remplacer approximativement L çl V par X^ en commettant des erreurs relatives insignifiantes, on obtient pour rallongement proportionnel ^ , , V— X F'- F l'«cos!Or 1 I 1
^"> -r- = -Es--*--ïr~LFî~FïJ*
I^ premier terme représente la déformation élagiÙ4|U6 ; l'autj^je lieat compte du cliangement de flèche du <'àble.
Si Ton suppose que, partant d'un état initiai caractérisé par la lension K, on augmente la lension d\ine quantité F' — F = 5F, assimilable à un infintment petit, la formule deviendra
on peut récrire
en posant
oF Pscos^e 3F " lis ' 12 F*^'
ft\ 8 F
ESP^cossB
La quantité E' est ce que l'on peut appeler le coefficient d'élasticité apparent du câble dans sa situation initiale (*). On voit facilement qu'il ne dépend pas de la section S du câble, mais
seulement de sa fatigue unitaire -^ = X", de sa densité A et de sa
projection horizontale /.
(') On aurait pu rechercher une plus grande exactitude en employant pour l'évaluation de L' — L la formule •
Alors le dénominateur de Ë' serait devenu
I P^cosif» K SP*co8ie
IH
Mais il est facile de voir que dans tous les cas de la pratique, le second ternie est
négligeable vis-à-vis du troisième. Leur rapport est en effet r:^» de l'ordre de
grandeur d'un allongement proportionnel.
4^i CHAPITRE XVII.
On a, en effet,
On en déduit
P = AxSxX, F= KS.
Si Ton fait E=2Xio'"elA = j.800*', on trouve facilement les
E' chiffres du Tableau suivant, qui donne les rapports -rr du coefficient d'élasticité apparent au coefficient d'élasticité du métal.
Valeurs
Valeurs E K
dcAr.lO-*. pour / = 50". pour / = lOJ».
^o 0,97 Oï*>9
On voit que, pour des câbles de moins de 5o"' en projection horizontale, le coefficient d'élasticité apparent E' varie peu et n'est pas très différent de E des qu'il s'agit de tensions comprises entre 10*' et 2;)'' par millimètre carré. Pour des cables d'une centaine de mètres la conclusion ne subsiste que pour un domaine beaucoup plus limité.
Pour un câble donné, il est souvent avantageux de calculer,
E' comme on vient de le faire, quelques valeurs de — pour diverses
valeurs de A*. On peut en déduire une courbe continue représentant
•^ en fonction de /•.
Lorsque la tension varie dans des limites étendues, entre une valeur initiale F et une valeur finale F', cette courbe permet de suivre par cheminement les variations du coefficient d'élasticité, et par suite les variations des allongements successifs ,0Â de la cort^e, lorsque la tension passe de F à F' par degrés aussi petits qu'on le veut. On aura évidemment
À' — X = £ oX.
a** Déplacement de l^e±Crèmité libre yi lorsque à une variation F — F de tension se superpose une variation de température, — Si l'on appelle t rallongement, positif ou négatif, dû par mètre courant à la variation de température, il faudra, bien
entendu, en tenir compte dans le calcul de U *- L, qui sera
approximativement L' — L == Xt + A y le premier terme repré-
sentant rallongement thermique, et le second rallongement élas- • tique.
On parviendrait évidemment à la formule
i y ^' "" ^' F - F P^cos«e r I I ]
et Ton en déduirait, pour le cas d'une différence oF =? F' — F assimilable à un infiniment petit, la formule simplifiée
E' étant, comme précédemment, le coefficient d'élasticité apparent.
3" Variation de la tension d'un câble dont les extrémités sont fixes lorsque la température varie. — Appelons t rallongement thermique par mètre courant, la solution du problème sera donnée par les équations (2)', ou (4)' dont le premier membre est supposé nul.
L'équation (2)' est du troisième degré en F'. On la résoudra par tâtonnements.
Si Ton a construit la courbe représentïint, pour le câble donné,
F' le rapport ^ en fonction de sa fatigue /r, on pourra utiliser Téqua-
tion (4)' par voie de cheminement de la manière suivante. On supposera x fractionné en éléments suffisamment petits, égaux ou inégaux, Ti To . . . , tels que x = Ti + x^ -4- . • • , et Ton aura
Bki = — E'j oTi,
E', correspondant à la valeur Initiale A- = — jE'^ à la valeur
/c-f-oÂi et ainsi de suite. On aura évidemment F' — F = SSôA" approximativement.
4^4 cHAPtmB XVII.
4** Variation de la tension d' un câble lorsque son extrémité A se déplace dans sa direction. — T-kI solution est donnée par l'équation (2) dans laquelle V — X est supposé connu et où F', quantité inconnue, figure au troisième degré.
On peut «encore procéder par cheminement en employant Téquation (4) et la courbe des coefficients d'élasticité apparente, si Ton a fractionné X' — A en éléments d\ suffisamment petits.
5° Variation de la tension d^un câble lorsque son vxtrèntiU' A se déplace suivant une horizontale. - - Notis supposerons qu'il s'agisse de déplacements petits par rapport à /, ou à A, de telle façon que la \ariation de la direction AB soit petite. Alors, le déplacement horizontal, appelé rf/, est lié. à Taugmentation rfX de la longu?îur de la corde par l'équation
l dl—\ (Cky que l'on obtient en difTérentiant la relation
dans laquelle H est constant par hypothèse. Connaissant rfX, le calcul se poursui\ra comme dans le cas précédent.
Il est évident que si l'on se trouve dans des conditions telles que Ton puisse reconnaître a priori que E' est sensiblement égal à E (cables de longueur modérée, soumis à des tensions initiales suffisamment grandes), les calculs par cheminement pourront être considérablement abrégés. En prenant pour E' une valeur moyenne estimée (à la limite, en prenant E' = E ), le calcul se ferait d*un seul coup et serait identique à celui qui correspondrait à une barre rigide, ne se déformant pas d'une manière appréciable sous son propre poids.
