II. — Cable associé a iiNe poutrk de rigidité

Un p(mt susj>endu dont le taj)lier est simplement accroché à une nappe de cables est très déformable. L'efFet de charges isolées un peu importantes est parfois gênant. On pare à cet inconvénient de diverses façons.

Un premier palliatif consiste à augmenter lé poids mort. Nous avons vu que, dans certaines limites, la déformation verticale à

l'aplomb d'une charge isolée est proportionnelle au rtipport ~ de

celte charge à la charge permanente. Mais c'est là un palliatif assez coûteux, puisqu'il oblige à renforcer la suspension.

Un second, procédé consiste à soutenir les parties extrêmes du ublier au moyen de haubans inclinés. Ces parties deviennent rigides. Quant aux râbles principaux, ils ne supportent directement les charges que dans leur partie centrale, et Joui se passe à peu près

comme si ces câbles avaient une portée réduite et un rapport y notablement plus petit. Mais ce dernier avantage ne serait complètement obtenu que si les points des câbles correspondant aux derniers haubans pouvaient être rendus complètement fixes. En outre, le passage de la partie rigide du tablier à la jTartie centrale qui reste déformable né va pas sans certains inconvénients que la sagacité des constructeurs peut bien atténuer, mais non supprinuT,

On y pare dans une certaine mesure, et du même coup on limite les déformations de la partie centrale en donut-int au tablier une certaine rigidité propre. On constitue de véritables poutres horizontales, ayant un moment d'inertie relativement grand, qui ont pour rôle de répartir les charges isolées sur un nombre plus ou moins grand de tiges de suspension. On utilise à cet effet le métal qui est déyÀ nécessaire à d'autres points de vue, le contrevenlemenl par exemple, et Ton cherche à l'employer le plus judicieusement possible en déterminant la hauteur de poutre qui conduit à un taux de fatigue ni trop faible, ni trop élevé.

Le problème, ainsi posé, est de même nature que celui qui est posé par l'association d'une poutre et d'un arc. Mais il se complique de ce fait qu'il faut prendre en compte des déformations qui ne sont plus, en général, négligeables.

On suppose, pour simplifier, que le réglage- est fait de telle façon que la poutre de rigidité ne soit soumise à. aucun travail de flexion sous l'action de la charge permanente. Elle est aloi^s sinvplement suspendue au câble. La forme initiale de celui-ci, sous la charge permanente, est d'ailleurs supposée connue, et il ne s*agit que de déterminer les effets des surcharges à partir de cet étal Initial.

Équations générales d'équilibre. — Appelons comme précédemment jx' le moment fléchissant qui se produirait dans la poutre droite de même portée, sous l'action de la charg;e permanente,

[JL celui qui se développerait sous Taction des surcharges,

m celui qui se développerait sous l'action des tensions exercées de haut en bas dans les tiges de suspension par Teflet des surcharges, ,

et enfin M le moment fléchissant réel qui se produit dans la poutre de rigidité.

Dans l'état initial, rordonnée du point du câble est telle que

Dans l'état correspondant aux surcharges, cette ordonnée devient

d'où l'on tire, en éliminant [jl',

D'un autre côté, si l'on considère la poutre de rigidité, lo moment fléchissant M est, à une fonction linéaire prés, égal à [JL — m. On peut donc écrire

^[ = |jt — m 4- A -h Bx = [X — {Q~T- q)v — qy -h A -4- Bx.

> Enfin, le déplacement vertical v du câble est en chaque point égal au déplacement vertical correspondant de la poutre de rigidité, lorsque l'on fait Thypothèse de tiges de suspensions infiniment rapprochées. Or, dans les poutres droites, on a la relation suivante :

dx^ "" ~ Eï '

(Nous mettons le signe — dans le second membre parce que i' est ici compté de haut en bas. )

En remplaçant M par sa valeur écrite plus haut, on trouve l'équation diflerentielle générale

Si les trois conslantes A, B, q étaient connues, cette équation , permettrait de déterminer r et par suite M.

Théorie simplifiée de Rankine et Maurice Lévy. ~ Ces auteurs supposaient que l'adjonction au câble d'une poutre de rigidité efficace avait pour effet de conserver au câble sa forme initiale, ou tout au moins de rendix; le déplacement i» complètement négligeable.

Dans ces conditions, l'expression du moment fléchissant développé dans la poutre de rigidité peut se réduire à

Elle est la même que celle que Ton obtiendrait pour un arc rigide, ayant le câble pour fibre moyenne.

La détermination des trois constantes A, B, q se fait alors par d(\s procédés identiques à ceux employés pour les arcs.

Supposons, par exemple, que la poutre soit simplement appuyée à ses deux extrémités; on devra avoir en ces points M = o et par suite A = B = o.

Si elle est encastrée, on devra écrire les deux conditions connues

I M dx = Oy j Mx dx =i o.

D'autre part, si l'on suppose, comme à l'ordinaire, le câble inextensible, on devra écrire dans tous les cas la condition qui exprime la conservation de sa longueur. On peut, d'ailleurs, dans ce cas, appliquer très légitimement les formules qui s'appliquent à la rectification d'un câble peu déformé, et d'où nous avons déduit l'équation de condition sous la forme

En remplaçant dans cette éqyation -^ par — '^. et en suppri-

[ niant le facteur p^, supposé constant, on trouve

/ M^ dx = o.

458 CHAPITRE ;lvii.

Ce sont donc bien exactement les mèni'es équations que l'on aurait à écrire pour un arc ripde.

On en conclut que les réactions d^ appui A, B, q se déterminent comme si le câble était remplacé par un arc rigide à' section constante^ soit articulé, soit encastréy auquel les surcharges seraient directe me ni appliquées,

Otte théorie a un point de départ inexact, i^ n'étaait pas nul, «cl le terme (Q -h 7) i^, qui figure dans l'expression de M, n'éiant pas a priori négligeable devant les autres. Si ♦' était nul, tout sv passerait comme si les surcharges se i-épartissaient uniformémeal 4între toutes les tigesTde suspension dans l'étendue de la poutre de rigidité, c'est-à-dire comme si la poutre de rigidité était infiniment rigide. Le moment fléchissant dans la poulre de régidité ne <lépendrait pas de son module d'inertie. Ces conséquences sont évidemment fausses.

Mais la conclusion à laquelle nous sommes arrivés, pour la <létcrmination des constantes A, B et q^ n'en subsiste pas moins, au moins à tilre de conclusion approchée. Il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que dans les équations de condition

I M dx = o, I M X dx = o, l M y dx = o^

les termes provenant de p soient négligeable^ par rapport aux autres, et cela peut avoir lieu sans qu'il en soit de même dans l'expression de M.

Considérons spécialement le cas où la poutre est simplement appuyée à ses extrémités ( Azin B = o). On n'a à considérer que la troisième équation, qui s'écrit explicitement

j{\^ — qy)ydx — (Q-+- y) j vydx = 0.

L'intégrale /iyrfj; peut être considérée comme négligeable, non pas seulement parce que <• est petit par raj>port à y, mais aussi* parce que t', s(uis l'action d'une surcharge, est forcément positif dans certaines régions du cable et négatif dans certaines autres. C'est une condition néct^ssaire pour (jue la longueur du cable puisse élnî conservé(\

On ferait des constatations analogues pour le cas d'une poutre encastrée.

Nous admettons donc que dans la recherche des constantes on peut opérer dans tous les cas comme si c était négligeable, au moins à titre d'approximation .

Dans le cas d'une poutre simplement appuyée, la poussée supplémentaire ^ résnltera par suite de Téqtialion suivante :

q j y^dx = j \xy dx,

a. Si Ton a une surcharge p uniformément répartie sur toute la longueur du câble, on trouve

comme s'il n'v avait pas de poutre de rigidité.

b. Si l'on suppose une surcharge isolée P, agissant à l'abscisse a, on trouve

formiile indiquée par Maurice Lévy.

Quand on la compare à celle que nous avons trouvée pour la poussée supplémentaire dans un câble libre, savoir

on voit que, dans cette dernière, il faut multiplier l'expression YfOL(l.-- (x) par un coefficient constant égal à j = o, 7.*), tandis que dans l'autre il faut prendre un coefficient variable

iHi-r)]-

qui varie de 0,62 pour ^' n= o a o, 78 pour -jzrzz - ». [\)ur - -^ 7* on

Pour des surcharges intéressant une région un peu étendue dans la partie centrale du câble, il y a très peu de différence.

c. Supposons maintenant qu'on remplace la charge concentrée P

P par une charge uniformément répartie />= -q entre les abscisses

a — P et a + ^. Ln calcul, dont le détail est sans intérêt, c(mduil

46o CHAPITRE XVII.

à la formule f

A titre de vérification, si l'on fait a = S = -, on retombe sur la

formule q=^.»

Si Ton suppose a rz: ^ = -, on trouve que la poussée due à la

charge uniformément répartie est d'environ les — de celle qui serait due à la charge "concentrée équivalente.

Étude de la déformation et des moments fléchissants dans la poutre de rigidité. — Une fois les constantes connues, au moins d'une manière approchée, on peut résoudre Téquation différen-

lielle obtenue précédemment. En posant ' ^ = A'^^ elle peut

s'écrire

Dans tous les cas de la pratique, jjl est une fonction algébrique (généralement du premier ou du second degré) dans certains intervalles connus. De même, y est une fotiction du second degré (généralement une simple parabole). L'intégration est donc facile.

On peut, d'ailleurs, substituer à celte équation différentielle une autre équation qui débarrasse de la considération des constantes A et B, et (jui fait connaître directeyient le moment fléchissant M. Il suffit de la dériver deux fois par rap[)ort à x. On obtient

On j)eut remplacer

d^^ P"'* ~ lîï dF'

et il reste, en supprimant le facteur El,

Supposons que, dans un certain intervalle / de la corde du càhle, les surcharges se réduisent à une charge uniformément répartie p^ on aura dans cet intervalle

d'où

Il = a -^ bx — ' — ,

f/i JJL

D'autre "part, si/>' est la charge permanente, on a également

di'x

dx*'" ^'

et par suite

' dx^ i^ dx* '^ q^' Par suite,

en posant

L'équation différentielle est' donc, finalement, dans Tinlervalle /,

dx*

/{*yi~{~ r = o.

Son intégrale générale est

Il en sera de même dans les autres intervalles, les quantités constantes r étant généralement différentes d'un intervaHc à l'autre.

Quant aux deux séries de constantes A et B, elles seront déterminées de manière à assurer :

1° La continuité de \(i fonction M à la limite de deux intervalles consécutifs.

/!fitl GSAPITKC XVII.

2® La continuité de Teffort tranchant -j— » s'il n'y .a pas dfî

charge isolée à la limite séparalive de ces intervalles, ou bien, dans Je cas contraire, Tégalité de cette charge isolée et de la différence dtîs efforts trancliants de part et d'autre.

3" Les conditions assignées aux extrémités de la poutre de rigidité. Si celle-ci est simplement appuyée, on devra avoir M== o aux deux bouts. Si elle est encastrée, on devra satisfaire aux conditions

/ M (Ij: = o, / Mx dx = 0.

a. A litre d'exemple, nous considérerons le cas d'une poutre simplement appuyée, portant une charge concentrée P à l'abscisse a, la charge permanente étant p' par mètre courant. On a deux ioier*

valles à considérer, dans chacun desquels on a r= — p' ?:' '^^^ expressions de M sont respectivement dans ces deux intervaïles : •

Supposons l'origine des coordonnées placée au droit de la charge, de sorte que les abscisses des extrémités de la poutre soient respectivement — a et ( / — «)=«'.

Pour a? = o, les conditions de continuité donnent

A-t-B=:A'-hB', iA'==A-.-^,

d ou «

Pour X = — a cl pour x =r a' on doit avoir M := o, ce qui s'écrit

A e-*a-+- B c*a ^. IL — c,

CABLES UK l'ON'TS St^PlCNbTS ISOLKS OU ASh>OCtÉS A DES POUTRES. 46'^

En éliminant A' el B', on a à résoudre les deux équations

A el^^' -f- B tf-A*' — -^ (e*«' - e-^a' ) -h I- = o, • ik' k^

Finalement, on obtient