I. — Théorie des tens.ons intérieures

Soit un corps naturel, limité par une surface fermée quelconque auquel est appliqué un système de forces en équilibre. Séparons le

corps par la pensée en deux parties A et B, par une surface quelconque S, par exemple un plan.

Sous Faction des forces appliquées, le corps aura subi une

Fi g. 17*2.

certaine déformation et des efforts moléculaires intérieurs se seront développés dans la masse, assurant l'équilibre de chacune des

THÉORIE GÉNÉRALB DE l'bLASTICITK. 4^^

parties en lesquelles le corps peut être décomposé. En particulier, sur la surface de séparation S, il y aura des efforts moléculaires (jui seront tels que chacune des parties A et B, envisagée isolément, soit en équilibre, d'une part sous Taction des forcejs qui lui sont directement appliquées, et d'autre part sous l'action des efforts moléculaires représentant Faction de l'autre partie. La partie A notamment sera en équilibre sous l'action de toutes les forces qui lui sont appliquées et des efforts qu'elle subit de la part de B, à travers la surface S.

Les efforts exercés par B sur A, en vertu du principe de l'égalité de l'action et de la réaction, doivent être égaux et de signe contraire à ceux exercés par A sur B. ,

Si l'on considère les premiers. efforts, on pourra en obtenir la résultante en appliquant à la partie A les théorèmes de la statique, mais on ne connaît rien a priori concernant la loi de leur distribution sur la surface S.

Soit îiS un élément infiniment petit de la surface de séparation S, assimilable à un élément plan, dont le point M est le centre de gravité. A cet élément, considéré comme appartenant à A, nous supposerons appliqué un effort propprtionnel à l'aire ^S, et représenté par FrfS. F est ainsi l'intensité de l'effort par unité de surface ; c'est ce que nous appellerons, d'une manière générale, la tension par unité de surface au point M suivant le plan qui contient rfS.

Si Teffort exercé par B sur A, à travers l'élément <iS, est dirigé de A vers B, nous aurons un effort de traction; s'il est dirigé de B vers A, nous aurons un effort de compression.

L'effort exercé par A sur B à travers l'élément dS sera égal et de signe contraire. Il sera dirigé de B vers A si Ton a un effort de traction et de A vers B si l'on a un effort de compression.

La tension n'est pas forcément normale à l'élément rfS, elle a en général une composante normale et une composante tangentieile égale à sa projection sur le plan de l'élément rfS.

Rapportons la figure à trois axes de coordonnées rectangulaires. Oxyz^ et soient x^ j', z les coordonnées du point M. Soient a, p, y les cosinus directeurs de la normale à l'élément rfS, considéré comme appartenant à la partie A du corps. La face positive de cet élément dS appartenant à A est supposée tournée vers l'extérieur

(le A, de sorte que la direction positive sur la normale est celle qui va vers Textérieur de A et pénètre dans B. Cette convention est Importante pojur éviter des erreurs de signe.

Soient \, Y, Z les composantes de la tension sur Télément rfS, ainsi précisé.

Les trois composantes X, ^ , Z sont en général des fonctions des variables x, y, z^ coordonnées du point M, car elles varient avec la position de ce point. Ce sont aussi des fonctions des variables a, ji, y, car elles varient avec Torientation de dS. (Elles dépendraient en outre du temps, si le corps avait été supposé soumis à des forces variables avec le temps. Mais nous supposerons <[u^il n'en est pas ainsi et que le temps n'intervient pas.)

Nous allons établir que ces trois fonctions de six variables |')euvent se ramener à la détermination de six fonctions des trois variables x, y^ z seulement, et que, d'autre part, ces six fonctions sont liées par trois équations aux dérivées partielles, linéaires et (lu premier ordre.

Cette dépendance et ces relations résultent d'abord du principe (lit de continuité, en vertu duquel on suppose : i** que les forces directement appliquées, *oit à la surface du corps, soit à son intérieur, sont réparties d'une manière continue, et 2® qu'il en est de même des tensions intérieures. A cela «e joint cette considéralion qu'une portion quelconque du corps doit être en équilibre sous Faction des tensions exercées sur sa surface et des forces qui sollicitent sa masse.

Équilibre du parallélépipède élémentaire.

Fig. 1^3

Considérons un

parallélépipède élémentaire compris d'une part entre les plans parallèles Oxyz correspondant aux abscisses ^ et jr + e/a:, les plans

THÉORIB GBNéHALE DB t*BLASTICITÉ. 48?

parallèles à Ozx^ définis par les coordonnées -y et jK + ^y? ^^

enfin les plans parallèles à Oxy^ définis par les coordonnées z

et z-{-dz,

Fig. J74.

Désignons par Xg, Y©, Z^ les composantes de la force appliquée à Tunité de volume, aux environ^ du point M. La force appliquée au centre de gravité du parallélépipède aura pour composantes

Xo dx dy dz^ Yo dx dy dz^ Z© dx dy dz.

Désignons par X|, Y<, Z, les composantes de la tension qui s'exerce au point M sur la face positive de Félément plan perpendiculaire à Ox, c'est-à-dire sur la fape tournée vers Ox; par X2, Y2, Z2 les composantes de la tension qui s'exerce au point M sur r^lément plan perpendiculaire à Oy et tourne vers 0/; par Xs, Ya, Z, les quantités analogues pour Félément plan perpendiculaire à Oz et tourné vers 0-3.

Nous allons écrire les six conditions d'équilibre du parallépipède en égalant à zéro d'une part la somme des composantes par rapport aux trois axes, et d'autre part la somme des moments des forces par rapport aux trois axes.

Considérons d'abord les composantes suivant Oob.

Sur la face perpendiculaire à Ox passant par le point M, el dont l'aire est dy dz^ la tension a pour composante — Xj dydz, cette face étant tournée vers les x négatifs.

Sur la face parallèle, située à la distance dx^ la tension a pour composante

Ces tensions sont dirigées en sens contraire l'une de l'autre. La

somme est

— 7-î dxdy dz.

dx "^

Sur la face perpendiculaire à O^ passant par M, la composante

est

— Xj du dx.

Sur la face parallèle, elle devient Leur somme est

Enfin sur les faces perpendiculaires à 0.3 on trouverait comme somme

-j-^ dx dy dz.

On a donc à écrire l'équation

--r-i dx dy dz h- -5-î dx dy dz H- -rr^ dxdydz-^X^dx dy dz = o;

ax ' " ax ax

OU, en divisant par rfa?, dy-, dz^ on trouve la première des trois équations suivantes, les deux dernières s'en déduisant par permutation :

d\\ d\% d\i dx dy dz

-+-^ 4-^-l-Xo=o,

/ s / ^1 ^Yj d\i ^

d7,i d^L\ d\i „ dx dy dz

Considérons maintenant les sommes des motnents par rapport aux axes, et pour simplifier nous supposerons ces axes passant par le centre de gra^^ité du parallélépipède.

Prenons les moments par rapport kOx,

La force appliquée à l'élément du volume a un moment nul, puisqu'elle est appliquée au centre de gravité.

Les forces appliquées aux deux faces perpendiculaires Ox ont

THÉORIE GÉNÉRALE DE l'ÉLABTICITÉ.

également un itwment nul, puisqu'elles sont appliquées aux centres de gravité de ces faces et rencontrent Faxe.

Sur les faces perpendiculaires à Oy, les deux forces correspondant à Xj et X2+ —r^dx ont des moments nuls, puisqu'elles sont

parallèles à l'axe Ox, Les deux forces correspondant à Yj ont également un moment nul, car elles rencontrent l'axe. Il reste seulement les forces correspondant à Z2, qui équivalent à un couple Zj dx dz X dy à un infiniment petit près.

Sur les faces perpendiculaires à 0-s, on réduirait de même la somme des moments par rapport à Ox à — Y^dxdydz.

On doit donc avoir

Par permutation, on trouverait deux équations analogues correspondant aux moments pris par rapport à Oy et Oz. Ce sont

Y| •= Xj.

Ces dernières équations montrent que, sur les neuf composantes envisagées, il n'y en a que six distinctes, puisque trois d'entre elles sont égales aux trois autres.

Pour exprimer ce dernier résultat, il n'est besoin que de faire un changement de notations. On désignera par les lettres N|, N^, N3 les composantes X|, Y2, Z3 qui ne figurent pas dans ces égalités et qui représentent les composantes normales des tensions sur les plans perpendiculaires aux axes, et par T|, T^, T3 les composantes tangentielles, la loi de correspondance résultant des deux Tableaux ci-dessous :

Composantes parallèles à

Ox. Oy, Oz.

Xi Y, Z,

Xj 13 Zj

Ox Faces perpendiculaires à \ Oy

Oz

Faces perpendiculaires à

Ox

Oy

Oz

Composâmes parallèles à

Ox, Oy. Oz,

N, ; Ta T,

T, Ti N3

49^ OHAPITHE KIK.

On composera facilement le deuxième Tableau en écrivant les IN sur la diagonale principale dans Tordre de leurs indices<t puis les Ti dans Tordre également de leurs indices, en suivant les case» res" tantes d'un même cdté de la diagonale; enfin en Complétant le Tableau symétriquement par rapport à cette diagonale.

Avec ces notations, les équations (i) s'écrivent

1 rfN, 1 dx

dy

dz

1 dx

dT,

dz

J dx

dix

dy

dNi djs

Yo=o, Zo= o.

On a bien obtenu le résultat annoncé; il reste. six fonctions de trois variables, liées par trois équations diflférentielles.

Les équations {9.) s'appellent les équations générales de Téquilibre du milieu considéré.

Èqiuliinre dut tétraèdre élémentaire. — On peut déduire de la connaissance de ces six fonctions la connaissance des tensions sur des éléments plans obliques par rapport aux axes.

Soit M un point du corps. Cherchons la valeur de la tension sur

Fig. 17.5.

un plan passant par M et défini par les cosinus directeurs a, p, v de sa normale. Il s'agit, bien entendu, de la face du plan tournée vers le point de coordonnées a, ji, y.