THEORIE GENÉBALE DE L'ÉLASTICITÉ

Menons uj\ plan papallèle et infiniment voisin. Il coupera les parallèles aux axes menés par le point M aux points N, P, R et formera avec les trois plans parallèles aux plan3 coordonnés un petit tétraèdre qui devra être en équilibre. ^

Soient X, Y, Z les composantes de la tension sur le plan oblique passant en M-; à des infiniment' petits près, les composantes de la force exercée Sur la face NPR seront

XdS, Yd$, ZdS

en appelant rfS Taire du triangle NPR.

Les composantes de la force exercée sur la face MPR perpendiculaire à Oar, dpnt Taire est arfS, seront

— Niâtes, — TzadSf — Tja<iS.

Sur la face MNR perpendiculaire à Oy^ don^ Taire est P dS, on aurait de même ^

-TaPrfS, — NjprfS, -TiP^S.

Enfin, sur MNP perpendiculaire à Ojr, dont Taire est yrfS, on aurait •

— Tjy^S, -T,yc/S, — IVaY^S.

En égalant à zéro la somme des composantes relatives à chacun des axes, on a les équations

r X = Nja-i-TjPH-Tsv, (3) I Y = T3a-f-N2.3-f-TiY,

Ces équations sont faciles à retenir ou à retrouver, les composantes N et T y étant disposées exactement comme dans le Tableau ci-dessus.

Les équations (3) sont appelées les équations d'équilibre à la sur/ace du milieu considéré, lorsqu'on' les applique à un élément rfS de la surface de ce milieu. Les cosinus directeurs a, ^, Y sont ceux de la normale à la surface dirigée vers Textérieur.

Sllipsolde des tensions. ~ Si Ton porte à partir du point M dans la direction delà tension un vecteur é;ral à cette tension, Tensemble

des extrémités de ces vecteurs définit un ellipsoïde. Les composantes de ce vecteur sont X, Y, Z, et l'on aura l'équation de la surface décrite par l'extrémité du vecteur en éliminant a, p, y entre les trois équations (3), qui sont linéaires, et la relation

On peut déduire de la considération de cet ellipsoïde l'existence de trois tensions principales, dirigées suivant les axes de l'ellipsoïde et qui, par raison de symétrie, doivent être perpendiculaires aux plans formés par les autres axes. Mais on obtient des notions plus précises à cet égard en envisageant une autre surface définie de la manière suivante.

Surface directrice des tensions. — Projetons la tension, dont les composantes sont X, Y, Z, et relative au plan défini par les trois cosinus a, 3, y, sur la normale à un second plan défini par les trois cosinus a', p', y'.

Cette projection aura pour valeur

-+- T, ( ya' -f- af) -h T, ( a^' -h ?«' ),

et l'on peut observer en passant que cette expression ne change pas quand l'on permute les deux systèmes de cosinus a^y et a'^ y''. La projection de la tension relative à Vun des plans sur fa normale à Vautre plan ne change pas quand ron permute tes deux plans.

Si l'on projette en partrculier la tension sur la normale au plan où elle s'exerce, on obtient sa composante normale au plan.. Si l'on désigne cette composante normale par N, on a l'expression

La tension sera une traction ou une compression, suivant que celte valseur de IN sera positive ou négative.

Supposons maintenant que, sur la normale au plan, on porte à partir de M un vecteur MN dont le carré représente la valeur

absolue de ^, les coordonnées de N seront (si l'on suppose l'ori-

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gine des coordonnées au point M), données par les relations

a P 7 J±li' »

L'équation du lieu du point N s'obtiendra en élimindhi a, ^, ^ entre ces relations et Féquation (5). On trouve

N,a?»-i- N,j^«H- N3-3*-^aTij5-!- ^Tiisa? -+- aTiX^ — zbi.

C'est donc une surface du second degré, que l'on appelle surface directrice des tensions.

C'est un ellipsoïde, si N a partout le même signe. Ce sera le système de deux hyperboloïdes conjugués si N est, tantôt positif et tantôt négatif.

Les propriétés de cette surface présentent un grand intérêt, mais nous n'en retiendrons que la suivante.

Si l'on prend pour axes coordonnés les trois axes de la surface directrice, les termes rectangles doivent disparaître de son équation, de sorte que, dans ce système d'axes, on doit avoir

T, = T,= Ts=o.

Autrement dit, les composantes tangentielles sont nulles sur les plans perpendiculaires à ces axes, ou encore, sur ces trois plans les tensions sont normales.

Il y a donc en tout point du corps trois plans sur lesquels les tensions sont normales. Ces trois tensions sont dites tensions principales.

Remarque, — Nous avons dit plus haut l'importance que présente l'adoption d'un système de conventions bien défini en ce qui concerne les faces des éléments plans sur lesquelles les tensions s'exercent. Nous avons supposé expressément que X|\|Z|, X2Y2Z2, . . . , X3 YsZj sont les forces qui s'exercent sur les éléments plans respectivement perpendiculaires à Oj;, Oy, 0>c et du côté des J7, y^ z positifs. De cette façon, quand X| par exemple est positive, elle représente une tension dirigée de O vers a?, c'està-dire une traction. Dans le cas contraire, c'est une compression. Les valeurs positives de N|, Nj, N3 représentent donc des tractions, les valeurs négatives des compressions.

494 cHApfrnE xix.

On trouve quelquefois intérêt à modifier fcette règle, de manière à faire correspondre des compressions aux valeurs positives de N,^ Na, N3. Mais il faut alors se rendre bien compte que la convention ordinaire est modifiée et que tout revient à envisager les tensions^ c^i s'exereent sur les faces négatives des élément^) plans.

Si Ton désigne ces dernières tensions par des lettres accentuées, il est bien clair que Ton a\\ = — X 1 , Y^ = — Y| , Z'^ r= - Z, , etc. , et de même Nj = - - N< , . . . , et que le résultat cherché est obtenu, puisque à une valeur négative de X| , par exemple, correspond une valeur positive de X', , et qu'à celle-ci correspond une compression.

Il est aisé de voir que, si l'on recommençait dans ce nouveau système les raisonnements relatifs à l'équilibre du parallélépipède élémentaire, on retrouverait les équations ( 1 ) dans lesquelles toutes les composantes des tensions seraient accentuées et changées de signe. Il reviendra au même de changer les signes de X^, Yp, Z^, et il ne faut pas oublier de le faire.

De même, si l'on envisage l'équilibre du tétraèdre élémentaire, on devra se Vappeler que les équations (3) ne sont conservées qu'à la condition de faire correspondre à la face que l'on considère sur un élément plan donné les cosinus directeurs de la normale à la face opposée. En particulier, si Ton envisage un élément de la sur/ace extérieure d'un corps, il faut faire correspondre à cet élément les cosinus directeurs de la normale dirigée vers r intérieur du corps.

Il est à remarquer que l'inobservation de cette règle n'entraînerait aucune erreur dans l'évaluation de la composante normale N, puisque dans la formule (5) les cosinus directeurs n'interviennent que par leurs carrés ou leurs produits; mais il n'en serait pas de même dans les autres formules déduites des équations (3).