II. — Théorie drs déplacements dans cn système continu
Considérons un système de points infiniment rapprochés rapportés à trois axes rectangulaires. Soient x^y^ 5 les coordonnées d'un point quelconque X. Soient m, ^, w les composantes de son déplacement.
Considérons maintenant un point N, infiniment voisin de M, dont les coordonnées soient x -h A, j>' -f- A", -s -h l', les composantes
THÉORIE GÉNÉRAtR DB L'ÉLASTICITÉ. 49S
de son déplacement, i/', ç^', w\ seront données par les expressions
, du , du , du j
dx dy d»
dv du dv \
, dw . dw , dw ,
w — cv = -7— A H- *T- A* H — T- /.
dx dy dz
Ces expressions représentent aussi les accroissements SA, oAr, 3/ subis par les composantes A, A', / du vecteur MN.
Si Ton considère l'ensemble des points N situés sur une certaine surface /[hkl)^= o entourant le point M, ces points seront, après déformation, sur une surface entourant le point M déplacé, dont Téquatlon sefa
/(A -h SA, ÂH-8X:, /-+-80-O.
Ce sera une équation de même degré que J[{hkl) = o, puisque les accroissements SA, 5/*, 5/ sont linéaires en A, A*, /.
Ainsi les points primitivement situés sur un plan resteront sur un plan, les points primitivement situés sur une surface du second' degré demeureront sur une surface du second degré.
Décomposition du déplacement relatif. — Les formules (()) montrent que le déplacement relatif d'un point quelconque N par rapport au point M est déterminé par les valeurs que présentent auj point M les neuf dérivées ^îartielles des composantes du déplacement M, (^, a\ par rapport à .t, y, z. On peut substituer à ces neuf dérivées neuf autres coefficients dont Finterprélation géométrique est plus facile.
Posons
du dv dw
dx dy dz
... , dw dv , du dw
dw dv du dw
On se rappellera la formation de ces coefficients en formant le *
dv dx
du
'iy
dv dx
du
dy
Tableau
GHAPITHB XIX.
ai bz 6] bi ai 6, bi bi as
analogue à celui donné pour les lensions et en le comparant au Tableau des neuf dérivées partielles
du
du.
du
dix
dy
dz
dv
di>
dv
dx
dy
dz
dw
àw
dw
dx
^fy
dz
Les a sont les dérivées contenues dans la diagonale principale, les b sont les demi-sommes des éléments symétriques par rapport à la diagonale, les p sont les demi-différences.
Avec ces nouvelles notations, les équations (6) pourront
s écrire
dh — u' — a = (rri/i-h b^k -h b^l)'Jrpt ^ — /?»^i dk =1 »•'— • V =i{b^h-^ a^k -If bxl)-\' p%h — pil^ [ dl = u»'— cv = (^,A +- ^,X:j- aj/) -+- pik — pthy
ainsi qu'il est facile de le vérifier en introduisant dans ces dernières expressions les valeurs indiquées pour les nouveaux coefficients.
Les termes en p représentent une rotation autour du point M, les composantes de cette rotation étant />i,/?2,/> s. Un semblable mouvement ne produit aucune déformation, puisqu41 est commun à tous les points situés au voisinage du point M.
Les déformations du milieu autour du point M sont donc fonctions des seules quantités ai a2a3, b^b-^b^^ que Ton appellera les déformations élémentaires^ en raison des propriétés qui vont suivre.
Dilatation linéaire. — On appelle dilatation linéairele rapport de Taccroissement d'une longueur à sa valeur primitive.
Evaluons la dilatation linéaire suivant la direction MN. Le seg-
THKOaiE GÉNÉRALE DE L'ÉLASTICITÉ. 4D7
menl MN a pour longueur r et Ton a
On en déduit
r dr = h dh -h k dk -h l dl.
Si Ton remplace rfA, dk^ dl par leurs valeurs (8), les coefficients p disparaissent, ainsi que Ton pouvait s'y attendre, et il reste :
r dr — «i A» H- ai A* -H «3 /* -h 2 61 A:/ -r- a 61 Ih -h a 6j hk,
dr Si Ton appelle a, ^, v les cosinus directeurs de MN et a = -7 la
dilatation linéaire suivant MN, on trouvera en divisant par /•*
(9) a = âria*4- ôaQ'-t- aaV^-»" ^^ipY ^" '^^îY""^ ^^3«P'
Si l'on suppose que MN est parallèle à Ox, on a
p = Y = o et a = I, d'où
a\ est donc la dilatation linéaire suivant la parallèle à O j?.
De même a^ et «3 seraient les dilatations linéaires suivant des parallèles à Oy et Oz respectivement.
Gela fixe la signification de ces trois quantités.
Dilatation ang^ulaire. — Soient deux points N, et No infiniïnent voisins de M et soient ai pi-yi et a2p2 72 les cosinus directeurs des directions MN, MN^, et V l'angle N, MNj.
On a
ou
/'i Tj cos V = h\ ht + A'i kl -h /i /j.
On en déduit par difi'érentiation
. cos V d{ f'i /-j ) — /'i rj sin V rfV = A, dhi 4- k^ dkx -\- /j d^
h 1 dh^ -h kx dk^ -4- 1\ dl^.
Lorsque l'angle V est droit, cos V -= o et le premier terme du
PlGEAUD ' 32
premier membre s'annule. Dans le deuxième terme, sin V est égal
Si Ton remplace les difTérenlielles rfA, dk^ dl par leurs valeurs tirées des équations {8), on obtient
Fig. 176.
Si Ton pose - dV = 6 et si Ton divise par r^ r2, ce qui ramène les cosinus directeurs, on trouve
(10) b = rtiaiai-+-a,p,?i2-+-rt3YiTi"^*i(?iïi-^YiP*)
Celte formule donne donc la moitié de la diminution qu'éprouve dans la déformation Tangle V, primitivement droit, des deux directions a^jî^v,, aaPsYî-
Si l'on suppose que MN^ est confondu avec Oj^etMNa avecO^» on a
aj=o=3i avec Yi=*'
Tous les termes disparaissent à l'exception du terme i| p^'^-j = ^i- On en déduit que la quantité 2 è| représente la diminution éprouvée par Tangle YOZ. De même on verrait que 262 et 26^ représentent respectivement les diminutions des angles ZOX et X0\ .
Ces quantités 261, 262? 263 s'appellent distorsions o\x glissements.
La raison de cette dernière appellation est la suivante.
Supposons que Torigine des coordonnées étant portée au point M, on prenne sur Oj7 et O^ deux longueurs OA et OB égides à l'unité, et considérons le carré OABD comme la base d'un prisme dont les arêtes soient parallèles à Oz.
Supposons que la distorsion 2^3 existe seule et que OA demeure
