THÉORIE GÉNÉRALB DB L'ÉLASTICITÉ
fixe, le point B viendra en 64, point situé sur BD à un infiniment petit près d'ordre supérieur, puisque Tangle B| OB' = 363 est
Fig. 177.
infiniment petit. L'arête BG viendra en B| G|. De même l'arête DE viendra en D4E4, de sorte que la déformation consistera uniquement en un glissement relatif de la face BDEG du prisme par rapport à la face opposée OAFG supposée fixe. Seules les facesperpendiculaires à Oz sont altérées et se transforment en parallélogrammes, La valeur du glissement est, d'ailleurs, à l'unité de distance :
BBi= iangBOB, = 263.
Surface des dilatations. — Reprenons la formule qui donne la dilatation linéaire. Elle est toute semblable, comme forme, à celle qui nous avait donné la composante normale de la tension sur un plan perpendiculaire à la direction a^y. On peut donc en faire une représentation semblable.
Si l'on porte sur la direction a^y, à partir du point M, un vecteur MN dont le carré représente la valeur absolue de l'inverse — >
les coordonnées x^ y^ z ^de l'extrémité du vecteur seront données parles relations
le
signe étant + ou — suivant que a est positif ou négatif.
En éliminant a^y entre ces équations et celle qui donne a, équation (9), on obtient Féquation du lieu du point N
(11) fli a?*H- a^y^-h a^z^-^- ib^yz -^ib^zx-^rib^xy =±i.
C^est une surface du deuxième degré, qui sera un ellipsoïde s'il y a partout dilatation ou contraction^ et qui sera Tensemble de deux hyperboloïdes conjugués s*il y a dilatation dans certaines directions, contraction dans d'autres.
Si l'on prend pour axes coordonnés les trois axes de la surface,
les termes rectangles disparaissent de son équation, de sorte que
l'on a
61 = 0 = ôi= 63.
11 en résulte que, en tout point d^t^n solide qui subit une déformation, il existe trois directions rectangulaires telles que les angles de ces directions^ prises deux à deux^ restent droits après la déformation.
Les dilatations dans ces trois directions sont dites principales.
Dilatation cubique. — Considérons un élément parallélépipédique ayant un sommet au point M et dont les arêtes soient dans la direction des dilatations principales. Désignons par a\^ a^^ a\ ces dilatations principales.
Par la déformation, les arêtes sont respectivement multipliées par I -h «1 5 I + a'j, 1 + a'j. De plus, les angles restent droits. Donc le volume de l'élément est multiplié par
(i -f- a\) (I -+- a',) (i H- a'5) = I -H ai H- a'^ H- a,
en négligeant les termes du second ordre.
11 en résulte que la dilatation cubique est donnée par l'expression
La somme des trois dilatations principales est d'ailleurs égale à la somme des trois dilatations relatives à trois axes rectangulaires quelconques.
Si l'on reprend, en effet, la formule générale qui donne la dilatation dans la direction apy,
a = ai a» -h aj p' 4- a j y^ -h 261 py -4- ib^^ot. -+-263x8
THÉORIE GÉNÉRALE DE L*ÉLASTIC1TÉ. 5oi
et qu'on y introduise les cosinus directeurs aiPiyi, ttaPay»? ^sPsys des trois directions rectangulaires, puis qu'on fasse la somme, en tenant compte des relations qui lient les cosinus directeurs, on trouve
On en déduit que, d'une manière générale, (12) 6 = «i-t- aj-+-a3.
IIL — Relations entre les tensions
ET LES DÉFORMATIONS D'UN SOLIDE ÉLASTIQUE A PARTIR DE l'ÉTAT NATUREL.
Nous admettons qu'il existe un état du solide dans lequel les tensions intérieures sont nulles; c'est ce que l'on appelle Vétat naturel. Si, le corps étant en cet état, on vient à lui appliquer certaines forces extérieures, il se déformera, et en même temps des tensions intérieures prendront naissance.
Si l'on admet la loi de Hooke généralisée, en supposant bien entendu qu'il ne s'agisse que de déformations très petites, dont oi; peut négliger les secondes puissances, et d'autre part qu'il ne S'agisse que de tensions Intérieures notablement inférieures à la limite d'élasticité, on sera conduit à poser ce principe que les six composantes des tensions N e^ T sont des fonctions linéaires et homogènes des six déformations élémentaires a et 6, et in\>er'se/nent.
Nous aurons donc des équations de la forme
N = niaj-h 713^2+ n^nz-hpiùi-hpibi-hpzbi^^ o(ai, . . .)• T = fiiUi-h niUf-i- TisajH- qi ôj-i- qt^i-h ^3^3 = 4'(^i> • • •)•
Les coefficients m, /i,/>, q portent d'une manière générale le nom de coefficients d'élasticité. Si l'on exprimait les déformations a et 6 en fonction des N et T, les coefficients seraient ce que Rankine appelle des coefficients de souplesse.
Il y a en tout trente-six coefficients d'élasticité, qui dépendent de la constitution du milieu autour du point M. Si cette constitution varie d'un point à un autre, ils peuvent être des fonctions de x^y\ z] mais si nous supposons le milieu homogène, ce seront des constantes.
5oa
Le nombre des coefficients se réduit notablement quand le milieu possède dans son état naturel certains éléments de symétrie. Il se réduit à deux pour un milieu homogène et isotrope.
Réduction des coefflcients à deux dans un milieu homogène et isotrope. — ■ Considérons un cube élémentaire dont les arêtes sont parallèles aux axes coordonnés, et supposons que la seule déformation de ce cube consiste d'abord en une dilatation a^ dans la direction Ox,
Il n'y a aucune raison pour qu'il se produise des efforts tan-
Kg-
tr
gentiels sur les faces, puisque leurs angles mutuels ne sont pas altérés. Donc a priori on peut dire que les tensions tangentielles T ne dépendent pas des dilatations suivant les axes.
En ce qui concerne les tensions normales, elles seront proportionnelles à ai, mais le coefficient de proportionnalité sera différent pour Ni qui est parallèle à la dilatation a^ et pour les deux autres qui lui sont perpendiculaires. On pourra donc poser
N, = Aai,
On raisonnerait de même pour chacune des dilatations as et a^y les coefficients de proportionnalité A et B demeurant les mêmes en vertu de l'homogénéité et de Fisotropie supposées de la matière.
THÉORIK UÉNÉUALK UE LËLASTICITK. 5o3
En superposant ces trois dilatations, on obtiendra des expressions de la forme
f Ni " Aai-4- B(aj-+-a3) = X6 -f- 2fxai, (i3) v| Na = Aaj-h B(a3-f- ai) = XG -h -iijLai, Ti=Ti— T3— o, f Na --• Aag-f- B(ai-H a*) = Xô -+- afjLas,
Supposons maintenant que le cube soit déformé par le seul glissement 2^3, qui fait glisser la face BDGE sur elle-même. Cette déformation ne peut provoquer de tensions normales. Elle ne peut influer que sur T3, action tangentielle qui s'exerce sur la face BDGE parallèlement à la direction BD de son glissement. On raisonnerait de même pour les deux autres glissements, de sorte que, en superposant les trois glissements, on sera conduit aux formules suivantes :
(14) Ni=- N2=N3---o )Ts=G6j,
Enfin, la déformation la plus générale conduira à la réunion des formules (i3) et (i4)-
On démontre d'ailleurs que Ton a G = 2[x. En efl'et, considérons, comme plus haut, l'effet du glissement simple 2^3. Il équivaut à une dilatation suivant la bissectrice OD et à une contraction suivant la bissectrice AB. La dilatation suivant OD s'obtient
d'ailleurs en faisant 0. r:^'^ -- — et v = o dans la formule gêné-
raie (9) qui donne la dilatation linéaire et qui se réduit ici au terme en 63. On trouve
De même, la contraction suivant AB serait a ^-^ — b^^^ --ci.
D'un autre côté, l'angle droit formé par les deux diagonales demeure droit après la déformation, le carré s'étant simplement transformé en losange, et on le vériiierait d'ailleurs facilement par la formule générale (10).
Dans ces conditions, les deux diagonales sont des directions principales dans la déformation considérée et les tensions N et N' Xjui s'exercent sur les plans correspondants leur sont normales.
5o4 CHAPITRE XïX.
Enfin, dans cette déformation, on a 9 = o, puisque
6 == flj -4- aj H- aa,
et que tous ces termes sont supposés nuls.
On doit donc avoir entre N et a (comme d'ailleurs entre N' et a) la relation simplifiée
La valeur de N est d'ailleurs facile à obtenir par la formule générale (5), qui se réduit ici à
les tensions autres que Tj étant nulles d'après les formules (i4)- Il est donc nécessaire que T3 soit lié à èj par la relation
Cela exige que l'on ait G = 2 «jl.
Si, maintenant, dans les formules résultant de la combinaison de (i3) et (i4)î on remplace les a Ql b par leurs valeurs en fonction des dérivées des déplacements, on parvient aux formules suivantes :
-. .^ d(v /du idv\
Dans ces formules, 9 est la dilatation cubique et a pour valeur
... . du dv dw
Il en résulte la relation, très utile à connaître,
Les deux coefficients A et a- qui subsistent dans les relations précédentes sont appelés coefficients de Lamé. Ces relations sont elles-mêmes souvent désignées sous le nom Adéquations de Lamé.
THÉORIE GÉNÉRALE DE l'bLASTICITÉ. 5o>
Réduction des deux coefficients à un seul dans le cas des corps isotropes. — , Divers savants, et notamment Navier, Poisson, Cauchy et de Saint-Venant, ont démontré que Ton devait avoir X = [Jt., dans le cas des corps isotropes, lorsqu'on suppose que les tensions intérieures résultent d'attractions entre les molécules de la matière et que celles-ci sont simplement fonctions de la distance entre ces molécules. Pour le détail de la controverse qui s'est élevée sur ce point, nous renvoyons à la longue Note que Saint- Venant a insérée dans son édition annotée de l'Ouvrage de Navier. On objectait que l'hypothèse faite au sujet de la constitution de la matière et des attractions de ses molécules n'était peut-être pas conforme à la nature des choses ; mais on objectait surtout que la relation X = |jt. conduisait à certaines conséquences en désaccord avec certains résultats d'expérience. Saint-Venant faisait observer, au contraire, que ces prétendus désaccords étaient en somme petits, de l'ordre de grandeur de ceux que l'on rencontre toujours quand on confronte une théorie avec l'expérience et qu'ils étaient fort explicables soit par des imperfections des méthodes expérimentales employées, soit par le défaut d'isotropie des échantillons observés.
Malgré tout, l'usage a prévalu de conserver les deux coefficients de Lamé, et nous nous y conformerons, malgré les complications que cet usage entraîne et dont l'utilité n'est pas bien démontrée. Dans beaucoup de recherches théoriques, uniquement destinées à mettre en évidence le sens des phénomènes et non leur mesure, il n'y aurait que des avantages, à notre avis, à accepter la simplification X = [X.
