IV. — Équations générales de l'équilibre élastique

Nous sommes maintenant en mesure d'écrire les équations générales d'équilibre élastique d'un corps. Nous avons trouvé précédemment les équations différentielles (2) auxquelles les tensions intérieures doivent satisfaire en tout point de l'intérieur d'un corps, et les équations (3) auxquelles elles doivent satisfaire en tout point de sa surface, et cela indépendamment de toute considération sur les déformations produites. Mais l'ensemble de ces conditions nécessaires n'est pas suffisant, en général, pour déterminer les six tensions inconnues.

5o6 CHAPITRE XIX.

Admettons maintenant que le corps soit élastique, ce qui veut dire, d'une part, que les déformations sont exprimables en fonction des dérivées partielles des déplacements et que les tensions intérieures sont elles-mêmes exprimables en fonction de ces mêmes dérivées partielles, conformément aux résultats qui viennent d'être obtenus. Dans ces conditions, nous pourrons transformer les équations générales d'équilibre en des équations différentielles par rapport aux trois seules fonctions inconnues «, i', w, et le problème deviendra déterminé.

Prenons, par exemple, la première équation générale d'équilibre (2) :

dx dy dz ^^ ^ ^

En tenant compte des expressions de N|, T3, Ta et 6, nous l'écrirons successivement

rfO \d^u d^v d^tv 1 [d^id d^u d^ul

^THc-^^id^^ d^^'^d^d^l'^^lTL^'^dP^'^^ -4-Xu-o,

( A H- t^) ^ -t- fA ^W -H Xo = O

m représentant par le symbole AF l'opération

Ar = i 1- '

dx^ dy dz^

On opérerait de même pour les deux autres équations, de sorte (ju'on obtiendra le système suivant :

(X -h fx; ^ -h jx ^u -h \o = o,

^V ) { (X -^ !J^) ^. -^ :^ Av -T- Yo = o,

(\ -f \x)-z — \- iilw -^ Zo =0.

Ces trois équations sont les équations générales d^ équilibre élasiir/ue. On les appelle aussi les équations indri finies d'équilibre* pour rappeler qu'elles sont applicables on tout point du corps.

Quant aux équations d'équilibre à la surface (3), on pourrait