THÉORIE GRNHRALE DE L ÉLASTICITÉ. S

de la même façon les transformer et Ton remplacerait, par exemple, la première d'entre elles par celle-ci :

On aurait ainsi trois équations différentielles auxquelles m, v, iv doiveiU satisfaire sur la surface limite du corps considéré. On les appelle les équations à la surface. Mais habituellement nous les considérerons sous leur forme primitive, plus facile à retenir, et nous les écrirons ici

!X = N|a-f-T3p-hT,Y, Y = T,a-^N,p-hT,Y, Z = Tia-+-T,p-hN3Y,

étant entendu que les N, T sont exprimables en fonction des dérivées partielles de a, r, w et que X, Y, Z sont les composantes de la force extérieure.

Remarque, — Lorsqu'on a quelque intérêt à faire correspondre des compressions aux valeurs positives de N< N2N3, il faut se rappeler que cela revient à inverser tous les signes des tensions, de manière à considérer celles qui s'exercent sur les faces négatives des éléments plans. On arrive au même résultat en changeant dans les équations (A) les signes de Xo Vo Zo, et en prenant dans les équations (B), pour a, p, y, les cosinus directeurs de la demi-normale qui est dirigée vers l'intérieur de la surface.

Remarque sur les solutions des équations de l'équilibre élastique. — Le système des équations (A) forme un système d'équations aux dérivées partielles du second ordre. On démontre, en Analyse, qu'il admet une solution gêné ride dans laquelle interviennent six fonctions arbitraires.

Ces six fonctions arbitraires devront satisfaire aux trois équations à la surface (B). Mais cela ne suffit pas encore à déterminer entièrement les fonctions m, i\ w. Gela tient évidemment à ce que le corps, dans son état déformé, peut occuper une situation quelconque dans l'espace et qu'on peut ajouter à w, r, w des ternie^ arbitraires représentant le déplacement le plus général d'un corps solide, c'est-à-dire une translation et uue rotation arbitraires. Mais

si Ton fait abstraction de ce déplaccirient d'ensemble, on peut dire que le problème est entièrement déterminé. On le démontre de la façon suivante.

Supposons qu'on çit trouvé un système de fonctions //, t^, w satisfaisant à la fois aux équations (Â) et aux équations (B). Il représentera un état élastique possible^ et ce système sera même le seul possible.

Supposons^ en effet, qu'il y ait une seconde solution uç'w\ remplissant les mêmes conditions. Les différences u'=u — u\ v"z={f' — i^, (r"= (v' — w correspondraient à un troisième état d'équilibre élastique possible, mais dans lequel toutes les forces appliquées seraient nulles.

On aurait, en effet,

0'=O' — 0 et Aa'=Aw'— Aa,

Les équations générales (A) donneraient

tir

et deux autres relations analogues. La troisième solution s'appliquerait donc à l'hypothèse X© = V o = Z© = o. D'un autre côté, on aurait

N'=N']V et T''=T'— T.

A la surface du corps, en particulier, on aurait

et deux autres relations analogues, de sorte que la troisième solution s'appliquerait à l'hypothèse où toutes les forces extérieures appliquées à la surface seraient nulles.

Ainsi, cette troisième solution u" v' w" correspondrait à un état élastique résultant lui-même de forces extérieures nulles tant à l'intérieur du corps qu'à sa surface. Cet état élastique ne peut être que Tétat naturel du corps. Autrement dit, on doit avoir a'=: r"= iv"= o, identiquement. Les deux solutions arwetaVwp' doivent, par suite, se confondre.

Ce raisonnement ne suppose pas nécessairement qu'il n'y a aucune action moléculaire dans l'état naturel, mais simplement