THEORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLASTICITÉ. SOQ

que les actions moléculaires développées par un système de forces extérieures, seules en question ici, disparaissent avec ces forces elles-mêmes, condition impliquée par la notion d^état élastique.

Remarque, — On est parfois amené à considérer des problèmes dans lesquels, au lieu d'avoir comme données les forces extérieures qui s'exercent à la surface du corps, on se pose la condition que la surface ne se déforme pas, ou bien se déforme d'une manière donnée à l'avance. Dans ces conditions, les fonctions arbitraires contenues dans la solution générale des équations (A) se déterminent par identification. Les équations (B) ne jouent plus aucun rôle, si ce n'est pour trouver après coup les réactions inconnues de la surface.

Réduction des équations générales. Disparition des compcsantes Xq, Y©, Zo- — Lamé a fait remarquer que l'on pouvait, en général, faire abstraction des termes en X©, Y©, Z^ dans les équations (A), et il en a donné deux raisons.

La première consiste en ce que, dans les corps solides et rigides, les intensités des forces extérieures appliquées aux éléments de volume sont la plupart du temps petites et négligeables au regard des intensités des forces appliquées à la surface de ces corps ou au regard des tensions intérieures. Il y a cependant des cas où il en est autrement. .

La seconde raison consiste en ce que les équations sont linéaires et que leur solution générale se composera toujours par l'addition d'une solution particulière m©? ^o? ^^o des équations complètes avec la solution générale des mêmes équations privées des termes en Xo, Yq, Zq.

Or, il est presque toujours possible de trouver à part la solution particulière Mo? ^o? ^^o dont on a besoin. En effet, le plus souvent Xq, Yp, Zo se réduisent aux composantes de la pesanteur. Plus généralement, on peut supposer qu'elles proviennent d'attractions ou de répulsions émanant de centres extérieurs fixes et suivant la loi de l'inverse du carré des distances. Plus généralement encore, elles peuvent être supposées égales aux dérivées partielles d'une même fonction Fo, qui sera par exemple le potentiel de masses attirantes situées soit à l'extérieur, soit à l'intérieur du solide,

5lO CHAPITRE XIX.

comme si celui-ci était par exemple électrisé point pftr point, suivant une distribution fixe.

Supposons donc

^'-'d^' ^'^W ^'~~dl'

et que Fq soit une fonction telle que

F.=///^rfadMï.

Dans cette expression, /(a^y) serait la densité électrique au point apy, de sorte que /(a^y) rfat/prfy serait la masse attirante contenue dans Télément de volume da, d^ dy.

On a d'ailleurs

Posons maintenant

el prenons

ax dy az

k étant un coefficient indéterminé. Puis cherchons sous quelles conditions les équations générales seraient satisfaites par ces expressions.

On trouve d'abord

En çffet, on a, comme on sait,

dx'^ K ' d,v^ '' Rï

et, par suite,

,-, rf«R fl?«R rfîR 3R«-R« 2 dx^ ^ dy* dz* R3 "~ R

THÉORIE GÉNÉRALB DB l'ÉLASTICITÊ. 5iI

D'autre part, on a

dFp

dx **" ' '' cix

,dFo

rfFo

et enfin

eo=X:A9o= A:Fo.

La première équation générale d'équilibre s'écrit donc

,. ,,^Fo ,dFo dFo

Elle est donc satisfaite, pourvu que l'on ait

Il en sera alors de même pour les deux autres. La solution particulière cherchée est donc

i doo * i d(po 1 dfpo

uq = — ^ -r- > l'o = — ^^ -r- ' "'o = — > :V-'