X -+- '2 (1 a r A -t- 2 jx rf^ A -h a (JL rf
On en déduirait
ôo = — r- Fo.
Quant aux composantes des tensions, on les obtiendrait par des expressions de la forme
^ dx \-\- x^L A-|-2|JL dx^
' X H- '2 (JL ^ar dy
Les dérivées secondes de cp© qui figurent dans ces expressions peuvent d'ailleurs se calculer directement sans passer par l'intermédiaire de la fonction cpo elle-même, ce qui est parfois avantageux.
Si en particulier X©, Yo, Z© étaient des constantes a, fe, c, il faudrait supposer des masses attirantes rejetces à Tinfini. Mais on évite toute complication en prenant dans ce cas, comme solution
5 l'A CHAPITRE Xl\.
particulière, Fo= ax-[-by -+- cz avec
"j = 7^ : y ^0 = 7^—^ : » wo = — •
2(X-|-2fl) 5l(X-|-2fJl) 2(X-haîx)
On a, en effet,
Oo== — r (ax-i- by -^ cz);
A -h 2 (Jt X -h 2 |Jl . A -H -2 ;x
et l'on vérifie facilement que les équations générales sont bien satisfaites.
On trouve, pour les composantes des tensions,
N| = — r iax-^ oy '\- cz)— r — i — ax,
Nous traiterons plus loin un autre cas, celui où il s'agit d'un massif illimité dans tous les sens et où Xg, Yo, Zq sont nuls en général, sauf dans une région limitée.
Caractères généraux des solutions des équations générales réduites. — Differentions les trois équations générales réduites respectivement par rapport k x^ y oX, z et ajoutons-les, il viendra
cquation qui revient à
(i6) (X-f-2jx)A0 = 0 ou A0 = o.
Telle est la condition à laquelle doit nécessairement satisfaire la dilatation cubique.
Reprenons les trois équations générales et appliquons à la première les diflerentiations marquées par le symbole
nous obtiendrons
(X -h [jl) -r- AÔ -f- (X A Aw =3 o
THÉORIE GÉNÉRALE UE l'ÉI^STICITÉ. 5iS
OU
(17) A Am =3 o.
On obtiendrait des conditions semblables pour i^ et n».
Enfin, si Ton observe que les composantes N et T des, tensions sont des fonctions linéaires à coefficients constants des dérivées partielles de m, v^ ix\ il s'ensuit encore que ces composantes ÎN et T vérifi^ent également Téquation
Tel est donc le caractère général des fonctions qui expriment, soit les composantes du déplacement moléculaire, soit les composantes des tensions dans un corps solide isotrope, lorsqu'il est en équilibre d'élasticité, en négligeant les forces appliquées à sa masse. Ces conditions sont appelées conditions de Lamé,
Ibest à remarquer que
IN,4-Ni-f-N3=(3X-f-2îJi)0
et que, par suite, cetle somme satisfait comme 6 à la condition plus simple
On peut généraliser ces résultais et les appliquçr même aux équations complètes toutes les fois que l'on a
dx dy dz
et que Fq se trouve être elle-même une fonction satisfaisant à la condition AFo = o. On a en effet, dans le cas des équations complètes, en reprenant les mêmes calculs que plus haut,
(X-r-î>.jJL)AO -4-AFo=0, (A H- |ji) — AO -f- ixWn -+- AXo= o.
11 suffit donc que AFo=o pour que les mêmes résultats subsistent. On arrive à la même conclusion en remarquant qu'il suffit d'obtenir ces résultats pour une sohition particulière Uq l'o <ï'o 60 des équations complètes. C'est le cas ordinaire, et notamment celui où Xfl, Vo, i^o *^<>nt des constantes,
PiGEALD 3:i
5l4 CHAPITRE \IX.
Indidations sur les solutions des équations générales réduites. — Les équations générales réduites sont toujours les mêmes, quel que soit le problème particulier que Ton envisage. Si leur solution générale était connue et susceptible d'être introduite dans des calculs, il suffirait en principe de disposer des fonctions arbitraires quelle coutient pour que les équations à la surface soient satisfaites, loi'squ'on lui ajoute la 3olution particulière obtenue pour les équations générales complètes. Mais celte solution échappe à Tanalyse par sa trop grandç généralité. Aussi en est-on réduit à com- ^ poser daus chaque cas, en s' inspirant des circonstances, des solutions particulières, et à les combiner par voie d'addition de manière à composer des solutions de plus en plus générales permettant de satisfaire aux conditions à la surface soit exactement, soit d'une manière approchée.
La recherche de ces solutions particulières esl intimement liée, d*après ce que nous avons vu, à la résolution des équations des types (i6) et (17) :
A9 = O ou A ÀG = O.
On connaît des classes très étendues de fcmctioiis satisfaisant a ces équations.
Lamé a remarqué (|ue la première était satisfaite par toute fonction potentielle de la forme
dans laquelle /(apy) est une fonction quelconque, représentant la densité d'ui^e mass-^ attirante placée au point a^v ei où
R:=;y/\a: — «)^-h(^— ^>^-f-(.'S---T)"- Si to«ws les points «. ^, y sont contenus dans un domaine extérieur au solide consrdéré, on a
en tout point de celui-ci
aF = o.
Si le domaine des points a, p, y comprenait le solide, on aurait
Cela posé. Lamé a montré que la seconde équation AAo=o était vérifiée par l'intégrale triple
o=^\JfJf{^^)'Rdxd<^d'i.
THÉORIE GÉNÉRALE DE l'ëLASTICITË. 5i5
On trouve en eflfet, en recommençant un calcul déjà fait plus ^ haut,
et, par suite,
A Ao = aF = o. .
^ Les fonctions telles yue « ont été, d'après Lamé, appelées potentiels directs, ou potentiels de seconde espèce^ par opposition aux \ fonctions F, qui sont des potentiels ordinaires.
Pour trouver une solution pafrliculière, on peut donc choisir 0 parmi les potentiels ordinaires de masses attirantes extérieures, et w, t', il' parmi les potentiels de seconde espèce. Mais il est bien évident que ces quatre fonctions ne sont pas indépendantes, puisque d'une part elles doivent satisfaire aux trois équations générales, et que d'autre part on doit avoir la relation
__ ^w dv dw
~~ dx dy dz
On ne peut même pas choisir 9 d'une manière tout à fait arbitraire parmi les potentiels ordinaires. En elVet, 6 étant choisi, on pourrait bien, au moins en théorie, trouver trois fonctions a, v^ w 'satisfaisant respectivement aux trois équations générales. La première de celles-ci donne, en effet.
Ail = L- ,
et ce serait le potentiel d'une distribution fixe de masses attirantes, ayant en cliaque point pour densité , ^ V-' Mais la
^ , • » !\T.\x dx
relation
^ du dv div
ne s'ensuivrait pas nécessaire nient.
'On en est donc réduit à composer [)ar tâtonnement certaines solutions simples, qu'on utilise au mieux des eirconstan<*es, après avoir reconnu leurs caractères particuliers. Bn voici quelques exemples :
5l6 CHAPITRE XIX.
i'* Supposons qu'on essaye une solution de la forme.
, do , d'j> , do
ax dy dz
' k élant une constante. On en déduira
. du dç* dw , ^
dx / dy dz D'autre part, on a
La première équation générale exi<;;e alors que l'on ait
// ri
^ ' ' dx ^ iix '
, Les deux autres équations fournlraienl de même les conditions
-p- Ao = O, -;- A:» = o,
dy ' dz '
de sorte qu'une solution de cette forme exij^e que Ao snit une constante. Il en est alors de même de 6. Ces conditions peuvent convenir dans certains cas, comme nous le verFons, et il en résulte des simplifications notables.
2" Lamé a montré que toute fonction de la forme
ç) = Ae'*^=-'^^ ços)d(x' — a) cos^(y — b)
satisfait à la condition Ac5= o et que toute fonction de la forme
o = [\ -+- B(5 — c)] e'"-^-<^^ cos/)(j7 — «) cos^(jK — b)
satisfait à la condition AAo=: o, a^ /y, r, />, q^ i\ A, B étant des constantes, pourvu que l'on ait la relation
11 est bien évident qu'il en est de même pour une s^mme de semblables fonctions, et qu'il en serait encore de même si l'un des cosinus (ou tous les deux ) était remplacé par un sinus, et enfin <[u'il en serait de même si Ton permutait z en x par exemple, en permutant en même temps /• et p.
Pour simplifier, on peut supposer que Torij^ine des coordonnées
