THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLASTICITÉ

soit portée au point {abc). On a alors, pour la première fonction,

9 = A e''^ cospx cosqy.

Un calcul (les plus faciles montre que Ton a alors f

On aura donc bien Ao = o si r = ± ^p'^-{-<J -

En ce qui concerne la deuxième fonction, il est évident que son terme facteur de A reproduit simplement la première et qu'il suffît de s'oc^cuper du terme en B, qui s'écrit

?'=B(;:cp).

Or on a

d(zfp) do

dz ' dz

d^(zo) do d^o

dz^ dz dz^

On trouvera donc

do

dz ' ^ ^

Par suite,

A A?p'= 2r Aç = o,

toujours sous la même condition r- =^ p- -\- q- .

Voyons maintenant comment on peut constituer une solution^ simple en partant d'une valeur telle que

a =i k e''^ co^pxcosqy.

Pour que la première équation* générale soit satisfaite, on doitf avoir

Af/ = -T- = kp e^^ s\iïpx c(^%q y.

dx a

Par suite, ou peut prendre pour u une expression telle que u = — i-î^ A — C^sinpxcosflrK-H L^''-sin/ja7Cos^7,

L étant une constante arbitraire, car le second terme satisfait'

À l'équation

Acp = o.

5l8 CHAPITRE WTk. — THÉORIB GBNiRALE DB L*àLASTIClTÉ.

On trouverait de même

X — fx rz

V = k — «''- coiDXhing v H- M a" cos p x s'i'n g y ,

Il ^r r ^ ^

iV = —

— ^A — tf*"- co«/?jrcos^^-i- N«''-cos/?ar cosy^,

M et N étant deux nouvelles eonslantçs arbitraires. 11 faut maintenant satisfaire à la relation

Or, on a

- du dv dw

dx dy dx

du rX-+-u,p*^ t1-

a- =[ —^X^-r-Lp^er-co^pxcosqy,

^ A — ~ — -H N r I e'- cospx cosgy.

dw 'dû

En faisant la somme, les termes contenant/?* q^ r^ se déti'uisent puisque r^=z p^-^q^^ de sorte que la condition d'idenlificaticm se réduit à

L /> H- M ûT -+- 1\ r — = A

cre qui détermine ^\ en fonction de L/> -h M^y -}- ^ /*. En remplaçant A par sa valeur dans les expressions de w, <% w et 8, on aurait une solution simple sous une forme entièrement explicite. Cette solution renferme cinq constantes arbitraires, savoir : p elq d'une part, et h. M, N d'autre part.

On peut en construire une infinité de semblables et les combiner par voie d'addition, en vue de satisfaire exactement ou approximativement aux conditions à la surface.