ÉLASTICITÉ PLANE OU A DEUX DIMENSIONS

Premier problème. Prisme indéfini. — Supposons que le corps élastique; considéré soit un prisme ou un cylindre indéfini don,t les génératrices soient parallèles à Oz (axes disposés comme cidessous) et supposons que toutes le^ forces extérieures, aussi bien celles qui sont appliquées aux éléments de volume que celles qui

sont appliquées aux éléments de surface latérale, soient contenues dans des plans perpendiculaires à O^, €t soient constantes tout le long de parallèles à O5, c'est-à-dire soient indépendantes de la coordonnée «. On aura en particulier Z^ as o pour tout élément de volume, et Z = o pour tout élément de surface latérale.

Par raison de symétrie, les composantes des déplacements et les composantes des tensions seront indépendantes de z^ et Ton aura même w = o.

Dans ces conditions, il n'y a plus que deux fonctions inconnues, u et i^j fonctions de x et de y seulement, et la coordonnée 5 n'intervient pas dans leur détermination.

En effet, considérons d'abord les équations générales d'équi-

//ft libre (A). La troisième d'entre elles se réduit à ^^ = o. Elle exprime

que 9 ne dépend pas de 2^ ce qui est, du reste, bien évident.

L'expression de B se réduit, du reste, à 6 ?=

du dx

-T- • Les deux

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autres équations (A) sont indépendantes de z et les symboles A y

fit ({t ont simplement la signification A = 'd~i'^'J~l'

Quant aux équations sur la* surface latérale, elles se réduisent aussi à deux, savoir

Y = T3a-i-NîP.

En effet, on a Z =: o et y == o. De plus, on a nécessairement partout Tï = T2= o, en vertu des expressions générales (k*)). Les tensions N,, N^, T3 sont d'ailleurs évidemment exprimables, en vertu de ces mêmes équations, au moyen des seules dérivées partielles de // et p en fonction dé :i: et ^.

En ce qui concerne les composantes des tensions, il n'y en a plus, en réalité, que trois qui soient utiles à c(msidérer, savoir : N,, Na, T3. Nous venons de voir que T| =T2 = o. La sixième tension N3 n'est pas nulle, mais elle est dépendante des trois premières. En effet, toujours en vertu des équations (i5), on a

D'autre part, en vertu de la relation générale

N,-+-N,-4-N3=:(3X-H2,u)0, on déduit

N, sera donc connu aussitôt que ]\, et INj le seront, et Ton peut même observer que l'inégalité ■> ' >► i entraîne la suivante :

La valeur absolue de jN^ est inférieure à l'une au moins des valeurs absolues de Ni et N^- O" peut donc cp faire abstraction, au moins provisoirement.

Dans ces conditions, on peut généralement se passer de la considération des déplacements u et c, quand ils ne servent que d'intermédiaires pour la détermination des tensions. On peut, en effet, déterminer directement N|, IS^, T3.

Ces trois tensions satisfont d'abord aux deux équations générales d'équilibre conservées sous leur forme initiale (2) du

KLASTICITÉ PI^\M% OU A DEtX DIMENSIONS. 5^1