ÉLASTICITÉ PLANE OU A DBUX DIMENSIONS
<»qualion, on pourra en déduire les valeurs correspondantes de Nïv — N2 d^une part, et de T» d'autre part, en opérant jle la manière suivante.
Eliminons T, entre les deux équations d'équilibre, différentiées respectivement par rapport k x et y. Nous obtenons la relation
dx* dy En utilisant les deux identités
.2Ni = (N,+ N0-f-(Ni-Nî), • 2N2=(N,-4-N,) — (Nr— N,),
cette relation devient
et son second membi'e est entièrement connu.
En ce qui concerne T3, on peut utiliser les relations déjà trouvées, savoir :
dx dy ~" dj'^ dx* "" \ dx^ dy^ j
ou encore la relation suivante qu'on oi>tie^nt, en diflerentiani la première équation d'équilibre par rapport à r? la i^econde par rapport à JT, et en les ajoutant :
Le second membre est encore une fonction connue. Plus simplement, on pourra former des solutions particulières des deux équation^ réduites d ^équilibré en posant
dy"*- ' dx^ * dxdy
H désignant une fonction arbitraire quelconque. Si Ton veut que la condition A (!\, +1X2) = o soit en outre remplie, il faut que H satisfasse à la condition A A H = o.
On voit donc que les solutions sont toiijours intimement liées à la solution générale des équations différentielles de la forme
Acp = o et A À^ = o,
la dernière équivalanl à ces deux autres :
Aç = F avec ^F = o.
Des solutions simples de la première équation seront fournies par toute expression de la forme Ae^y sinpx^ avec la condition g- = p^^ le sinus pouvant d'ailleurs être remplacé par un cosinus, et Torigine des coordonnées étant arbitraire.
Des solutions de la seconde équation seront, dans les mêmes conditions, fournies par toute expression de la forme
Remarque sur certains problèmes relatifs à des prismes limités* — Supposons qu'au lieu d'avoir un prisme indéfini dans le sens Oz on ait un prisme limité, toutes les conditions imposées aux forces extérieures appliquées aux éléments de volume ou à la surface latérale demeurant les mêmes. Il pourra. arriver que la solution correspondant au prisme indéfini demeure applicable.
11 on sera ainsi toutes les fois que Ton pourra maintenir en place les bases du prisme limité en faisant intervenir, sur ces bases, des réactions convenables. Sur la base tournée vers Oz, ces réactions seraient précisément égales et opposées aux valeurs de N3.
11 sera même permis d'ajouter à IV5 une constante indéterminée. Nous verrons plus loin que, lorsqu'on exerce sur les bases d'un prisme une traction, ou une compression, uniforme, les tensions jN,,N2,T3 sont nulles. Il suffit alors d'appliquer le principe de superposition. On peut reconnaître d'ailleurs que la théorie précédente n'implique pas nécessairement l'existence de la relation (i).
//fi Il suffit, d'une part, que l'on ait -t- = o, et, d'autre part, une
relation linéaire entre N3 et 6, ou, ce qui revient au mênVe, entre
N3 et N| +N2. Pour qu'il en soit ainsi, il n'est pas nécessaire de
supposer iv nul, ou constant, mais seulement linéaire en z. En
eflet, si l'on a
w = kz -h k\
on a
\3=Xe-H-'i|i^ =X0-f.2iJiA'= :rrr^ (N, 4- N,-4- N3) -+- 2 jiXr,
' a A ' i A -h 2 }JL
ÉLASTICITÉ I»LANE OU A DEUK DIMENSIONS. 5i'5
et, d'autre part, Atv = o, de soiie que la troisième équation géiiéraie d'équilibre (A) se réduit à — = o.
Dans ees conditions, on a toujours A N:, = o, et par suite
A(N,-f-ÎN2) = o.
11 faut observer que Ton n'aura plus ici d'une manière générale
car on a simplement
N, + N. = îl^-±^ N,- 1^:11^ s^H'A-.
Toutefois, cela aura lieu encore au moins pour les valeurs négatives»»de k.
Second problème d'élasticité plane. Tranches minces. — Un problème un peu différent se présente lorsque, au lieu d'étudier un prisme de longueur indéfinie, on envisage au contraire une tranche mince isolée découpée dans ce prisme par deux plans normaux à l'axe Os, et qu'il n'y a, d'autre part, aucune force appliquée aux deux bases.
Dans ces conditions, on est conduit à admettre que les déplacéments uv ek <v sont peu variables avec z le long d'une perpendiculaire aux deux bases. Pour préciser, supposons que Ton ait pris pour plan xOy le plan moyen de la tranche mince, on aura pour ces fonctions des développements'de la forme
u = u{xy<^)-\- - a {xyO)'\ ;- u" {xy 0) -{- , . .,
i> = p(a7/0)-t- - v' {xy O) -\- ^ v" {xy 0) -^ . , , ,
w = w(xyO) -+- - w'(xyO) H ;- w'^xyO) -+-,,..
Si l'on regarde z comme infiniment petit, et si Ton s'en lient aux deux premiers termes de ces développements, on reconnaîtra que u et r doivent se réduire à leurs premiers termes, car, par raison de svmétrie, u et r' sont nuls. On les traitera donc comme de simples fonctions de x et de y. IJ n'en est pas de même pour (v,
'Îa6 cHÀPiTigs XX.
qui doil èive une fonction impaire en z. On aura
w(xyO') = vff''(xyO) = o et w'{xyO) ^o. On en déduit
indépendant de Zy au même degré d'approximation. On retrouvera donc la condition -7- == o. On a d'ailleurs sur les deux bases identiquement
N3= XO + .^-^ = X (^^ + ^j + (X+.|.)^ = o.
et, toujours au même degré d'approximation, cette relation sera valable sur toute l'épaisseur, puisqu'elle est indépendante de z. Il
en résulte
.. .dw . /du dy\
et
f. ^ du dç dw ^ 2 «X /du di>\ ~~ dx dy dz ~~ X -4- -2 fji \dx dy )
Dans ces conditions, la troisième équation générale d'équili-bre (A), laquelle se réduit à Amp == o, ne sert plus effectivement cpi'à la déteniiination de «^ Elle se trouve d'ailleurs remplacée par
l'équation plus simple déterminant — en fonction ^^ ;7~'+"3~' ^^ en fonction de 6. ,
Il ne reste donc, comme précédemmenl, qu'à considérer les deux premières équations générales (A), pour déterminer les deux fonctions inconnues u et i', fonctions Ae x et y seuls. On leur adjoindra les deux premières équations à la surface, qui conservent encore la même forme réduite. La troisième équation à la surface, laquelle se réduit à
n'^^st plus, à vrai dire, une identité; mais, au degré d'approximation admis, on a T| ==T2 = o, car ces tensions sont nulles sur le« deux basfs, et d'ailleurs elles le sont aussi sur les plans médians. En tout cas, cette équation ne fait aucunement intervenir « et «,
