ÉLASTICITÉ PLANE OU A OKVX DIMENSIONS

rn^ia seulement «r, eu \erlu des équations (i;>) du Ciwpilre pivcédent.

Toutefois, il faut bien remarquer que la fonction 6 qui ligure d-ans les équations conservées n'est pas, comme dans le premier

cas, égale à ;T-~f~^' mais égale à cetle même expression multipliée par le coefficient .-

La solution analytique demeure la même en apparence, à ce détail prés. , -

On peut encore se passer généralement de la considération de u et t', et déterminer directement Ni, No, T3, qui sont encore, en \erlu des équations (i5), de simples fonctions de j? et de r.

On a encore pour cela exactement les mêmes équations, savoir : les deux équations générales (2), conservées dans leur forme initiale, et Téquation (3)

qui résulte ici directement de riijpothèse 1X3 = o.

Les coefficients d'élasticité X et jjl n'ont donc pas à intervenir dans la détermination des tensions 1\,, Ng, T3. Us n'interviendront que si Ton veut, après coup, établir des rapprochements entre les composantes des tensions et celles des déplacements. Il faudra alors tenir compte de l'expression de 6, et l'on aura, par exemple,

-, .^ ^/a r aaX 1 du tiuX dv

* or L A -h 2 (jt \ dx k->r*À[L dy

au lieu d'avoir simplement

Tout se passe comme si le coeflîcient d'élasticité X était changé et avait pour valeur eflVctive

Ce problème des tranches minces offre un premier exemple de solutions approximatives. îVous en rencontrerons plusieurs autres dtins des questions d'un très haut intérêt.

Étude détaillée des tensions dans un milieu ft deux dimensions»

— Si Ton suppose connues les irois fonctions N", , INo. T3, qui délinisseut en chaque point les coniposanlcs utiles des icnsions, on peut assez facilement poursuivre Tétude complète dos conditions dans lesquelles se trouve placée la nialière au point de vue des efforts.

Fi g. 180.

Nous rappelons, une fois pour toutes, que Ton fail abstraction de N3, soit parce qu'il est nul comme dans le second problème, soit parce que sa valeur absolue esl inférieure à celle de N| ou de IN 2, dans le premier problème.

S(»it un élément plan MS, dont la direction est définie par Fangle a que fait avec Ox sa normale associre Mî\. Par cette expression, il faut entendre ici : 1 " que sur MM la direction positive est celle qui" va de M vers IN, et 2" que, en conséquence, la direction positive sur Télément MS lui-même sera celle qui va de M

vers S et qui fait avec Ox Tangle — -|- a, ou encore qui fail avec Oy

l'angle a.

Dans ces conditions, si l'on iippelle X et \ les composantes de TeATort F qui s'exerce sur la face rie MS (jui rej^arde vers M, on a les formules générales

X=N|Ci»sa t-Tssina, Y = Tj cos 7. -r- N* sin z.

Si l'on désigne par \ et T les projections de F resj)ectivement sur les directions positives .MN (cosinus directeurs cos a et sin oc) et MS { cosinus directeurs — sin ol el cos a ), on a aussi les fciruiulcb

Ér^STIClTÉ PllANB OIT A DBU\ DIMKNSIONS. 5^9

absolument générales

N = Ni cos*a-h N^ sin*a-H xT^ sinacosa,

T = (~ Nt-h N2)sinacosa 4- Tj(cos*a — sin*a).

En introduisant l'angle 2 a, on peut encore écrire ces dernières formules :

IN = = H ^cos'ia -h Ts sinaa,

^ Nj — N| .

Avant d'aller plus loin, il est utile de remarquer que ces formules demeureraient toutes les mêmes si, afin de considérer comme positives les compressions, on avait déterminé N|,>i2,T3 d'après les eqttations générales, en renversant les signes de XqYo, de manière à leur faire représenter les efforts s'exerçant respectivement sur les faces négatives des éléments parallèles aux axes Ox et Oy. Bien entendu, .dans ce cas, l'effort F serait lui-même supposé s'exerçant sur la face négative de MS, celle qui est à l'opposé de la normale MN.

Il est utile aussi de se rendre compte que, si Ton fait a = — dans

la formule qui donne T, on trouve pour l'élément plan MS, dans

le prolongement de x'M,

de sorte que, si T3 est positif, il sera porté dans la direction Ox^ comme cela doit être.

a. Directions des tensions principales, — Quand F est unetension principale, sa composante normale N est maxima ou minima ou, ce qui revient exactement au même, d'après les expressions de N et de T, sa composante tangentielle T doit être nulle. L'angle a qui lui correspond s'obtient donc en égalant à zéro l'une ou l'autre des expressions données pour T.

Si l'on prend la première, on trouve, en divisant par cos-a.

Tj tangî a -h ( N, — Ni ) tang X — T, = o, d'où l'on tire

langy. = —^ -^^. — — ?»

2 la

formule qui est souvent utile.

PlOEAl'D 34

53o . CHAPITRB X.X.

Elle fournit notamment réqualion différentielle des lignes dites isostatiques qui, par définition, ont en chaque point leur tangente dirigée suivant une des tensions principales. Il suffit, en effet, de remplacer dans la formule le coefficient angulaire tang a

de la tension principale par -~ •

Si Ton prend la seconde expression de T, qui est la plus simple, on obtient

tangua = rr-. ^p .