ÉLASTICITÉ PLANE OV A DEUX DIMENSIONS
On a d'ailleurs cos 2 p' = — cos a ^ et sin a ^' = — sin 2 ^ :
En substituant crabord p, on trouve
a = — i H icos2 6-4- T^sinaB.
En remplaçant T3 par sa valeur en fonction de p, on a la formule j^éTnérale
N,H-Ni Ni— N,, r. ' r ox
a = — H ^(cosap 4- smap langap)
N1-+-N, Ni-Nj i
cossft
D'autre part, on a, puisque 2 ^ est compris entre dz ->
^ — j- =-i- /i-h tang^sip ==i=
/(N,-N,)'^4Tî
cos-2;i "^ " '^ Ni— Ni
Il faut prendre le signe -|- ou le signe --, suivant que N^ - - INj est positif ou négatif. On obtient donc finalement, dans les mêmes ■conditions :
On obtiendra de même la valeur de b en inversant les signes de sin 2 ^ et cos a p dans l'expression initiale, de sorte que l'expression finale obtenue pour a convient encore pour t, à condition de prendre le signe + ou le signe —, suivant qye N| — Nj sera négatif ou positif.
Dans le cas particulier où l'on aurait JN| — 1^2 = ^? ^^^ expressions se simplifient et l'on a simplement pour les tensions principales, orientées comme on l'a vu à 4^" par rapport à Ox et Oy^ l'expression double a ou /> = >i| ±: T3, le' signe à prendre pour a
étant déterminé par celui de l'angle ol^^z
Il peut même arriver que l'on ait Nj = JN^ = o. Dans ce cas, les tensions principales, toujours orientées à 4^® sur les axes, ont pour valeur it: T.,. Elles sont égales en valeur absolue à T3.
Si l'on n'a aucune raison de distinguer les deux tensions priii-
cipales l'une de Tautre, on voit aisément qu'elles sont toutes les deux racines d^ine même équation du second degré, qui s'écrit, en désifçnant l'inconnue par F,
ou, en simplifiant,
F« (N,-i- N.) F -4- (N, N,- TJ ) = o.
On en déduit que
a -H 6 = Ni-h Nj,
autrement dit, que N, -f- Nj et NiîSo — ÏJ sont des invariants pour tout groupe de deux plans perpendiculaires tels que le sont Ox et O^.
On en déduit encore cet autre résultat utile :
(a — 6)« = (a -r- 6)>— \ab = (N,-h N,)*-h 4T5.
Ces différents résultats s'obtiennent du reste facilement en parlant des expn»ssions de a et de b. . «
Les tensions principales sont utiles à considérer en elles-mêmes, parce que c'est d'elles que dépend la plus grande fatigue de la matière soit à la traction, soit à la compression. La discussion qu'on en devra faire dépendra d'ailleurs de la nature du milieu considéré, et aussi de la convention faite sur les signes des tensions.
Supposons, par exemple, que Ton regarde comme positives les compressions et qu'il s'agisse d'un matériau, tel que la maçonnerie, qui soit considéré comme incapable de supporter des efforts de tension.
11 faudra d'abord que a et b soient positifs. Cela exige que ab et a+ fe le soient aussi. ,11 faut j)Our cela que
N,>o, N,>o et que
NiN*~T5>o.
Ensuite, si ]\|>>^2^bi valeur de la plus grande compression sera a. Dans le cas contraire, ce sei'ait /;.
D'un autre coté, les tensions principales peuvent servir avanta-
ÉLASTICITÉ PLÀKE OU A DBCX DIMENSIONS. 533
geusemenl d'intermécHaires, soit en pratique, ' soit en théorie, pour la plupart des calculs et raisonnements se rapportant à d'autres quantités.
Si Ton pi*end pour axes de coordonnées deux droites parallèles aux tensions principales, en faisant correspondre à Oa; celle qui est définie par Tangle aigu ^, et à Oy celle qui est définie par
l'angle p + r> et si Ton désigne par o) l'angle que fait la nor-
maie M\ avec la première direction principale, on aura
Cet angle w est également celui que forme, avec la seconde direction principale, l'élément plan MS.
Cela posé, les composantes normale et tangentielle N et T ont dans le nouveau système des expressions simplifiées, qui sont évidentes et qui dérivent des expressions générales en faisant :
Ni = a, N«=6, T,= o.
Ce sont :
N = 1 cosa'o,
rr b — a .
c. Directions des plus grands efforts tangentiels T et leur valeur. — Puisque Ton a
rr b — a .
T= sinato,
le maximum de T en valeur absolue correspondra à la condition sin 2 (I) = ±: I , d'où
Les plus grands efforts tangentiels correspondent donc aux deux plans bissecteurs des deux directions principales. Les normales à ces plans font avec Ox des angles
et ces plans font eux-mêmes des angles égaux à y avec l'axe Oy.
531 / CHAPITRB XX.
La valeur maxima de T a pour expression
^ max — -^ — ~ —
en fonction des tensions principales. Son expression en fonction de ^|, N3, Xj est par suite
Quand on aura besoin de connaître non seulement la valeur absolue, mais aussi la direction de T, il faudra, bien entendu, avoir
égard au. signe de sin (^7) d'après la situation du plan considéra
par rapport à la première direction principale.
Quand il s'agit de matériaux pouvant résister aussi bien à des efforts de traction qu'à des efforts de compression, on admet généralement que ï„„ définit la fatigue de la matière au cisaillement^ et que les plans pour lesquels il j a la plus forte tendance à la rupture sont précisément les plans bissecteurs des directions principales.
Si Ton trace, dans le milieu, des lignes telles que leur tangente en chaque point soit dirigée suivant le plan où Teffort tangentiel est maximum, ces lignes seront en quelque sorte tes lignes de rupture possibles par cisaillement simple. Lorsqu'on aura tracé les lignes isostatiques dont la définition a été donnée plus haut et dont les tangentes sont en chaque point confondues avec les directions principales, on aura les lignes de rupture dont il s'agit en traçant tout simplement des courbes les coupant soiis des angles de 45\
d. Directions les plus exposées aux glissements ; valeurs des cisaillements effectifs dans les milieux incapables de supporter des efforts de traction. — Quand un milieu est supposé incapable de supporter des eflbrts de traction, on est amené à faire intervenir, dans les conditions d'équilibre des éléments pressés les uns contre les autres, le frottement mutuel qui s'exerce sur leurs surfaces de contact. Si Ton désigne par cp l'angle de frottement, caractéristique de la matière, on admet que l'équilibre est réalisé non pas quand la valeur maxima de T est inférieure à une certaine limite C, définissant la cohésion de la matière, mais aussitôt que
ÉLASTICITÉ PLANR OU A DBUX DIMENSIONS. 53'^
la condition
IT|-|Mang?|<G
est satisfaite pour un élément plan d'orientation quelconque. C'est la condition dite de Coulomb, que M. Résal a prise comme base de sa théorie des terres cohérentes. , »
Dans d'autres cas, on suppose que la limite C est nulle, c'est-àdire qu'il n'y a aucune cohésion, et la condition "précédente se
réduit à
|T| — |N tangQ>| <o
ou
- <tangç.
Si Ton désigne par 6 Tangle que fait Teffort F avec la normale MN à Télé ment plan sur lequel il s'exerce, on a d'une manière
générale
^ = tango
et la condition qui précède peut encore s'écrire
pour un élément d'orientation quelconque.
Nous allons examiner ces deux cas, le second n'étant évidemment qu'un cas particulier du premier.
I** Massifs cohérents, — Il convient d'étudier la valeur maxima que peut atteindre au point considéré l'expression
|t|-|N'|tangç.
Supposons, pour fixer les idées, que Ton regarde les compressions comme positives et que l'on ait ]N^ > ^2, et par suite a >> è.
Supposons aussi que l'angle w, dont la valeur peut varier
de — f' à H- -> soit d'abord pris positif. On aura dans ce c^s
iTi a— b .
|>|| = 1 cosao)
(les angles égaux à
Elles dépendenl du rapport ^, en chaO|ue point.
En ce qui concerne Texpression du maximum de tangO, on
irouve facilement
Par suite,
max
. .jj y/ab
sinatot = ^i — cos' 2(oi = — - — 7,
a -Jt- o -\- (a — o) cos2toi = r»
tantrO = — — = 4 / — — — -
On a un résultat un peu plus simple en envisageant le maximum de sin9 en valeur absolue. On a en effet
max sin 8 =d= --z==r =rt- =±: ^^ — ^ — ->'
v/i4-tang«ë a -+-6 Ni-hNj
La condition de stabilité, qui est ici
maxO < çp,
|)cut donc s'exprimer par l'inégalité
r <C sino
(a4-6;sin© — (a — 6)>o.
Il est bien évident que si Ton avait fait Thypothèse é !> a, il faudrait changer le signe du second terme et qu'on aurait une condition générale s'ap[)liquant à tous les cas en écrivant Tinégalité sous la forme suivante :
(«H- fr)« sin*o — (« — 6)«> o.
Si on la transforme pour y introduire N4,]\.,,T3, elle devient
(N,-+-N»)»sin*(p-irN,--N,)»-+-4Tî]>o.
(]rs\ la condition de Rankine.
Il ne faut pas oublier qu'elle équivaut, en réalité, à la double
