III. — Équilibre d'une couche cylindrique

Soit un solide limité par deux cylindres de révolution concentriques à O^, et par deux plans perpendiculaires aux arêtes. Ce-

Fig. i86.

solide est supposé soumis sur chacune des surfaces cylindriques,, de rayon /q et /'i, respectivement à des pressions normales et uni-

?V5o CHAPITRE X\f.

formes, qui seront P© el P<, et en outre sur chacune de sci» Ikisos, à une traction uniforme, de valeur F, parallèle à Os.

Nous supposerons qjie la base inférfeure, située dans le pian x Oy, demeure immobile. Par raison de symétrie, le déplacement d^un point M {^xyz ) s'effectue dans le plan méridien qui le contient, et il est naturel d'essayer une solution de la forme

Cj étant une constante et s étant une fonction ne dépendant que de la drstance r =r ^/ar^ ^y' (\^1 point M à l'axe de révolu ticm^ ?tous allons vérifier que e e»t d« la forme

a et t étant des constantes.

En ce qui concerne les équations indéfinies d'équilibre, nous comnvencerôns par observer que les expressions assij^nées à M, i\ w en font les dérivées partielles d'une même fonction o.

En effet, en tenant compte de ce que -t- = — et -i- = - > ou bien ' ^ ^ dx r dy r

de ce que /• dr = x dx -^ y dy^ on a

u dx H- p r/^ -+- w dz = zr dr -i- cz ds,

/cz* tr dr -\ — —'

Dans ces conditions, nous avons vu au Chapitre \IX qu'il suffit, pour satisfaire aux équations indéfinies, que la dilatation cubique d soit constante. Or, il en est bien ainsi. On a, en effet.

du ds. dr dx ~ dr dx

dv •>. b y* dy r*

dw dz ~

En additionnant, on trouve

U reste dowc àr MMsirrr ^e Tob petit détenaineries tm9 con»>

DIVERS FRaBLBMBS SIMPLES. ' 55l

Umie» â, 6, Cy de mattière à satiefaïjpe aux éqoftltioiis à Iw suiface* Calculons d'abord les composantes des tensions. NoiiS'ftJvemAd^une manière géitéraj^' :

N,= X(2^-4-c)-+.9.,uc, T3=îl(^^-t- ^^

/du dwV xy d%

Si Ton suppose, en particulier, que le point ^Vi^xyz) est dans le méridien «OiP, on. peut faire j: = r et je = o* Daa& ces conditions T., devient nul, comme T| et T2, et Ton a pour les composan^tes normales, qui sont les ten^îona principales :.

iSous avons i«i tpoîs ^wrfaces à c«Misidérc» :

i" Le cylindre iatérieur, sur lequel s'«xeree la pression P©. Les équations s'y réduisent à N, =— Pq, car X^+P^Y :=Z=:o efa=r — Y ^=:y=:o, Ic^ T étaitl d'ailfettrs iî«fe.

Cet*e- conciftien s'^écpit

(i) 2(/y-H }A)a.H- Xc— -3 ^. = --1*0.

2** De même sur le cylindre extérieur, les équations se réduisent à

ce qui donne

(2) 2(X-+-fJi)a-+-Xc- 2|5 = Pi.

.5" Enfin, sur la base supérieure, où Ton a a = ,3 = o y = i , on

(î) 2Xa-»-(X-h2fJi)c = F".

55vt CHAPITRE XX f.

résolvent la question, toutes les» conditions du problème se trouvant remplies.

Les deux premières équations donnent par soustraction

d'où

. PQ-Pi rlr\

Il en résulte

En combinant cette dernière équation avec Téquation (3), on trouve

- a^ X-h2^ rPor;-~P,rn X p

a[ji(3X -i- 2ijl) 2|Ji(3X -f- 2|Ji) L ''î — ''o J

La dernière partie de .ce calcul est inutile en ce qui concerne les tensions. On a en effet N;, = F = const. partout». Quant à N< et Nj, leur valeur ne dépend que de celle des deux quantités

'2(a -t- jx)a -h Ac et "i '

dont les expressions sont données plus haut. Il est à remarquer que ces quantités sont indépendantes en fait des coefficients d'élasticité, et Ton pouvait s'y attendre, car le problème' traité est au fond un problème d'élasticité à deux dimensions (i^"" problème), puisque l'on a posé à l'origine la condition w = cz^ c étant une constante.

On trouve explicitement

Ni =

En groupant les termes en Pq et en P|, et en tenant compte de ce que l'on a Tq <C '* < ^ij on voit facilement que N| est toujours négatif et représente toujours, par suite, une compression. Il n'en est pas de même pour N2 qui peut être tantôt une tension, tantôt

Po/-?-Pi'î Po-P.

rf — rj ■ r« Por;-P,r? P,-P,

rt ri

rî-rî r>

■ rî r«

DIVKRS PROBLÈMES SIMPLES. 553

une compression, suivant les valeurs relatives de P© et de P|. Lorsque Nj est une tension, c^est elle surtout qu'il faut prendre en considération, car elle tend à produire une rupture ou une lissuration dans le plan méridien. Si l'on a Po}> P|, le maximum de No a toujours' lieu lorsque /• est le plus petit possible, c'est-àdire atteint la valeur /'q. Ce maximum est

^ Po/•;-»^/♦? ^ (Ho-Pi)rt ' I — ' 0 '^i ' 0

Application aux corps cylindriques des chaudières à vapeur, ou aux conduites dl'eau sous pression. — Dans ce cas on suppose. P| = o, en négligeant la pression atmosphérique. Si Ton désigne par P la pression intérieure, et par r le rayon intérieur, et si Ton suppose; que l'épaisseur e du métal est relativement petite, on pourra poser Ti = /• 4- ^ et prendre approximativement r\ = H-f- 2r«r.

Dans ces conditions, l'expression du maximum de Nj devient

„ Prî-f-P(/«-f-2re)

ÎNj= '■

ire

-^iH)

et l'on pourra, la plupart du temps, négliger le terme - devant

l'unité.

Il est intéressant de calculer raugmentation du ravon intérieur de la chaudière, indépendamment bien entendu de la dilatation causée par la chaleur. On a

u = er ^= ar -\ •

Pour calculer le terme en a, il- faut tenir compte de la valeur de F. Si les fonds de la chaudière sont des demi-sphères, ou des demi-ellipsoïdes de révolution, on a pour la pression totale sur ces fonds -îtr^P, et cette pression se répartira sur la surface 2:: r^.

D'oùF=:~.

On en déduit . ,

Xh-2{jl Pt» X P/« I Pr«

"~ 2 ;ji( 3 X -h 2 ti ) a re 2 ji ( 3 X -h 2 |Ji ) -le ~~ 3 X H- 2 ;i. -2 6

Si l'on substitue aux coefficients de Lamé le coefficient d'élas-

Ô54 GMAFITRB. \Xl^

licite et le coefficienl dte l^oiseon, cette exp^essiou devien

E ne D'autre part, on a

^ JP^ r» I P/« iH-Tj P/»

♦ Finalement, on trouve

P /•* r I — 2 Tj ï -+- ^4 1 '^' — 7) P r'

AppliQatioa au ûie^ge des canons. — Nous mentionnerons ^eul/f'ment cette ap])IicatLon.

A^flicaition aux cyiîndlcea comprkaéa en béton fretté. On appelle biUon,f relié un matériau conupotié de béton et de harres de fer ou d'acier, disposées non pas parallèlement à Taxe de la pièce pour se substituer à des fibres At béton, mais sous forme de spires contenant une série d'anlieaux près d\i contour des sections droites. En. éprouvant jusqu'à la rupture des poteaux ainsi constitués, on a reconnu qu'ils pouvaient supporter des charges beaucoup supérieures à celles que supporterait un poteau de béton non fretté. On peut chercher dans la théorie qui précède une explication sommaire de ce fait.

Supposons un poteau cylindrique non fretté supportant sur ses bases une compression uniforme Ff o*» une traction - - F. Il serait sur toute sa longueur soumis aux tensions principales suivantes :

La eoiHraciMR SH4va»l l^axe sepail

La dilatation suivant un rayon serait

Suppoâooâ maiftteiuKBl k oiétte polimuf nuQÀ d^ Ctf«tl«i$> sous