IV. — Équilibre u'uxk couche simikhique

On considère ici une couche homogène comprise entre deux sphères concentriques de rayon r^ et /'i (ri>/*o). La surface intérieure est soumise à une pression P© et la surface extérieure à une pression P|.

En supposant le centre immobile, le déplacement d'un point doit s'effectuer suivant le rayon et l'on pourra poser

u = 6jr, vz=sz, w = zz

t étant une fonction de la distance r = y/j;'-* -f- j^^ -|- ^''* du point M

(xyz) au centre. ,

En suivant la même marche que pour la couche cylindrique, on vérifiera que £ est de la forme

a el b étant des constantes.

En ce qui concerne les équations indéfinies d'équilibre, on observera que m, ^', w sont les dérivées partielles de la fonction © =1 fzrdr dont la différentielle totale est

i r dr r= t(.v dx -h y dy -\- zdz).

Il suffit donc encore de vérifier que la dilatation cubique d est une constante.. Or, on a

du dt dr dx dr (IX

'^bx'^ r»

du 3 6 V»

dy ' . / «

div '\bz^ dz " ' /•«

558 CUA^lTJCE xxi.

•En additionnaai, oalroiive

En ce qui concerne les équations à la surface, il suïïît de les écrire pour un point, celui qui correspond à Taxe Oa:, par exemple. Alors, par raison de symétrie, on a

D'autre part, ou a, d^ine manière générale,

du f \bw^\

Ma»S4»k-f-.2{JL[ £ j— j-

Pour le point x = /', y ::= z = o, on obtient

N, = ZXa + a fx.|^a -h ^3 - ^ j = (3X -f- ^i±)a - 77 ^, N,= N3= 3Xa-h2jJi/^<n- — j =(3X-h2|Jt)a-H^'*.

Sur la sphère intérieure on doit avoir Wi = — P», et «ar bi sphère extérieure N, =rz - - 1^^, en tenant compte du sens de la normale extérieure. 11 en résulte, pour déterminer a et fr, les deux conditions

(3X-+-2:x)a-i^^=-P|. On en déduit facilemen-t

/.x^ (Pô-Pi)/;/'? r^l . m^^^z^ Po/'î-Pgr»

fï ^ /•'* ^ ' ' y» r

Et, par suite, les expressions des tensions pqur le point ar = r, y^ :=! z = o deviennent

DIVERS PB0BLKMB6 SfHPLKS. * 9$9

Ces expressions 'HT dépmwlent pas<des coefficients d'<4astioité. Quant au (iéplaceraeat du même point, qui se réduit à sa seule

composante a = sr = ar -|- — » on Tohtiendra en portant dans cette

expression les valeurs de a et è, qui, elles, dépendent de A et de a. Si Ton suppose P| = o et V^ = P, et si Ton fait /• = /'o, on obtient les résultats suivants p6iir la surface sphérique intérieure :

Ni = -P,

Sii'on suppose relativement petite Tépaisseur e = f'i — /v», on pourra rwnphiGcrrJ |>ar rj -f- SerJ et Ton ol>tieiidra,>en supprtai€^at riudi'ce de /'e.

et Ton pourra la plupart du temps négliger le terme - de\Tinl

Tunité.

Si Fon compare cette formule à la formule analo<;ue trouvée pour les enveloppes cylindriques, on voit que la tension !N2 est ici deux fois plus faible et que, à égalité de fatigue, on pourrait, pour une chaudière compgsée d'un cylindre et de deux demi-sphères, prendre une épaisseur deux fois moindre pour les sphères que^ pour le cylindre.

Calculons Taugmentation du rayon intérieur, dans les mêmes conditions. On a

I P/' I — -aï) Pr

ût = -TT r, — = T\ -7. — >

i yv -h -2 jx i tf It. 3 c

, i Pr(r'-+-3gr«) m- r, Pr* / 3£\ \^t\ Pr^ "~ 4 :^ 3c ~~ i M Se \ /• / ~ "2 E Se

approximativement. ''

On en déduit

a = ar -\'

Comparons à la formule analogue trouvée pour une enveloppe cylindrique, et cherchons la condition pour qu'une enveloppe sphérique d'épaisseur e' se dilate comme une en\T4oppe cylindrique

56o ciiAPJTRE xxr.

du même rayon, el d'épaisseur e, nous trouverons

•2 — r, P r» 3 i — 7, P / « d'où

Si l'on suppose Tj = — » on trouve

On serait donc conduit, quand on a à construire un bouilleur formé d'un cylindre et de deux demi-splières, pt qu'on veut éviter des dilatations inégales suivant les lignes de raccordement, à prendre pour les sphères une épaisseur de métal inférieure à la moitié de l'épaisseur du cylindre. Datis ces conditions, si les sphères travaillent au taux de fatigue maximum admissible, le cylindre aura un taux de fatigue un peu moindre, en vertu des formules qui expriment IN^j.

En pratique, on suil d'autres régies, notamment pour des raisons d'économie; mais alors il se développe des réactions transversales suivant les lignes de raccordement, et les calculs simples des^ enveloppes spliériques ou cylindriques isolées ne sont plus rigoureux, pas plus qu'ils ne le sont dans le cas de calottes sphériques substituées aux demi-sphércs.

Énoncé et conditions générales. — On doit à Saint- Venant la solution d'un problème qui présente, au poin\ de vue des applications, une très grande importance. Il s'agit de déterminer Féquilibre élastique d'une pièce prismatique ou cylindrique très longue par rapport aux dimensions de sa section transversale et soumise uniquement à des forces appliquées sur ses deux bases. C'est en quelque sorte le problème inverse du problème des tranches minces envisagé au Chapitre XX.

L'axe du prisme étant supposé parallèle à 0>3, la solution de Saint- Venant consiste à admettre que les deux tensions normales dirigées suivant Oxet Oy sont nîiUes, c'est-à-dire que

et qu'il n'y a pas non plus de force tangentielle parallèle à Ox\\ dans les plans parallèles à O5, c'est-à-dire que T3= o.

Il résulte évidemment de ces hypothèses, pour les foncions Uy v^ (V et Ô, des conditions plus restrictives que celles qui correspondent au cas général.

Jlécrivons les équations qui lient les composantes des tensions aux composantes des déplacements, savoir :

(E) , . N,= .0^.(.-^, T.= fx(^-^^^),

PlOKAUD ^^

56a CHAPITRE XXII.

et les équations générales d'équilibre :

De la supposition N| = o et N2= o, on déduit d'abord

du X «

d» ^ ^A— ^", /(^ '2ix dw

Comme on a^ d'autre part, d'une manière générale,

on a dans le cas actuel

N,=73X-hafJi)è

et, par suite.

dw N3 — X6 X -f-jji dz *^ au "~ u

Or 6 satisfait en général à la condition A6 = o. 11 en résulte

immédiatement

du ^ . dv ^ dw dx ~" dy ~" diz

Si Ton tient compte de ces conditions dans les équations générales d'équilibre, respectivement différentiées par rapport k x^ y ^X z respectivement, on obtient immédiatement

dx^ " dy^ " \dz^ "" ^'

D'un autre côté, de la supposition T3 = o on déduit

du dv

dy dx'^ ''

si Ton différentie par rapport à j^ la première équation générale d'équilibre, et la seconde par rapport à x^ et qu\in les additionne

PROBLBHfi 0B SAINT-VENANT. 563

enàuîLe, on obtiendra

,. \ </»Ô , /du dv\

d^où la nouvellr condition

Ainsi la dilatation cubique 6 et les fonctions X3, -p-» -r->

^ . ^ ds dx

— y qui lui sont proportionnelles, ont une forme aiudjtique nctte-

ment précisée. Elles ne peuvent contenir x^ y^ z 'a une puissance supérieure à la première et, 'de plus, elles ne peuvent renfermer le produit xy. On aura donc en particulier pour N» «ne expression de la forme

N3 = {«-♦- aiar-+- atjr)-f-«(^-i- h^x ^ ^\y)*

Pour une valeur de 3, c'est-à-dire dans une secti<m transversale donnée, Ns est donc une fonction linéaire de x et de[^. C^est une justification de Thypothèse qui sert de base à la résistance des matériaux, et nous y reviendrons plus loin.

On ^eut môme reconnaître immédiatement que le coefficient b doit disparaître, si Torigine des coordonnées est supposée placée au centre de gravité de la section de base, ce qui revient à dire que l'axe Oz est le lieu des centres de gravité des différentes sections transversales. On a 'dans ce cas, en appelant d^ un élément de la section de base,

/•a7fl?j = <), j y dj ^= o.

D'un autre côté, puisque Ton a supposé qu^iln'j a aucune force appliquée tout le long de la surface latérale du prisme, l'intégrale

doit^ dans une section transversale quelconque, conserver la même valeur. Or on a évidemment

jH^d's «(a-f-^».) fd9.

Il en résulte nécessairement h = o, dans le système d'axes choisi.

564 CHAPITRE xxii.

Cela posé, on peut parvenir par intégration à la détermination analytique de «, p, «p, puisque Tori connaît en fonction de 6 et par

suite de N* les trois dérivées -t-i -r-> -r-* Mais dans cette déter-

dx dy az

mination on peut apporter encore quelques restrictions.

Envisageons en particulier la fonction ii. Nous avons vu que

Ton a, d'une part,

' du dv ^ • '

dx ~" dy et, d'autre part,

du dv

dy dx

Il en résulte immédiatement

dx^ dy^ ~" U en résulte ensuite

D'un autr^ côté, la première équation générale d'équilibre (A) donne

|JL dx '^ \t,{Z\^7,\L) dx ^ E dx Par suite, on peut écrire comme nouvelle condition

on obtiendrait deux conditions toutes semblables pour v.

Enfin, il est loisible, pour simplifier, de tenir compte des conditions que Ton peut s'imposer à l'origine des coordonnées. On peut supposer notamment que cette origine ne subit aucun déplacement, c'est-à-dire qvie l'on a pour j: = y = <2 = b

ii = b, «> = o, «»=o;

ou peut supposer aussi qu'il y a encastrement, c'est-à-dire que le petit élémeut dirigé suivant l'axe des z ne subit pas de déplacement transversal, c'esl-à-dire que l'on a à l'origine

du dv

on peut supposer aussi qu'il n'y a pas de rotation et que, par exemple, le petit élément dirigé suivant Oa; ne subit aucun déplacement parallèle à Oy, Il en résulte à l'origine

dv du

•-7— = o, et par suite aussi -r- = o.

< Détermination analytique de u. — Nous avons trouvé

du ^ X .

dx'^ ajjL *

on eh déduit en fonction de Ns

du

N, = -^Na

dx 2f*(3X-ha(x) • E

^^* du . s /L. t X •

— - = (a-+- aix-^ dty)-^ s(OiX-^bty).

Ti ax

Par suite,

en désignant par F une fonction arbitraire. Mais cette fonction doit elle-même satisfaire aux conditions restrictives écrites plus haut pour la fonction a. On doit avoir d'abord

et ensuite

Tj dz^ Tj aar dz^ r,

On satisfera à ces deux conditions, en même temps qu'aux conditions

du du

en posant

566 CHAPITRE xxn.

k étant nue nouvelle consUnte. H vient donc finalement

-H (ai -h bxz) ^ -+--(ai-;;--f-*i-g- — kysy

Détermination de v. — Cette délerniination se fera tout simplement en permutant respectivement x, ai, fc| aveej^, «2, 62 et en introduisant à la place de k une autre constante A'. Mais on peut . d'ailleurs voir facilement que l'on doit avoir A*' = — A", afin de

satisfaire à la condition

dx dv ^

dy dx On aura donc

p =(a -+- aïo? H- Oia7«)^

'^{a^-\'hxX.Y' -^- («j h&«-7- -i- kxz\*

. Détennination de \v. — On a

£/« - ,ji |ji(3Xh--ih) '"" E '•

Par suite,

F étant une fonction arbitraire, qui doit toutefois satisfaire à la troisième équation f^énérale d'équilibre, savoir :

ou bien

On en déduit aisément

On peut prendre comme solution

Fs=— i(6|j:»-f-*,j^» )-+-©,

PROBLÈME DE SAIWT-VENANT. 'ÔJ

f désignant une sokilian de ré<fuatk>n sans seconck Meninre

c/esl-à-dire une fbncCion Rarraoniqiie.

La valeur de w est donc finalement donnée par l'équation

Expression génécale des tensiona N^^ '^w T2.. — On a d'abord pour Na l'expression posée plus haut

Pour avoir T| , îl faut calculer ? ( ^ H~ 5^ / ^ ^^^ trcwrc

On trouverait de même

On peut vérHïer en passant ofxfs ces ejqppessîows sartfsfonl bien aux trois équations jçéirérales d'équilibre, exprinrées- en famrfïon de» tensions et se réduTsant ici à

éfTj dix

éTTi ûfT^ û[N3 ^

dx dy dz. ^ ' ^

Les deux premières se vérifient imiftédiatement, puisque T| et Ta ne renferment pas z. Quan-l à la troisième, on a

df9^ ^ , •

R/cTTî dTt\ d*9 (fio , ,,, . .

568 CBAPITRK XXII.

puisque o est une fonction harmonique. On a d'ailleurs

en vertu des expressions de E et de tq (Chap. XXi).

Équations à la surface. — Ces équations doivent maintenant intervenir pour déterminer les six constantes arbitraires a,af,a3, Z>i,62?^etla fonction arbitraire ç. Elles sont de deux espèces, celles qui se rapportent à la surface latérale du prisme et celles qui se rapportent à ses basés supérieure et inférieure. Prenons d'abord les premières.

Aucune force extérieure n'agit par hypothèse sur la surface

latérale du prisme. Si Ton désigne par a, ^ et v = o les cosinus

directeurs de la normale en un point de cette surface, on devra

écrire X = Y=:Z=:o. Or X'et Y sont toujours nuls, en vertu» des

hypothèses N<=N2 = T|=:o et y = o. Quant à Z, sa valeur se

réduit à

Z = T,aH-T,?.

On doit donc avoir en tout point

T,a-hTi3 = o.

T| et Ta ne dépendent d'ailleurs pas de :?, de sorte qu'il suffit de satisfaire à cette condition pour une section transversale quelconque, par exemple pour la base inférieure. Si cette base a pour , équation F {xy) = o, on a

d? ^ dF

•de sorte que l'équation de condition s'écrit

dV d?

En y introduisant maintenant les valeursdeT^ et Ta, on obtiendra une équation différentielle à laquelle la fonction harmonique » •doit satisfaire sur le contour.

On démontre en Analyse qu'une pareille condition détermine sans ambiguïté la fonction harmonique ©, à une constante prés

PROBLÈME DE SAINT-VENANT. SÇg

que Ton peut négliger, puisque, pour ^ = o, j^ = o, on a supposé w= o.

L'équation au contour se présente d'ailleurs sous la forme

dF d% dF d^ , ,, , „ ,.,,

puisque T| et T2 contiennent linéairemertt les trois constantes Aj, 62, A", et celles-là seulement, H|, Ha et H' sont d'ailleurs des fonctions de x et y^ dont les expressions sont :

II ^P"/ • r* — a?«\ dF

dx

y^xy

dx ^ ■ dy

Il en résulte que la solution o de l'équation au contour se pré-» sentera elle-même sous la forme

la détermination des fonctions harmoniques. <pi, îpj et ©' pouvant faire l'objet de problèmes séparés plus simples, en supposant deux des trois constantes è<, 62, A' égales à zéro et la troisième égale, à l'unité. Ces fonctions ne dépendent donc aucunement des constantes, mais uniquement de la forme du contour de la section droite.

On peut d'ailleurs remarquer que, lorsque le contour de la section droite est symétrique par rapport aux deux axes de coordonnées Ox et Oj', les fonctions C0| et 'fa seront des fonctions dites impaires^ ce qui veut dire qu'elles changent de signe sans changer de valeur lorsqu'on passe du point {x^ y) au point ( — x^ — /). En effet, l'équation différentielle ^e doit pas changer (^uand on fait tourner les axes de 180**, ce qui revient, à changer x en ( — x)

et y en ( — y) ; or les coefficients de -7— et — dans II| et lia sont

des fonctions paires et ne changent pas. 11 doit donc en être de

même des coefficients différentiels -r^ et -r^- Les fonctions o

dx dy *

correspondantes doivent donc être impaires.

570 CRAPiTHS XXil.

Le contraire.se produira pour H, qui est une fonciion impaire^

et par suite pour çp' qui doit être ainsi une fonction paire.

Ceci posé, examinons les conditions relatives aux deux hases du prisme.

Si les six constantes étaient données el si la fonction ç était supposée déterminée, il en résulterait, en chaque point {xyz) de la pièce, des valeurs déterminées pour les tensions N3, Tj, Tf En un point quelconque de la Surface latérale, il n'y aurait aucune tension ; mais sur les bases, la distribution des tensions serait coin* plètement déterminée et la distribution de Nj notamment devrait obligatoirement se faire suivant une loi linéaire en xy.

Pour la base inférieure, sur laquelle n'inter>dennent pas des forces appliquées connues a priori^ il n*j a ai/cune difficulté à admettre ce résultat en ce qui concerne les réactions développées sur cette base. Mais en ce qui concerne la base supérieure, la répartiiioA dies forces qui y sont appliquées ne saurait être arbitraire pour que la solution de Saint-Venant puisse convenir. C'est là un résultat qui ne saurait surprendre, attendu qu'en faisant la supposition initiale N, =N2 = T3= o, on s'imposait a priori des restrictions assez considérables.

Mais il est très remarquable que la détermination des six constantes ne dépend pas de la loi réelle de répartition des forces sur la base supérieure du prisme. Elle dépend uniquement de fa résultante de toutes ces forces et de leur moment résultant.

Désignons par X, Y, Z les composantes de translation de celle résultante et par M„ Mj^, M- les composantes du moment résnhant pris par rapport à l'origine des coordonnées.

D'un autre côté, supposons que cette origine soit au centre de gravilé de la section de base et que Ojr et Oy soient dirigés suivant les axes de l'ellipse centrale d'^inerlîe, de sorte que Ton ait

pour une section transversale quelconque. Posons, en outre,

Le système des forces N3, Tj, T< afférent à la base supérieure est identique au système des forces qui lui sont appliquées. Mais puisqu'il n*y a aucune force appliquée à la surface latérale du prisme, il est statiquement équivalent au système des forces N3, T2, T< afférent à une section transversale quelconque, définie par une ordonnée h arbitraire. En particulier, on peut choisir la base inférieure.

On a alors les six équations de condition

}r=rT,rfîr, Y=/Tirf<T, Z=rN,rfcr:

= f^iyd9, My= Ç^^xdv, Mz= r(Ti}r — Tix)d(j.

En développant les calculs, on trouve

(5) Zr=aS,

(4) Mx=atî^, (>) M^=aiïy,

— Tif-Î fx{x^'^y^)d^ >- i y\xi -^ y^) d^.

Les équations (3), (4) et (5) fournissent respectivement a, ai , a^* Les équations (i) et(2) fournissent 6, et 63, car on peut démontrer que les intégrales j ^ dv et 1 -j^ d7 ne dépendent pas de la

forme analytique de la fonction cd. Il suffit de leur appliquer le théorème de Green. Mais on peut obtenir très directement è< et f)* en remplaçant les équations (i) et (2) par deux autres équivalentes. 11 suffit d'écrire des équations analogues à (4) et (5), non plus pour la base inférieure, mais pour une section transversale arbitraire, d'ordonnée A.

Dans cette section, le moment des forces extérieures, par rapport à une parallèle è Oar, est, par exemple, Mx -f- AY. Ce moment doit i^trc é^al à /Nj^rfr, la valeur de N3, dans cette intégrale, ayant

572 CI1A14TRB XXII.

pour valeur

En développant le calcul, on trouve ,

d'où la condition

Cette condition doit être satisfaite, quel que^oil h. Il en résulte J

d*abord l'équation (4) et ensuite la nouvelle relation

qui donne 6o.

On trouverait de même pour b^ la relation

Quant à la sixième constante /r, elle sera donnée par l'équation (6) quand 6j et b^ seront ainsi déterminés.

Il convient de remarquer immédiatement que cette équation (6) se simplifiera notablement dans deux cas importants, savoir :

i® Quand on aura b^ = 62 = o, c'est-à-dire quand

2** Quand on aura affaire à une section symétrique. En effet, dans ce cas, toutes les intégrales qui figurent dans le second membre comme coefficients de fe| et de 62 portent sur des fonctions impaires, et deviennent par suite nulles. D'autre part, nous a>ons vu plus haut que la fonction © est de la forme

et que, dans le cas d'une section symétrique, les fonctions Çi et oj sont impaires. Il en sera de même des expressions

do* dot doi d^i

^ dx dy "^ dx dy

Par suite, quels que soient 6j et ^2? i's disparaîtront entièrement

de l'équation (6), qui ne renfermera plus que la constante X", et

PROBLÈ&IE DE SAINT' VENANT. 5y^

qui deviendra, tout comme dans le cas précédent,

Généralisation de la solution de Saint-Venant. — Ainsi que nous l'avons remarqué plus haut, la solution obtenue ne peut convenir rigoureusement que lorsque les forces appliquées à la base supérieure du prisme remplissent certaines conditions, et que les forces normales en particulier y suivent une loi de répartition linéaire. Cependant, Saint- Venant a justifié son extension par les considérations suivantes.

En réalité, on ne peut presque jamais connaître la loi de la distribution des forces sur une surface, exception faite du cas particulièrement simple où il s^agit de la pression d'un fluide. Quand on parle d'un système de forces données, on ne connaît que les copiposantes de leur résultante de translation et celles de leur moment résultant. Dès lors, rien ne permet, en fait, "de distinguer deux problèmes, pourtant analytiquement distincts, correspondant à deux systèmes de forces, équivalents au sens de la mécanique rationnelle, pour l'un desquels on aurait la loi de distribution voulue parles formules, tandis que pour l'autre on ne l'aurait pas. Au premier seul de ces problèmes,. la solution trouvée serait rigoureusement applicable. Mais il est clair que cette solution doit approximativement convenir au second, du moins dans toute la partie du prisme un peu éloignée de la base.

Pour préciser ce dernier point, supposons qu'on applique simultanément à la base du prisme les deux systèmes de forces envisagés, le second étant changé de signe. On aurait alors affaire à un troisième problème, dans lequel les forces appliquées à la base auraient une résultante de translation nulle et un moment résultant nul. On pourrait donc grouper ces forces en résultantes partielles égales et opposées deux à deux. Or, il est presque évident qu'un pareil système ne saurait produire de déformations appréciables que dans le voisinage des points d'application.

Enfin, on peut ajouter à tout cela une raison qui, de toutçs, est peut-être la meilleure, c'est que l'expérience permet de constater dans un certain nombre de cas simples que les déformations d'un solide élastique, en des points un peu éloignés de la région d'appli-

>74 GHAPiraB x\ii.

..' 4iation d'un système de forces, ne dépendent pas du mode d'appli** cation de ces forces, mais seulement de la résultante et du moment résultant du système. Il en est ainsi dans le cas de l'extension d'un barreau prismatique. La forme des mâchoires de l'appareil* d'essai n'a aucune influence^ et l'on constate les ménies allongements dans le corps du barreau quand la traction est transmise par divers mpjens, mâchoires, broches traversières, etc. II en est de même dans les phénomènes de torsion de prismes à base circulaire, bu dans ceux de flexion de barreaux de section rectangulaire aisément observables^

Saint- V^enant a donc eu raison d'affirmer la valeur pratique de sa belle solution. Elle constitue une justification de l'hypothèse fondamentale de la Résistance des Matériaux et permet de pousser très loin l'analyse des déformations ei des tensions intérieures dans les prismes.

Nous allons passer en revue quelques applications et traiter des cas tout à fait simples, dont les solutions peuvent être combinées par voie d'addition pour s'appliquer à des cas plus complexes.

Applications du problème de Saint -Venant.