const

Telle est donc, en définitive, la forme générale des équations des contours pour lesquels on peut trouver des solutions relativement simples. Pour les autres, il faut recourir à des approximations ou a des développements en séries.

Pour chaque degré p^ il existe deux polynômes homogènes P^ et Q^ qui sont harmoniques. On les obtient en mettant

(x -r îyy

sous la forme 1*^ + îQp- Cela revient à prendre dans le développement de (x-[-y)P les termes de deux en deux, en alternant leurs signes. On a là une ressource non négligeable que Saint- Venant a largement utilisée.

PlQEAUD 38

Signalons enfin, en terminant, qu'après avoir étudié une série de contours assez variés, Saint- Venant a reconnu que Ton avait toujours approximativement la relation

4oS

en désignant par S la surface de la section. On peut vérifier facilement, par les formules données plus haut, que cette relation est exacte pour le cercle et pour l'ellipse. On la considère comme générale. Malheureusement; elle ne dispense pas de la détermination de la fonction o lorsque Ton a besoin de déterminer les valeurs des tensions T| et Tj.

FLEXION DES PLAQfUES FLANES,

L — Théorie générale.

Défiadtions et hypaâiès^t. — Une plaque est le solide découpé, dans un prisme ou un cylindre, par deux plans perpendiculaires aux arêtes et dont la distance, mesurant l'épaisseur de la plaque, est relativement petite par rapport aux autres dimensions. Nous n'envisagereons ici que des p]a4:}ues minces, c'est-à-dire telles que l'épaisseur puisse être regardée comme infiniment petite par rapport aux autres dimensions.

On appelle feuillet moyen le plan mené à égale distance' de deux bases, plan qui sera pris pour axe des xy. La coordonnée z variera de — A à -fr /«, l'épaisseur de la plaque étant 2 h.

Nous nous bornerons à examiner le cas où l'une des bases, la base supérieure par exemple, est seule soumise à des charges et ou ces charges lui sont normales. D'autre part, la plaque sera supposée recevoir sur tout son pourtour, ou sur une ligne infiniment voisine, les réactions d'appui nécessaires pour équilibrer les charges. t ^

La petitesse supposée de l'épaisseur de la plaque permet d'introduire certaines simplifications, au moins approchées, analogues à celles qtii servent de base à la théorie des poutres, où l'on utilise le fait que deux des dimensions sont petites par rapport à la troisième. De même que dans cette dernière théorie on rattache lout>es les circonstances de la déformation à celles de la déformation de la fibre moyenne, ici il s'agira de mettre en (euvre les simplifications introduites pour tout rattacher à la déformation du feuillet moyen.

La principale simplification consiste à admettre que dans Tintérieur de la plaque on a partout N, == o, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de réaction normale entre les (différentes tranches découpées piu* des plans parallèles au feuillet moyen.

Celle condition paraît, au premier abord, incompatible avec rhjpotliése de char<çes normales appliquées sur la base supérieure. N3 doit en effet, sur celte base, avoir des valeurs données a priori, dans les régions chargées tout au moins. Mais cette difficulté est plus apparente que réelle. Elle est, en tout cas, du même ordre que celle que l'on rencontre pour les poutres, où les hypothèses N| = N2 ^= o sont conciliées en pratique avec Tapplication des forces sur les surfaces latérales. Voici du reste, en gros, comment on peut la résoudre.

Si Ton a affaire à des charges réparties sur des régions étendues de la base supérieure, ces charges sont toujours par unité de surface très petites par rapport aux* efforts moléculaires tels que N, et Na qui se rencontrent dans la masse. La densité des premières est, par exemple, de 1000''* par mètre carré, ou de 0*^8,001 par millimètre carré # Les efforts moléculaires sont couramment de Tordre de 5 à 6*^^ par millimètre carré. Il n'est donc pas absurde de supposer que N3 est partout, sinon nul, du moins négligeable par rapport aux autres efforts, et qu'en tout cas il ne pexit avoir de valeur appréciable que dans une couche voisine de la base chargée et dont l'épaisseur serait 'infiniment petite du second ordre.

Si l'on a affaire à des charges concentrées, c'est-à-dire en réalité à des charges dont la densité superficielle est grande, c'est-à-dire comparable à l'intensité des efforts moléculaires, elles ne peuvent intéresser que des zones représentant au total une très faible fraction de la base chargée. . Il restera entre elles des zones non chargées, comprenant la presque totalité de la plaque, dans lesquelles la supposition i\:, =: o correspond à la réalité. Dans l'épaisseur de la plaque, il pourra y avoir des régions, voisines des zones chargées, où la distribution des eflorls se fera d'une manière en quelque sorte anormale, et pourra même affecter la forme du feuillet mo^en. Mais, dans l'ensemble, le tracé du feuillet moyen déformé n'en éprouvera que des perturbations locales, négligeables vis-à-vis de sa déformation générale.

La seconde simplification qui est généralement faite, d'une manière plus ou moins explicite, c'est que les déplacements e/, i\ parallèles au feuillet moyen, d'un point (x.y^z) sont liés aux déplacements Wq, Pq, çpq du point correspondant (:3r,y, o) du feuillet

moven par les relations

dvÙQ

i> = Vq— z

ày

On justifie ces hjpolhèse§ par des analogies avec la flexion des poutres, et en généralisant certains résultats exacts que Ton peut obtenir dans certaines conditions de charges et d'appuis. Elles reviennent à dire que, dans la déformation, des éléments de droites perpendiculaires au feuillet moyen demeurent droites et perpendiculaires au feuillet mojen déformé. A la vérité, ainsi que Saint- Venant Ta fait remarquer, il suffirait de poser des équations analogues pour les dérivées -t"^^ rr '

Le problème étant ainsi défini, le premier objet de la théorie consiste à trouver les équations différentielles auxquelles satisfont les déplacements w©, v^^ w^ du feuillet moyen.

Transformation particulière des équations générales d'équilibre élastique. -- Les équations générales étant, comme on sait,

rfN, fV\^ cTT,

dx dy ds dTji dSi dTi

dx dy ds

^Vi ^ ^!^ z

dx dy dz "" '

on peut tout d'abord les débarrasser des termes X, \ , qui sont ici nuls ; puis, sans introduire aucune autre hypothèse que celle relative aux charges, les intégrer par rapport à z sur tpute la hauteur 2 A de la plaque. Cela revient évidemment à poser les conditions d'équilibre des prismes élémentaires de base dxdy^ et de hauteur ih.

L'intégration des termes de la troisiènxe colonne, qui sont des dérivées en z, fournira des résultats nuls pour Ta et T^, puisque sur les deux bases on a T| = Ta ^= o, et donnera pour N3 la valeur qu'atteint cette fonction sur la surface supérieure, et qui est une doublée du problème.

5g8 GiUPiTiiB xxiii.

Enfin, I Xdz représente le poids du prisme de hauteur 2 A. et de

base unité. C'est également un/î donnée, et, si on Tajoute â la valeur de N3 à la surface, on aura une fonction — f{xy), qui représentera en chaque point {x^y^h) la somme des charges, poids propre et surcharge réunis.

On obtiendra donc les trois équations

, . C [à:^^ dNi\,

L^équation (3), qui contient T^ et T|, peut être transformée en la combinant linéairement avec les deux premières équations générales, ou avec celles qu'on en peut déduire par différcntiation ou intégration.

Si Ton prend la première équation générale, différentiée par rapport à a?, puis multipliée par z et intégrée par rs^pport à s, on obtient

z —, — T- az = o.

az dx

Or, le dernier terme intégré par parties donne

L dx \-h J dx " j dx '

Car, à la surface, pour 5=i±iA, on a T2 identiquement aul, ainsi que ses dérivées.

On en déduit

On obtiendrait de même

J dy J \dxdy dy^ )

en se servant de la deuxième équation générale. Par suite, rét|H«-

lion (3) peut être remplacée par

^^^ J'[-d^-^''d^^-djT)'^'--''^^'^^'

Introduction des hypothèses simplificatrices. Équations du feuillet moyen. - - Rappelons les formules qui lient les tensions aux déplacements, savoir :

TVT , • N <3?w ^ dv , dw ^^ dx dy dz

^ / £^tv dv \

, du ,^ dv ^ dw

(du dw'\

-, ^ du , dsf ,. . dw cto rf/ ^ ^' dz

( dv du\

De la supposition N3 --= o, on déduit — en fonction de -t- et — >

et, si Ton fait la substitution dans les valeurs de Ni etN2, on obtient les expressions suivantes :

E / rf« dv\ „ V. / du dv\

E étant le coefficient d'élasticité E ir= : — ^-^ — -^ ;

• X-f- fx

T, étant le coefficient de Poisson Ti ==: ■ ^ ■'

Si, à présent, on introduit les valeurs supposées de a et p dans les expressions de N, et N^, ainsi que dans celle de T3, on obtient :

H Vdua dvù'\ Ez fflf'wp , d*Wo\

Il ne reste plus qu'à porter ces expressions dans les équations (i), (2) et (.H),

11 convient d'observer immédiatement que, dans les intégrations faites par rapport à la variable 2, toutes les dérivées de u^^ p©? «^©î

sont des constantes, et que pour une constante quelconque on a

A dz =ihA,

\z dz = o, kz^dz=.-—\ = lA

en posant I =3= -— . I esl le moment d'inertie de la plaque pour

Tunité de longueur de sa section.

L'équation (i) donnera donc simplement, puisque les termes en z fournissent un résultat nul;

J \dx dy J i — T)« L ^^0 i- dx dy -à dy^ J

L'équation (2) fournirait une équation toute semblable, et ces deux équations différentielles simultanées du second ordre ne <".ontiennent que Uo et ç^ à Texclusion de Wq. La détermination des déplacements horizontaux Uq et ^o du feuillet moyen est donc indépendante de celle des déplacements verticaux, au moins en ce qui concerne leur forme générale. Elle est indépendante des <! barges.

D'autre part, dans l'équation (3'}, on n'a pas à tenir compte des termes indépendants de z. Les autres donnent

JK^y) - i^r^^ldx'^ ^ ' dx^ dyi ou, en simplifiant,

d^ wq d^ wo d^ w'o

dx^ dy^ ' dx"* dy'*' dy

ou encore

El

— AAwo = — /(:rx).

C'est l'équation de Lagrange. Elle est du quatrième ordre et permet de déterminer w^ indépendamment de u^ et Pq-

Il y a donc, au point de \ue de leurs expressions générales, indépendance complète entre (T'q d'une part, et «o? <'o d'autre part.

Aussi se borne- t-on, en pratique, à supposer e/^ = <'o = o, et à déterminer (Vq par Téquation de Lagrange.

Expressions simplifiées des tensions. — En ce qui concerne N|,N2,T3, nous en avons donné plus haut les expressions, et il suffit d'y supposer nulles les quantités Uq et Tq.

En ce qui concerne T| et Tj, on ne. peut en écrire les valeurs locales, car on ne connaît pas la façon dont (v varie avec z.

Mais on peut exprimer les valeurs totales de T< et To sur des éléments verticaux ayant pour base dx ou dy^ et pour hauteur l'épaisseur de la plaque 2 A. En eûet, si Ton prend la deuxième équation générale d'équilibre, et si, après l'avoir multipliée par Zy on rintègre par rapport à z, on obtient

I z -5 h -7— \ dz -^ I z —=— dz = o.

Or, le dernier terme intégré par parties donne

car à la surface on a T| = o. 11 en résulte, en désignant par T', la valeur de l'intégrale cherchée,

ou

* I — r,« ydx-'dy dy^ \'

On trouverait de même pour l'intégrale / T2dz =^ T\

' I — Tjî [ dx-^ "*" dx dy*]

Ces expressions donnent donc les cisaillements, parallèlement à O^, sur des éléments de hauteur 2 h et perpendiculaires respectivement à Oy et Ox.

Considérons maintenant un élément vertical quelconque, et

602 CHAPITBB XXIII..

appelons a Tangle que fait sa normale avec Ox, l«s^ cosinus directeurs de cette normale étant par suite sin a, ces a et o. Les composantés X, Y, Z des tensions sur cet élémant seront

X = Ni cosa -4- Tj sîna, Y = Tj cos a -h Nj sin a, Z = Ts cosa H- Ti sinï.

Si Ton envisage les deux premières de ces équations, on reconnaît qu'elles sont exactement de la même forme que celles que Ton a à considérer en élasticité à deux dimensions, Tj et Tj n^intervenant aucunement. On en déduîrs^ toutes les mêmes conséquences.

La composante normale et la composante tangentielle horizontale seront

N— X cos a -h Y sin a»

T = — X sina -f- Y cosa.

Le maximum et le minimum de N s'obtiendront pour les valeurs (le a satisfaisant à Téqualion.

Ces directions pourront encore être appelées directions principales.

Si en quelqne point on a à la fois iN, = Nj = o, les plus grandes tensions seront égales à T3 et seront dirigées parallèlement aux bissectrices des axes Oa? et Ov, etc.

Si Ton envisage la dernière équation^ donnant la valeur de Z, el si on l'intègre par rapport à z, dans toute l'épaisseur de la plaque,

on obtient, en désignant l'intégrale j Tjdz par Z', la relation

Z'=T'jCOSfitH-T;sîna.

Z' est le cisaillement (ou effort tranchant) parallèle à 0«, sur rélémeiil vertical considéré. Sa valeur est donc

Équation de condition à la surface de la plaque. — Il est biea évident que les conditions à la surface sont d'elles-mêmes remplies,

en ec qui concerne letf deux bases, quelles que soient les quantités ou fonctions arbitraires qui se seront introduites dans la détermination de i^oî d'après la seule considération de Téquation de Lagrange. On en a fait état d'une manière explicite* dans la transformation des équations indéfinies d'équilibre. Il reste donc à satisfaire aux conditions que l'on s'imposera sur la surface latérale de la plaque.

Si l'on supposait toutes les quantités arbitraires déterminées a priori^ les valeurs de \ et Y pour un élément de cette surface, et la valeur de Z' pour un élément de hauteur 2 A ne pouvaient être évidemment que conformes aux expressions données plus haut. Z' en particulier représenterait la réaction verticale de l'appui aU pourtour.

Si, au contraire, on veut que X et Y aient des valeurs données a priori,^ par exemple dans le cas où la surface latérale ne supporte pas de réactions horizontales, et que par suite \ = Y = o, les expressions données se changent en équations auxquelles les quantités arbitraires devront satisfaire.

Il n'est pas sans intérêt de vérifier que si Fon intégre Z' pour tout le pourtour de la plaque, on retrouvera la charge totale que celle-ci supporte.

On sait, en effet, que l'intégrale suivant un contour peut se transformer en une intégrale double appliquée à l'aire enfermée par ce contour, au moyen de la relation- connue

Son application au cas actuel donne

Dans tout ce qui suivra nous supprimerons, pour faciliter l'écriture, l'indice de iï'oj aucune confusion n'étant plus à craindre.

Oèserration sur l'équation de Lagrange. — On peut tout d'abord faire ressortir la grande analogie qui existe entre cette équation el

6o4 , CHAPITRK XXIil.

réqualion différenlielle des poutres droites, savoir :

El

dx*

On passe de Tune à l'autre en supposant que p^=/{xy) ne dépend pas de y et que les appuis sont tels qu'il en soit de même

de «\ Il faut constater cependant la disparition du facteur -— — j,

qui tient à ce que, dans la flexion des poutres droites, on suppose Na =,o, ce qui suppose la libre dilatation des sections dans le sens des j^.

Les différents problèijies que Ton se pose à propos des poutres ne diffèrent les uns des autres que par les hypothèses relatives aux conditions des appuis. Pour les plaques, il en est absolument de même. En effet, supposons que, pour une certaine hypothèse faite au sujet des réactions au pourtour, on ait trouvé une fonction iv = iv satisfaisant à toutes les conditions du problème. Pour une autre hypothèse quelconque, on pourra poser

W — iv' -h tl»!

et Ton aura évidemment

A AiV| = o.

Il s'agira donc uniquement d'ajouter à la première solution tV|, une solution de l'équation précédente (équation de Lagrange sans second membre) et de faire en sorte que la solution complète satisfasse aux nouvelles conditions imposées au pourtour. Nous avons vu comment on pouvait composer des solutions de cette dernière équation, qui joue un si grand rôle dans toutes les questions d'élasticité. A défaut de la solution générale et complète, on pourra, dans certains cas, utiliser une série finie ou infinie de solutions particulières et disposer des coefficients arbitraires pour satisfaire exactement ou approximativement aux conditions données sur le contour.

Nous utiliserons cette remarque à l'occasion des plaques rectangulaires encastrées, ou posées sur appuis élastiques.

IL — Plaques circulaires uniformément chargées.

Soit R le rayon de la plaque et soit p la charge par mètre carré qu'elle supporte. La fonction f\ooy) se réduit à cette constante dans le second membre de l'équation de Lagrange.

FLEXION DES PLAQUES PLANES. 6o5

Par raison de symétrie, le premier membre de cette équation doit se réduire à une simple fonction de r, rayon vecteur allant du centre de la plaque au point (xyO). En prenant des coordonnées semipolaires la transformation se fait aisément, toutes les dérivées par rapport a l'angle a étant nulles.

On a

et l'on en déduit :

dr X dr r

—r- = — = cosa, -r- ~ — = sma,

dx r dy r

dcL sina drt. cosa

dx r dy r

On trouve par suite (en supprimant l'indice de i\\)) :

r/ii' dw dr dw

.dx dr dx dr

et

dw dw .

dy dr

d*w d*w dr dw . da d*w . 1 dw . ,

—7—- = — =-— -î— cosa j— sina -7- ^ — ;— -cos'a h -j- siii'a,

dx^ dr^ dx dr dx dr^ r dr

d^w d*w . ^ I dw

—^—r = -7-— sin*a -) T-cos'a,

dy'^ dr^ r dr

d'où

d^ w d* w d^w I dw \ d f dw \

dx^ dy'^ ^ dr^ ^ ;• dr ~ r dr\ dr /

rt fi

Enfin, en répétant la même opération ;t-^+ 7-^» on al'équati<m

d* w d'* w d^ XV

dx^ dx*^ dy"^ dy'*

'' r dr]'' drlr dr\ dr)\\'~ Et ^'

Cette équation s'Intègre facilement. En multipliant par r et intégrant, on a d'abord pour l'accolade j { l'expression

un ^^^•

En divisant par r et intégrant une seconde fois, on a pour la

6o6 CHAPITRE XXIU.

parenthèse carrée [ ] l'expressioii

Multipliant par r et intégrant une troisième fois, on a

■A(-Jogr— -) -hB-- -hC.

dw (i — ï)* )/?'•*

€/r 16EI

Ou, en désignant par les mêmes lettres x\, B, G d'autres constantes, on a, pour -7—» une expression de la forme

dw (i—r,^)pr^ . , i> ^^

Finalement, on obtient

__i__ + A(--logr--j+B-+Clogr^D.

Ou, en changeant encore de constantes pour simplifier Técriture,

flf' =— ^'"TJ^pt^' -^ ^'•'-^ B -*- C logr -+-Or« logr.

Dans le cas qui nous occupe, on doit faire 0 = 0, car sans cela on aurait iv=^ — x pour i^ = o, ce qui est absurde. On doit encore

avoir D = o, car sans cela on aurait --r-^ = oo pour i' = o, ce qui

est également impossible à admettre, la surface du feuillet moyen ne pouvant avoir de point anguleux en son centre.

La constante B se détermine aisément en fonction de A, en écrivant que tv =ir o pour r = R, de sorte que Ton a

Quant à la constante A elle dépendra des èonditions que l'on s'imposei*a sur la surface latérale de la plaque, el nous distinguerons deux cas: celui où la plaque est encastrée sur tout son pourtour, el celui où elle est simplement appuyée.

Dans le premier cas, il faut écrire a priori (]ne -7- =^ o au pourtour, el Ton en déduit la valeur que doit avoir la composante nor-

FLEXION DBS PLAQUES PLANES. 6o7

maie N sur la surface latérale pour que cette condition soit remplie. Dans le second cas, on devra écrire que cette composante N est nulle au pourtour. En considérant le point situé sur Taxe des j?, pour lequel a = o, on a d^arlleurs

d^w I dw\

r'-h 2 Ar

I** Plaque encastrée, .-- On a

dw __ (i — 'r\^)p 1? "" i6£I

On déterminera donc A par la condition d'où

32ËI

L'équation du feuillet moyen est, par suite,

La flèche/ au centre est la valeur maxima de «v et a pour valeui

^Calculons maintenant les valeurs de N< et N2 pour un point quelconque de Taxe des x. Ces tensions sont proportionnelles à z et atteignent leurs plus grandes valeurs pour z = ±h. Mous supposerons généralement z= -\- h. Les valeurs calculées se rapporteront ainsi toutes à la base supérieure et pourront être comparées

en grandeur et en signe.

Ln tenant compte des expressions de ^— j- et ^-5- pour y = a == <>,

on a d'abord

\ — ^^ Vd^w d^wl Ez rd^w T) dw]

6o8 CHAPITRE. XXMI.

Or, on a

dr 64 El ^^ ^^ '^^^

r/r» 64 El ^^^' '**^^'

et par suite

Nj est négatif et représente une compression au centre, pourr = o, et y atteint la valeur

qui est d'ailleurs le minimum de iS|.

11 est positif et représente une tension sui" le contour, pour /• = R et y atteint la valeur

Cette valeur est indépendante des coefficients d'élasticité et est toujours plus grande en valeur absolue que la précédente, puisque

Quant à No, il a pour expression

Ez r d^ d*w' E;; V d^w £ dwl ' ~ ~ 1 — r,i l^ dx^ "^ dy^ J ~ 1 — T,î [^ dr^ "*" r dv }'

ce qui conduit à la valeur

Pour r n=r o, N2 atteint encore son minimum négatif, égal à celui de \|.

Pour /• = R, Nj est positif, et représente une tension, dont la valeur est ^

toujours inférieure à la valeur correspondante de N|. C'est donc cette dernière seule qui est à retenir pour calculer la fatigue de la

matière, dont le taux est ainsi : -7: yf> quand On remplace I par sa valeur 1 == -— •

II reste ù examiner la plus jurande valeur des cisaillements. Sur la circonférence d'un cercle de rayon /• <; R, la charge est p x t;/*-. • Elle se réj3arlil sur la surface cylindrique iizvx^h. Le cisaillement moyen est —• Il est maximum pour /•==R.

La fatigue au cisaillement est toujours inférieure à la fatigue <lue à la flexion, exprimée par la valeur de N, au pourtour. Pour (|u'il en fut autrement, il faudrait que Ton eût

iG n i 3

On n'aurait j)lus affaire à une véritable plaque mince.

2** Plaque siîhplement appuycc au pourtour. - - On doit celte fois déterminer A par la condition que N| s'annule au pourtour, c'est-à-dire pour /• = R. Etant donnée l'expression de N|, cette condition revient à écrire

Or, on a

On en déduit

d'^iv r dw a/-* /• dr

div (i — ri^)p . '■ .

dr 641il ^ -i^^^'-

dr^ 6 i liJ

';.A(i + r.)= ^-i^r7^4R'(3-hT.).

L'équation du feuillet moyen est alors

G4 Kl L « ■+• n J

La flèche au centre s'obtient en faisant r=o:

Si on la compare à celle trouNce pour la plaque encastrée, on

\oit qu'elle est plus grande, leur rapport étant j — ^- Si l'on sup-

i)Ose 71-= —I ce rapport esl — - = |,oo.

PlOEAUD ^u

6lO OHAPITRR WIII.

pnrlrf» 1p rnînil i\o

Pour calculer N| et Na, il faul reprendre le calcul de — el

dr ëTEr^L^' •" ' i-+-tJ

^/^ 64FI [ i-+-rj -

La tension IN , a pour expression

Elle est nulle au contour <M niinînia an centre, ^pour /' = o, où elle est négative et où elle atteint la val<uir

(pliant à \2, elle a pour expression

Pour l'i^o^ on retombe sur unr valeur négative égale à celle de N,. C'est d'ailleurs un minimum. Pour r=R, e'est-à-dire «u contour, on trouve

valeur encore néj;ative et forcément plus petite que la précédenle. On voit d'ailleurs directement que :>. (i — r,) <] 3 + 7^.

l^e taux de fatigue de la matière esi donc donné ici parTexpres-

sion ~ ('^ + ''i) /T' ^^ remplaçant 1 par sa valeur.

Si on le compare à celui cpii corresponjl au bord de la plaque

encastrée, on voit qu'il est plus fort et dans le rapport '•

Ce ra[>porl est égal à — = i ,(i5 si r, — - — •

On oblient pour la valeur du cisaillement au pourtour le même résultai ({ue plus haut.

FLbXlON DBS PLAQUfS PLANES. 6ll

ill. — Plaques circvlaihes ixcomplktehvnt soumises