A UNE CHARGE UNIFORME, OU SOUMISKS A UNE CHARGE CENTRALE CONCENTRÉE
Nous supposerons d'abord qu'une cliar^e uniforme/? soit applit\{wv seulement à rintérlcur d'un cercle de rayon « <; fl.
. Fig. 188-,
ï/é([ualion dilVérentielle du feuillet moyen sera la même que précédemment dans l'intérieur <lu cercle eliar^é, de sorte que il' y sera toujours donné par la formule
Dans la couronne annulaire, Fécpialion dillérenlielle du feuillet moyen sera privée de son second membre, et si, pour exiler toule confusion, nous désignons par \v' le déplacement \erhcal dans r!'ll<' réj^ion et par A' B' C D' de nouvelles constantes arbitraires, nous aurons simplement dans cette ré ««ion
Ici encore, on doit faire (V^-o, car on ne saurait axoir (v' — ^ x
pour r=^ o.
La constante IV se détermine parla condition tv' -= o |>our /• :=^ J^,
c^* (nii donne
0== A' Ri H B-^ n IVIo-R,
de , sorte (pie ïv' se réduit à
w'= A' (/•-*— RO-^ I>'(/-Mogr— U=»logR).
D'autre part, pour r = a, les deux surfaces doivent se raccorder.
CWÀ . CHAPITRE XXIII.
()ji doit donc poser les conditions :
, div d\v' d'iv d-iv'
' dr dr' dr'- dr'-
\)our r z=za. Cola dcterminc trois des couslanles A IV A' 1)' ni fonction de rime d'elles, A par exemple. Les équalions de conililions dévelop[>ées deviennent : . '
— ^J7y^ P'^'' -^ Art-*-h B.= A'(«^~ R«) -+- D (a* loga — R* logR), TrrrrT- îprt'-f- ïAa = -2 A'a -h D'(2a loiça-hr/),
f — Ti^
rrrrrr- i'J»P«-H- ^A. = 2A'-h D'(-2loga -f- 3).
Des deux dernières, on déduit
^'==-^4rr^^'^' "' A'=A + ii^^^/>aMoga,
= A — D'ioga.
Ensuite, la j>i'eniière donne;
B = (A — D'logfl)(rt^~ R2) — Afl-'4- D («Ooga — R^ogR)-^ D' — , = AH-Lv(^-R.|og^).
\ Les équiilidus ijoniiant (v cl n»' deviennent <l"ailloiir.s
()/| VA i}c\ VA a
■-^("-i^')-%ppa'-[r^io,'--i^no,'^]
W reste; à déterininer la conslante A d'après les condilions {m ()ourtour de la j)la(pie.
i" Plaque eticashce, - On doit a^oir -7-;- = o [)Our /-r^R,
FLEXION DBS PI^QUBS PLANES. 6l3
ce qui donnr :
v ='AR-l<illjli;,a.[.RIog|H-R]=o,
On a (Jonc fiiialeineiit les expressions
La llrche^an centre s'ohlienl en faisant r-— o dans la première formule. Elle est
64 Kf
En ce qui concerne les. tensions, on j)roçé(lera comme prcccdcmmcnl. ^ous nous bornerons au calcul de
Sur la couronne annulaire « -< /• <^ R, on a w = iv' :
dr I ' r/* cf.'
Pour r^iR, on trouve la valeur |)osilivc et indcpendanle des coef(ici(»nls d'élaslicité
Pourra a, on irouve
i\i= j^«rt- Ki-^ OI<>gj|-+-'J.
Celle valeur (\sl toujours al<;él)ri(|ncm(»nt inféi'ieure à la prccé-
6l4 <:IIAPITRK XXIIf.
dente. Elle est positive ou urj^alive. siiivaiilque
Dans rinlérieur du cercle cKari»é /• -<«, on a
dr ()4Ki 1 "1
dUv (y — r^i)p r RI
<//■-' (i4lî:i L <M
N,= 1^"^^ r(i2-f-4T,)/-*- 1«*ri-+-rO — 8aM.>-i^(H-T,)
Pour r=za^ on retrouve la valeur précédente. Pour /• = (>, on trouve la valeur truijours né<»ativ«*
N. = -g!i8..(..-.)[.ogJ.i]
f^a valeur maxima de N, n'est plus forcément rencontrée sur le pourtour de la plaque, cmiiuK* <*ela avait lieu dans le cas d'une charge complète. Elle se rchcc mirera, au contraire, au cenln*,
lorscpie le rapport — sera suffisamment grand, et, l'on |)eul méuïc
Cm
|»réciser, quand ce rapport satisfera à l'inégalité
On \érilie que, j)our a -=^ U, on rclomhe sur les formules trouvées précédemment pour la plaque conq)lélement chargée.
11 est intéressant de reconnaître ce que deviennent ces diverses formules, lorsque a devient de» plus î*n plus petit et tend vers zéro, rn même temps que l'a charge totale P^-^Tcr//-/; demeure constante, c'est-à-dire quand (»n envisage un(» charge concentrée placée au <*enire de la plaque.
f.a formule qui donne la flèche tend vers une limite finie
La formuhî qui donne \| au l)oi*d de la plaqu(» l(md égalenienl \ers une limite finie. Mais celh* qui donne ]\| au centre conduit à
FLEXION 1>ES PLAQUKS PLANES. 6lS
une valeur inlinie, car la parenthèse 1 — l--l<)g— 1 devient infinie.
Toutefois, il faut rejnarquer (jue cette parenthèse croît lenleriient h»rsque a diminue. Pour r/^::o,oiR, elle n*a encore pour valeur (|ue 5, lo environ.
La fiction analytique dune chart^e c<mcentrée n'est donc \ms admissible pour (îes cal(*td^. Vax réalité, une charge dite concentrée est simplement une charj;<' de densité superficielle relativement j;rande, mais limitée, ce qui \eut dire que le cercle de'^ répartition de rayon a, que nous avons supposé, peut être très petit relativeu>enl au rayon de la plaque, mais non pas ri<»oureusen1ent nul. Il sera nécessaire de se faire une idée de la orandeur de a avant d'être en mesure d'appréci(u* les conditions de résistance de la plaque à hi flexion.
Il en serait d'ailleurs de même pour d'autres efforts, et en particulier pour les efforts de cisaillement. Au pourtour du cercle
P rhari'é, Tt^fToVl moyen de cisaillement serait évidemment r --
II tend, lui aussi, vers rinfînt pour a^o. Il croît même plus vite
que N|.
Enfin, il en est de même de Tintensilé de la charj^e ciui est — -* ' ^ 1 ira*
et croît comme le carré (h; -• ( )uand a devient d^ plus en plus
[»elit, cette valeur de rinlensiié de la charge peut devenir incompatible avec la résistance de la matière.
* '2^ Plaque simplement appuyée. - On doit cette fois déterminer A par la condition que ^, s'annule au pourtour, c'est-à-dii*e
pour /• :=:r R.
On a
dw' ^ {
cir
dr
On en déduit
•>..\(l -h r/) = ^^'i^r^^y^ \Ct' [>.( H- T. ) log- 4- 3 -H J ,
6] 6 CJHAIMTRR WIII.
On a donc finalement les expressions
La flèche au centre s'obtient en faisant r = o dans la preniîèrt' formule
Comparons celle formule à celle de la plaque encastrée. Le rapport des deux flèches a pour expression i»ènérale
Lorsque a^^R, ce rapport alteinl > ainsi que nous l'avioiiii
trouvé précédemment. Lorsque a tend vers zéro, ce rapport tend vers seulement. Poifr r, = —, il va donc en décroissant de
4,o8 environ à — =2,5 environ.
La valeur deN, dans Tintérieur du cercle chargé r<Cci se déduit des formules
dr ()4K1 L I -+- r, ° a |
N, = ^ [^4 /•-(3 -HT,) - 4«-*<' 3 + r, ) - Ha^-i i -f- rj log ^1 • Pour r--=r.'^i^ on trouve la valeur toujours négative
^> = — iTT7 8«'(l-4-'r, ,)log — .
Pour /* = <), on trouve la valeur toujours négative et supérieure en valeur absolue
FLEXrON DES PLAQUES PLANES. 617
Cetlo dernière formule est à comparer à celle qui lui correspond dans le cas de la plaque encastrée. Le. terme -dans la parenthèse
est simplement remplacé par - '■ qui a pour valeur habituelle
- X-r,» pour 7[ = — <.
Quand la plaque est complètement chargée, log— = 0, et le rapport des deux valeurs de N, atteint -t= 2,5 environ. Au contraire, lorsque a est petit, c'est le terme log - qui devient prépon-
dérant dans la parenthèse, et le rapport des efforts tend vers l'unité. 11 convient de remarquer que, dans le dernier cas, ce rapport est bien celui des plus grandes. fatigues de la pièce à la flexion, car dans la plaque encastrée N, est plus grand au centre que sur le pourtoi#, lorsque a est suffisamment petit. Pour a = R, la plus grande fatigue pour la plaque encastrée se rcncoptre sur son pourtour et le rapport des plus grandes fatigues serait celui que nous
avons déterminé précédemment, savoir : —^ — ^:^ 1,55 environ.
En réalité, le rapport des jdus grandes fatigues ^de la plaque appujée et de la plaque encastrée varie de i ,55 à i , lorsque a varie de a -=ï{ èi a =z o, toutes les autres circonstances étant supposées les mêmes.
. Bernan/ues. — Avant de terminer ce qui est relatif aux plaques circulaires, on peut remarquer que l'équation de l^agrange s'intégrerait sans difficulté si, au lieu de supposer une pression uniforme dans uu'cercle de rayon <7, on supposait une pression donnée par une fonction algébrique simple de /•. On peut, par exemple, envi-
sager la formule/? -~ -^-r {u- -- r'^ ), qui fournirait // = o pour /• = a
et p=^ — -, c'est-à-dire le (louble de la pression movenne, pour
/• = (). Cette répartition doit se rapprocher beaucoup plus de la réalité pour des charges dites concentrées.
On peut se servir aussi, dans certains cas, des formules qui viennent d'être trouvées et les intégrer directement, en supposant <|u'on a une série de charges uniformes dans des cercles de rayon \ariables entre o et a, La charge élémentaire uniforme afférenliî
6l8 CHAPITAR XXIII.
au cercle de rayon r<^a sera, par exemple, dp -^ ~ "TT ^'*-
On aura donc à remplacer dans les formules a par la variable (rinté*;ration r, puis à remplacer^ par dp^ cl à int6gi*er de r = a k /• = <».
Considérons, par exemple, le cas de la plaque encastrée.
\ous avons obtenu pour la flèche au centre la fornuile
En faisant les changements indiqués, nous obtiendrons
64 Kl T^u* J, ^ 04 Kl ?:«* 6 ^
ou encore
Si on la compare à la première f(»rmule, après avoir remplacé dans
p celle-ci pa- par — ? on constate que Fon trouve la même valeur
limite pour a==o. Cela veut direque pour une charge concentrée P la flèche ne déj)end pas du mode de répartition de la charge.
Si l'on fait a = R, c'est-à-dire si Ton suppose la plaque chargée dans toute son étendue, on trouve que dans le cas où la répartition de la-charge P suit la loi parabolitpu* supposée, la flèche devient les j de ce qu'elle serait dans le cas d*une répartition uniforme.
On peut faire un calcul tout semblable pour la valeur de \, au centre. Nous avons trouvé
8//ri-hr. ) r. i^ n
En faisant les chauffenients indiaués nous obtiendrons
up
4P r" , fi ^ «1^ -^ / /' log — -f- - dr
S/tfi-f--/;) V r, R HT
La nouvelle expression ne diflère de la première que par le remplacement de -par-(lans la parenthèse.
Lorsque a est petit par rapport à R, ras d'une cliarj»e concentrée,
c'est le t«rme log — qui esl prépondérant, et la modification de la
valeur de N, est insignifianle.
Lorsque Ton a a=:R, phupic complètement chargée, on a au
cfinlraire log — = o, et \ i a pour valeur une fois cl demie sa valeur
primitive.
Si Ton faisait le même calcul pour la valeur de N i au pourtour, on verrait qu'elle ne dépend pas de la répartition de la charge. On peut le reconnaître a priori iïi\[}vvs son expression primitive, qui ne <lépend que de />r/-, c'esl-à-dire de la valeur totale de la charge.
IV. — Plaques RECTAN(iCL\uii':s sl\ii*lembnt appuyées a leur pourtour.
Principe de la méthode de Navier. — Le problème des jilaques rectangulaires simplement ap|)ii\ées, mais chargées d'une manière (jueleonque, a été résolu par Aavier dès 1820. Sa belle solution, très générale, introduit des séries dcuibles dont le maniement est heureusement moins complicpié qu'il ne le paraît, et .Navier a montré que dans le cas simple d'une charge uniforme on peut réduire ces séries, très conv(»rgenles, à un très petit nombre de termes, ce qui fournit des solutions aussi simples et aussi [U'atiques
Fij?. 189.
qu'on peut le désirer. Le principe de la uuUhode cousisle dans l'emploi d'un développement de Fourier pour re|)réseiUer la f<»nctiony(xy ) qui définit la charge.
GîO - CHAPITRE XXIII.
Prenons pour origine des coordonnéeslun des an«;les delaplaqii^* el plaçons l'axe des x dans la direction de l'un de ses cùlés OA, de longueur a, l'axe des^ dans la direction de l'autre côté OB, dr longueur b.
On sait qu'une fonction quelconque de x peut être reprêsenlr<* dans l'intervalle de o à a par la série
et que le coefficient A;,, a pour valeur
r -. . . /«Ta ' I f(a)sin aoL.
Une fonction de deux variables /(a:y) peut de même être repivsentée dans le rectangle de côtés a el b \mr la série double
« oc
le coeffi'ciept A^n ayant pour valeur
Une fois opérée cette représentation de /(j;>') il suffit de considérer à part les diflérentes charges simples représentées par chacun des .termes de la série et d(* fain^ ensuite la somme des résult<'irs obtenus.
Dans le cas ccMisidéré d'une plaque sim[)lement appuyée à sou pourtour, la solution correspondant à chacjue charge simple est en (^IFel immédiate. Considérons, par ex('n:j)le, la charge simple
j., , , . mr.T . mzy
/(-'py) = A;;„|Sin sin— r^-.
L'équation de Lagrange correspondantt* s'écrira
1 — r^ , WTT.r . tiT.y AAa* = rrr— A,„„5Mî sm— y^.
Elle sera sulisfaile par iiiie expression de la forme
On trouve, en efTel :
AiP,„„ = ~(^— ^^j i:Uv,,.„.
La seule condition à remplir |)Our que réqualion de Lagrange .suit identiquement satisfaite est donc
D'un autre côté, les conditions au contour sont toutes satisfaites. En effet, ces conditions sont :
i** que l'on ail tv= o sur les quatre cotés. Elle est évidemment
remplie. 11 en découle du reste nécessairement que Ton a -7-7 = o
tout le long des cotés a, parallèles à Ox ^t-^-^- ^^ o tout le long
des cotés 6, parallèles à Oy ;
:i® qu(; l'on ail N, :r=: o le long des côtés b. Cela revient, en vertu
<le 1 expression de i\ , a la condition-; h vi-t— - = o, ou a la con-
»^ dition plus simple^ — ^ =0. Elle est évidemment remplie et il en
ce •X'
résulte de même que l'on aura ^2 = ole long de ces mômes côtés; 3" que l'on ait ^0= <> l^^ long des côtés a. On le reconnaîtra de la même façon, et tout 1(» long de ces côtés on aura par surcroît ISi=:o.
On obtiendra donc une solution terme à ternie, ce qui est très remarquable, et il est pres((ue évident que s\f{xy) peut pratiquement être représ(»nté par la somme d'un petit nombre de termes, il. suffira pour avoir une solution ap[)rocliée déconsidérer ces lermes- I là seulement. 11 ne sera pas nécessaire alors de s'inquiéter de la convergence des séries (|ue la suite des calculs ferait apparaître dans la solution complète. Aulrement dit, on aura substitué à la charge y (jr^), dont la connaissance est d'ailleurs toujours impar-
Ga2 CH4PITBK \!LIII.
faite, une aiilre cliarge pratiquement équivalente, «n du nioîii^ jugée telle, et fournissant des résultats simples.
Cas d'une charge uniformément répartie sur toute la plaque. Supposons que f{xy) se réduise à une constante />. D'après le principe général, on la développera en série de Fourier. Le coefficient S.,uH du développement aura pour expression
= A I — cosmTT ) ( I — cos/iir).
Ce coefficient est nul si Tun des nombres m ou n est pair. li a
pour valeur A„<„= — ^^lorque les deux nombres m et n sont à la
fois impairs. Nous ne retiendrons donc expressément que les nombres impairs.
ïl serait fîicile de s'assurer qu'il suffit d'un assez petit nombre de termes du développement pour réaliser une charge pratiquemeul équivalente à une charge uniforme, 'du moins pour Tensemble de la plaque.
En se limitant aux quatre premiers termes, par exemple, ou obtiendrait, au lieu d'une surface de charge parfaitement réglée suivant un plan, une surface de charge plus ou moins mamelonnée, mais qui, pratiquement, serait aussi rationnelle que la première. Nous n^insisterons pas sur ce point, car dans le cas actuel il n'v a aucune difficulté à considérer les séries complètes et à profiler des avantages de leur convergence rapide. ■
Fai vertu de ce qui a été dit plus haut, la solution WtMn correspondant au lerme A,,,,, a pour ex(>ression
(I — r,*)p ib I niTT . nizy
Kl 7r« \ m*- /iM2 a b
La solution complète est, par suite,
(i-in*)>3 i6 v* I . rmzx . mzy
mn
FLEXION D£S PLAQUES PI^NES. 6a 3
la soninu' S s'étendanl à toutes les valeurs impaires de m et de /<, depuis runité jusqu'à riufini.
Celle expression est symétrique en a et b. On peul y mettre en
évidenec Tune ou l'autre de ces dimensions el leur rapport p —- j •
En meltant a en éNidenee, on oblient l'expression
En meltant h en évidence, on obtiendrait de même
(I — r.-)pb^ i6 v^ l .* niTtx . ni: y
^ sin sin — r^.
mn
Observations sur la convergence de la'sèric représentant n' et de ses dérivées successives. — On démontre dans les rours d'Analyse que la série double 7 - — ;: —-dans laquelle m et // peuvent
prendre loutes les \aleurs entières, de i à oc, esl absolument convergente, lorsque a est plus grand que 1 .
En effet, considérons tous les termes pour lesqu(»ls ni et n sont égaux ou inférieurs à un nombre donné .r. Leur nombre est j:-. De même le nombre des termes pour lesquels m et n sont égaux ou inférieurs ù .r+ 1 esl {x + 1 )'". I^n* suite, le noml)re de ceux pour lesquels Tiin au moins des nombres m et n est égal à .r -h i , sans que l'autre dépasse j? -f- î , est
Or, cluHHin de ces termes est au plus égal à
Leur >()mme sera donc au plus égale à
La série sera abs^olumenl convergente, pourvu que l'on ait
ax — I > 1 ou a > 1.
Ce résultat s'applique a fortiori lorsque les suitivs des nombres
m Cl n ne eomprenneni que les nombres impai;*s. Il s'applique encore à Ja série 7 — r-r-r» c\i\e\ que soit p.
Celte dernière série est une fonction du paramètre p qui va en décroissant lorsque ^ augmente.
Enfin, le résultat s'applique à la série entrant dans rexpression de II' j)uisqiie les difTérenlî? fadeurs introduits sont tous inférieurs à l'unité en valeur absolue, (^elte série étant absolument convergente, on peut la dériver terme à terme, soit par rapport à x^ soîl par rapport à y^ et les séries dérivées sont elles-mêmes convergentes. On peut s^assurer par le même procédé qu'elles sont absolument convergentes. Il en est de même des (dérivées secondes.
I^ar exemple, pour -j-i on aura à envisager la convergence de la série double
ni m*-+- 7i*p* ><* Or, on a é\idemment
Par suite, cette série est encore absolument convergente.
En ce qui «concerne 'les dérivées troisièmes, il en sera de même quand toutes les dérivations ne seront pas faites par rapport à une
même variable. Mais, dans le cas contraire, quand il s'agitde-7-j par exemple, on a à considérer une série double de la forme .
Sa convergence est liée à celle de la série plus simple
tM
qui est eiicore absolument con\ergenle.
-f iroupons en effet, dans cette dernière, les termes qui correspoii*-
dcnt à une valeur donnée de/?. Leur somme sera — A„ en désignant
|)ar Af, la série simple
■^" - 2i mt-,-n*
qui est convergente quel que soit /i. Sa valeur tend, d'ailleurs, vers zéro quand a croît indéfiniment, car on peut écrire
. m=p ms m '
et Ton peut, quelque soit/i, trouver un nombre fixep suffisamment grand pour que le second terme de celte somme soit plus petit que toute quantité donnée. Quant au premier terme,' il peut également être rendu plus petit que toute quantité donnée, en prenant n suffisamment grand. ^
En conséquence, la série^ — est absolument convergente.
