I-.ÇS dérivées quatrièmes de iv seront donc convergentes
En résumé, on pourra donc, dans tous les calculs où n'interviennent que les dérivées d'un ordre inférieur à quatre, opérer ces calculs terme à terpie.
Il faut, du reste, remarquer que les termes des séries obtenues ne seront jamais tous de même signe. Prenons, par exemple, celle qui
représente (v. Quelque soit le rapport -» le facteur sin est positif pour m = I , puis il passe alternativement par une série de
valeurs positives et négatives lorsque m croît indéfiniment. Il en
il ^ ^ ^
est de même du facteur sin — r^-
On pourra donc former des groupes de termes alternativement positifs, et négatifs suivant certaines lois procédant par valeurs croissantes de m et de ^, et la valeur absolue de ces groupes ira forcément «n décroissant à partir d'un certain rang puisque la série des modules est convergente. On pourra donc se rendre compte du degré d'approximation obtenu, comme pour toute série alternée.
Flèche au centre. - Lu des premiers résultais à déduire de l'expression générale de (t», c'est la valeur de la flèche au centre de
la plaque, qu'on obtient en faisant J7= -,y=: -• C'est un maximum
pour fv, attendu qu'on a alors -r- = -j- = o.
On a
niTz.r . /ht: , — ïT" sni = sin = ( — I) * ,
n — l PiGKAUD LjO
et, par suite,
•^ El 7r8^/n/i(m*-^/i*p«)* El ir^ ^^^
en désignant par F(p) la valeur de la série double. Pour calculer F(p), on peut grouper ensemble les termes correspondant à une valeur constante de m 4- /i. Le premier groupe, correspondant à /h + n=2, comprendra un seul terme (/n=i, /i = i). Le second groupe, correspondant h m-\-n = /\^ en comprendra deux (/w = 3 avec /i = i et m = i avec n = 3), et ainsi de suite. Ces groupes seront alternativement positifs et négatifs.
Le Tableau suivant donne, pour un certain nombre de valeurs de p, les résultats que Ton obtient pour F(p) en limitant les calculs à un groupe de rang égal ou inférieur à 5.
Un groupe '2,810000 0,640000 o,*a5oooo 0,040000 o,o»oooo
Deux groupes o,7'2*>.65i 0,604546 o, 9.43333 0,087784 o,oo89'>.i
Trois groupes 0,738093 0,609387 o^'Z^^à^S 0,088096 o,(H)9ir>.
Quatre groupes 0,734015 o,6o8338 o,244o38* o,o38oi8 0,009061
Cinq groupes 0,735659 0,608766 iy,'À4^n6 o,o38o45 0,009079
On voit combien la convergence est rapide. 11 suffirait, en pratique, de s'arrêter toujours au second groupe*, Terreur relative commise étant de Tordre de grandeur du centième.
Il est bien clair d'ailleurs, puisque rien ne distingue la suite des nombres m de celle des nombres /i, que Ton doit avoir la relation
A la limite, pour p = o, on peut mettre F(p) sous la forme d'un
produit de de.ux séries simples:
On connaît du reste la valeur de ces séries simples, doiinée dans les cours d'analyse :
r— i) * TT VC— i)""^ 57:5
Ir'^'i " 2
4 Xmâ /n<> -i* X 3
Ou en déduit
On en déduit aussi, en tenant compté de la relation
que, pour la limite 0 = 00, on a.F(p) = o. On aurait même p'F(p) == o, puisque p*F(p) tend vers une une lipuite finie.
Cela suffit à définir la courbe représentant F(pV Nous en récapi tuions quelques valeurs dans le Tableau suivant :
p = 0. ^ 3* ^ 2' p = l. p = 2. p = 3. psaoo.
F(p)... 0,7829.3 0,73566 0,60876 o,';t44ii o,o38o4 0,009079 o
Supposons, que a restant constant, on fasse croître b indéfiniijoieni, de manière que p tend^ vers zéro. La flèche tendra vers la valeur
•^ El 384'
c'est la formule qui conviendrait à une poutre droite de portée a, avec cette seule différence qu'elle contient le facteur i — r, 2. Il en sera de même pour la plupart des formules qui seront successivement rencontrées. Le facteur 1 — r^^ tient compte des liaisons qui sont imposées le long des côtés pandlèles à Oj?, lesquels ne peuvent s'abaisser comme dans la poutre droite.
Inclinaison de la plaque à son pourtour. — Désignons par J Tinclinaison de la plaque à son pourtour. Ce sera l'angle fait par son plan tangent avec le plan horizontal.
Considérons d'abord le côté OB, dirigé suivantOjK. L'inclinaison
est la valeur pour x =^0 de-j-- Le plan tangent contenant toujours
le bord de la plaque, la surface déformée s'y raccorde avec une surface réglée.
En utilisant la formule (A), on a d'une manière généi'ale
• dw (I — r,^)pa^ 16 v^ O nnza: . nizy
dx Kl • Tz» ^d n(m^ -h n*p^ y a b
Si l'on fait ^ = o, le second membre devient une simple fonction de y et Ton a
El TT* ^ n(/?i*-i- /i*p*)
On peut suivre les variations de J lorsque y varie entre o et i. Aux deux extrémités pour ^' = o et jk = ''^ on a J = o. En deux points symétriques par rapport au milieu du côté, c'est-à-dire pour deux valeurs telles que^ et j^'= h — y^ on a deux valeurs égales.
On a donc toujours un maximum pour y = --Ce maximum a pour valeur
en posant
Cette série est encore très convergente. Pour la limite p = o, la valeur de J(p) se présente sous la forme d'un produit de deux séries simples qui sont
1 L =r et 7 = ( > ),
Il 4 Jm^ nx* 96
de sorte qu'on a
Pour la limite c = 00 , on aJ(p)=:o. C'est presque évident, chacun des termes devenant nul. Mais voici une démonst^ralionqui s'applique à beaucoup d'autres cas analogues et qui précise Tallure de la fonction, en fournissant une limite supérieure. Groupons
(*) Voir Jordan. Cours d'Analyse^ t. I, p. 36o. Si n est entier, pair ou impair, on a .
B„ étant le wî*n>e nombre bernouliien. I>'autre part, si X représente la somme réduite aux seuls nombres impairs, on a évidemment
FLEXION DES PLAQIES PUNES. 629
ensemble tous les termes pour lesquels îi a une valeur donnée. . Leur somme sera la série simple
Or, on a, pour tout nombre a compris entre i et 4? l'inégalité évidente
Par suite, la série simple est inférieure à^ , ■ y — r---«
La somme figurant dans cette expression a une limite finie M pourvu que a soit inférieur à 3, de sorte que la série simple
considérée sera inférieure à — r— r-r-M.
;ia-Hi pa
La série double J(p) sera donc elle-même inférieure à
M Y JL -
nsl
en désignant par N la série convergente^ -^
On a donc non seulement J(p)i=o, mais encore ^'l{^^^z=zo pour p zrr x> . Ou a même p*J( p) = o pour a aussi voisin qu'on le veut du nombre 3.
Voici une Table sommaire des valeurs de J(p) :
. p:^0. ° 3' ^ 5* p-1. p = 2. p = 3. p = «^. J(p). o,8<>5>. 0,7498 o,63'^.i o,'Ji577 o,o45io o,oi4'>-5 o
On peut encore préciseï^ davantage Tallure de la courbe représentant l'inclinaison J le long du côté OB, en étudiant sa dérivée par rapport à j^. On a
dl ( i — 'f,* ) pa^ p i6 ^ I mzy
dy """ '- Ëï tÏ^ 2Li{m'--i- n^-p^y^^^ à
Cette dérivée s'annule pour j'= - et est maxima pour" ^" = 0 ely = b. Son maximum, pourj^ = o, est d'ailleurs la valeur que
63o CHAPITRE XXIII.
prend au sommet (a: = o, y = o) la dérivée seconde , i • 11. a pour expression
cfy' Kl 11* "^
en posant
Cette série est convergente ponr toute valeur de p, mais pour la
limite 0=0 elle devient infinie. C'est, en effet, la somme >. — r
répétée une infinité de fois.
Pour la limite p=:?oo, onaT(p)=:oet Ton verrait, parle même procédé utilisé pour J(p), que Ton aurait pT(p) = o et même p«T(p) = o pour a aussi voisin qu'on le voudra du nombre 3.
Voici une Table sommairç des valeurs de T(p) :'
p = 0. ° 3' ^~'2* p=l. p = 2. p = 3. p^oc.
T(p) 30 ijO.ose 0,79-28 0,7.798 0,0495 0,0148 o
Considérons maintenant le côté OA, dirigé suivant Ox. L'inclinaison est la valeur pour j' = o de t-« Si l'on part de la formule (B) on trouvera
I (1 — r^^)pb^ 16^ 1 . mil
J est nul pour j; = o et a? = a, et est maximum pour :r = ~ » la valeur de ce maximum étant : ' .
I (i — V)/pfe* 16 yi (—1)'"-' (1 — ii')/>6' 16, /i\
Le coefficient angulaire de la courbe pour j: = oserait le môme
que précédemment, puisque c'est la valeur de , pour x = o,
y z= o. On le vérifierait facilement, d'ailleurs. Les courbes représentatives de J sur les deux côtés de la plaque ont donc mêmes coefficients angulaires aux sommets.
Les flèches de ces courbes sont dans le rapport de a' J(p) à i*Jf - j •
Ce rapport est donc ^ — — et est facile fà calculer pour diverses
valeurs de p. On trouve, par exemple^
Calculs des tensions N| et N2. — Comme pour les plaques circulaires, nous supposerons qu'on calcule toujours ces tensions pour la base supérieure en faisant 3 = A. '
Calculons d'abord
[dx^- ^ dy^ J
Nous trouverons, en calculant ^— ; au moyen de la formule (A) et -T-7 au moyen de la formule '(B) :
16 r «V^ ni .. mit.r . nizY — \ a^7 — : sin sin — ;^-
La tension N| est nulle sur tout le pourtour de la plaque. Partout ailleurs elle est négative, le signe des séries doubles étant déterminé par celui de leur premier terme.
Le maximum a lieu pour x= — i r = -» c'est-à-dire au centre de la plaque. Il a pour valeur
max Ni = ~
Si Ton désigne par N(p) la première série double,' facteur dea^ dans la parenthèse, la seconde série aura pour valeur N ( - j > car rien ne distinguâtes deux suites de nombres m et /i, et l'on pourra écrire
6'i2 CHAPITRE XXIII.
plus simplement
max
L'application de cette formule est très simple quand on a calculé d^avance la fonction N (p) pour un certain nombre de valeurs de sa variable p.
Pour la limite p = o, la valeur de N (p) se présente sous la forme du produit des deux séries simples
m» 3aL
On a donc N (o) = -V. = o, t^oû.
Pour la limite p =: oo , on a N (p) = o, et Ton démontrerait mémo que le produit p"]N(p) tend vers zéro, quand a <; 2, mais aussi voisin de a qu'on le veut.
Voici une Table sommaire des valeurs de ^ (p) :
N(p) 0,7609 0,7163 0,5879 o,;/>./|>. (),0J57ii 0,00417 ^
En ce qui concerne No = — - ( yi -7— -f- -7-7 ) 1 on ferait des
calculs tout semblables, et l'on obtiendrait en particulier pour le maximum de Na Texpçession
axN, = --^^- ~rr,fl2N(p)-+-6«N^'i)
II est intéressant de comparer le maximum de N| au maximum de N2, car c'est le plus grand des deux qui déterminera la fatigue du métal au centre de la plaque. Or, le signe deN| -- N2 est déterminé par celui de l'expression
ou encore de l'expression
Or, quand p est plus grand que 1, celle expression est toujours négative. On peut s'en assurer par le Tableau ci-dessus.
Par suite, quand a > 6, c'est le nia:siiiium de IN 2, tension parallèle au plus petit côté, qui est à prendre en considération.
Calcul de T3. — On a Texpression générale
i-HTi dx dy (r — r^*; dx dy
En calculant la dérivée seconde, d'après l'expression (A), on
trouve
, phii — Ti) a' iGv^ I irnzx mtzy
T3 = ' j ■ — ; > — ; r4-7 cos cos — r^ .
On a T3 =: o au milieu de la plaque et tout le long des parallèles aux axes passant par les milieux des côtés, car on a alors
soit- =. - , soit / = - ï et l'un des deux cosinus s'annule. ai 01
Le maximum de T3 a lieu aux sommets, car en ces points ses dérivées par rapport k x Qly sont nulles à la fois.
En un point quelconque du contour, comme on a N| = N2 = o, les tensions principales ont leurs directions inclinées à 4*^" pî*r rapport au contour et ont pour valeur =h T».
Pour avoir le maximum de T3, il suffît de faire j? = o et^= o, ou de remplacer les deux cosinus par Tunité. On trouve doftc :
maxl3= j '- ':^^{?),
T(p) étant la fonction de p précédemment envisagée.
11 est utile de comparer le maximum de T3 à celui de N2 dans
riijpothèse r r= p >> 1 , car c'est alors de la plus grande de leurs
valeurs absolues que dépend, en définitive, la fatigue maxima de la plaque. Les expressions à comparer sont proportionnelles à
Ti
N(p)H-i,N(i) pour N:
et
(1 — •/i)pT(p) |)our Tj.
Le résultat dépendra cette fois de la valeur du coefficient de
Poisson. Supposons d'abord ri= -• Nous trouverons
Xj 0,2815 0,1 540 (),oS!o6
Dans ce cas, c'est la valeur de N^ qui remporte toujours. Supposons maintenant ti = oj nous trouverons :
Ta 0,7798
On voit que, pour des plaques se rapprochant de la forme carrée, c'est la valeur de Tî, qui pourrait l'emporter, lorsque le coefficient 7j est très petit. Cela pourrait expliquer les ruptures aux angles que l'on constate dans des plaques en ciment armé, plus ou moins bien armées d'ailleurs pour résister à des efforts principaux égaux à Tj en valeur absolue, et dirigés suivant la bissectrice de Tangle et suivant la direction perpendiculaire.
Calcul de9 réactions au pourtour de la plaque. — Considérons le côté OA dirigé suivant O^. L'effort total de cisaillement sur un élément plan perpendiculaire à oyj et ayant toute l'épaisseur de la plaque, a pour valeur
^, ' VA r d^w rfscvl Er d .
T . = I . .,1. .4 I —5 - Kvu
i {i^r,^)Ydx*dy dy^\ i — r^^dy '
. En calculant encore les dérivées d'après l'expression (A) de iv, on trouve
(i — T.») . 16 V' I . mizx . /iitv
On en déduit :
, a* 16 v^ I m'îzx ntzy Ti = — p— > — - — r r— — -sin cos — r^-
Ce résultat est indépendant des coefficients d'élasticité. Faisons maintenant y = o^ et changeons de signe, nous aurons la réaction R développée au point (xo) du côté considéré. Nous
aurpns donc, en remplaçant d'ailleurs y par bp^
R = n6— - > -^ -—^sin . -
Cette réaction est nulle pour j: = o et pour a? = a, c'est-à-dire aux sommets de la plaque. Elle est maxima pour a; = - et 'son
FLEXION DBS MJLQUES PLANES.
maximum a pour valeur
jff— 1
ir'
En prenant la dérivée de R par rUpport à a?, on trouve
dx "^ 71* a ^/n*+n*p>
p* mTCT
«^ cos
Cette série est convergente en général; c'est d'ailleurs une somme de dérivées quatrièmes de w. Elle est nulle pour ^ = —• Mais pour a: = o, ou a? = a, elle devient infinie, la série double Sm^-T/i'p^ n^étant pas convergente.
Fig. 190.
11 en résulte que la courbe qui représenterait R a en gros la forme d'une demi-ellipse, dont l'un des axes serait oA, et dont le
demi-axe perpendiculaire aurait pour valeur — ^ I^(p)-
Étudions les variations de la fonction Rfo) = 7 T ', r—r-
Elle croit constamment avec p. Elle est nulle pour p = o. D'autre part, pour p = qo , elle a pour valeur
iw — 1 w~1
21 ir TT» TC»
de sorte que pour p = 00 on a
• roax R = ^-— •
Pour toute autre valeur de p, le maximum de R est donc inférieur à ^* Autrement dit, si l'on fait >y = 1 , et que l'on trace dans
636 GHAPITnB XKIII.
ces conditions la courbe représentative de R sur le côté o A, cette courbe se tiendra tout entière au-dessous de la droite joignant les milieux de OB et de AC.
Voici, d'ailleurs, une Table sommaire des valeurs de R(p) :
Il est bien évident qu'en étudiant les réactions R tout le long du côté oB, on obtiendrait des résultats semblables. Le maximum
de R se produira au milieu de oB et aura pour valeur — y- R ( - j •
Les quatre courbes représentatives de R, pour/>= i, auront donc la disposition de la figure ci-dessus. Elles se recouvriront en partie au voisinage des angles (parties hachurées), et laisseront entre elles un certain intervalle vide (partie à doubles hachures) vers le centre. La somme des parties simplement hachurées doit évidemment être égale à la zone doublement hachurée, puisque le total des aires des courbes doit reproduire la surface du rectangle de la plaque.
En pratique, lorsque l'on aura à apprécier les conditions de résistance des poutres formant le cadre de support de la plaque, il suffira amplement d'assimiler à des ellipses les courbes représentatives de R. Ce calcul ne saurait d'ailleurs avoir une prétention absolue à la rigueur, car il suppose absolument indéformable le cadre de la plaque. Aussi «e contente-t-on généralement de règles approximatives telles que la suivante. On divise la surface de la plaque en quatre parties, deux trapèzes et deux triangles, en menant les bissectrices des quatre angles et enjoignant leurs intersections deux à deux par une parallèle aux plus longs côtés. On attribue à chaque côté du cadre une charge proportionnelle à la partie qui lui est adjacente. La théorie qui précède permet de se faire une idée de la valeur pratique de cette règle.
Examen sommaire du cas d'une charge incomplète. — Navrêr avait également abordé le cas d'une plaque chargée d'un poids uni-' forme sur une partie seulement de sa surface, partie limitée à un rectangle de côtés parallèles à ceux de la plaque. Les résultats qu'il avait obtenus sont en partie erronés, mais il est intéressant de
montrer que le principe de sa méthode s'applique encore entièrement.
Soient x\y les coordonnées du centre du rectangle chargé, et soient a! et V les longueurs de ses côtés respectivement parallèles à Ox et O^'.
La fonction f{xy) représentant la charge e!>t égale à p à l'intérieur de ce rectangle, et égale à zéro sur le surplus de la plaque.[En développant celte fonction en série de Fourier de la forme
le coefficient A;,,;, a pour valeur
= -~ / rta sin / a3 sin — r —
ab J „. 'J- J , U' o
On en déduit
. .i/> r mr. l , a'\ mr. [ , tt"\"l
OU encor»?
i()p . m-nx' . niTza' . nr.v'. nr,b'
^m:i=^ ^ Sitl SI 11 Sin — 7^ — 910 7—»
Tz^mn a . 'la b ib
Ici, m cin peuvent prendre toutes les valeurs entières paires ou impaires^ tant que x' et ^' sont quelconques. Mais si Ton se
limite au cas d'un rectangle concentrique à la plaque, on a jr' = - >
y' = -■'el Ton a A„f„ =: o pour toutes les valeurs paires de ///,. ou
de /?, de sorte que Ton n*a plus à considérer que les suites des
nombres impairs, comme précédemment. On a d'ailleurs alors
•. . ni~x . niTi — z —
sin = sin = ( — I ) * ,
sin-T = {—{) * , .
6)8 'CHAPITBB XXIll.
de sorte que l'on a finalement
Le problème actuel ne diffère donc de celui de la plaque complètement chargée que par ce fait que le coefficient Amn contient
comme facteurs de •\ - y d'abord un produit dé sinus gui est
toujours inférieur à V unité en valeur absolue^ ensuite Texpres-
sion ( — i ) * qui modifiera les signes d'une manière très
variable, suivant les rapports — et y La solution sera néanmoins
obtenue terme à terme, comme précédemment, et les séries doubles introduites dans les calculs seront toujours absolument convergentes, dans les mêmes conditions que précédemment. Toutefois, en ce qui concerne la convergence de ces séries, il faut s'i*ttendre à ce qu'elle devienne beaucoup moins rapide, tant à cause des lois différentes qui régleront Talternance des signes des différents termes qu'à cause des rapports différents qui pourront s'établir entre les grandeurs relatives de ces termes, au moins pour les
premiers, tant que les tacteurs sm et sm — r- auront une
* * aa •xo
influence appréciable.
On- conçoit, d'ailleurs, que la convergence dé ces séries est intimement liée au nombre des termes qu'il faut conserver pour avoir une représentation approchée suffisante de / {xy) sur to^te l'étendue de la plaque. Cette remarque est absolument générale. Dans les problèmes pratiques, il est utile de commencer par la recherche du nombre des termes qu'il faut prendre dans la série de Fourier pour avoir une représentation suffisante de la charge. ^
Indication sur une méthode due à M. Maurice Leyy dans le cas d'une charge uniformément répartie sur des bandes parallèles à Ihin des côtés. - Lonsque la fonction /"(jTy) qui représente en chaque point la charge ne dépend que de l'une des variables, x par exemple, au lieu de la développer en série double suivant la méthode de Navier, on peut la développer en une série simple de.
sinus et la mettre sous la forme
na*
Alors on peut satisfaire à Féquation de Lagrange terme à terme
en posant •
