. mr.x v^ B;,»sin— ^ =^wp/w

et en considérant B„« comme une fonction dey seul.

Posons pour abréger — =t: ;\ nous aurons

cix^

= — /*'B/„ sinrar,

-ikW

rf«B

dy

dy^ dy"^

j — r»B/nj sin/^r,

Siïirx,

ffi

AAcv

V dy^

dy^

1 sin rx.

L'équation de Lagrange sera satisfaite terme à terme, si l'on a

dy'

ir^

dy'

VA

Posons

— p.* A„t=z P/«r*. L'équation différentielle en B,;, a lié t.

pour solution particulière B,„ = P,,,. D'autre pari, son équation caractéristique se réduit à (a^ --/•-)*'*=: o, et a deux racines doubles ± r\ Il en résulte que Tintégrale générale est de la forme

B,„ = P«,H- (C H- Giy)en ^ ( D h- D,y) en.

On pourra disposer des quîitre ^constantes -arbitraires pour satisfaire terme à terme à différentes conditions qu'on aura à s'imposer sur les côtés parallèles à Ox, c'est-à-dire poury = o

et r = ^-

Par exemple, si l'on envisage une plaque simplement appuyée sur son pourtour, on aura à exprimer les quatre conditions

et

dy^

pour y = o

et

On peut également envisager une plaque qui, restant simple-

040 CHAPITRB X\tll.

ment appuyée suivant les deux côtés parallèles à O^ (pour x = 0 et X = a), serait encastrée suivant les deux autres côtés. On aurait alors à (exprimer les quatre conditions

w^, = o ' et — r — = o pour ^ = o et y = o,

C*est là une ressource nouvelle que ne fournissait pas la méthode de Navier. Mais il faut remarquer par contre que cette dernière s'appliquait au cas de charges quelconques.

Les fonctions dey désignées par B,« étant complètement déterminées, si Ton sépare dans chacune d'elles le terme l?m de manière il écrire

On voit que l'expression générale de iv sera

mizx

Chaque terme tel que P,wsin- — ^ satisfait à Téqualion

. - . niTx (i-^Tn*). . mr.x

r* V,n sm =: TT. — A;„ sin ,

a Va a

de sorte que w satisfait à l'équation

C'est Téquation de Lagrange simplifiée qui conviendrait à une plaque ayant comme seuls appuis les côtés b parallèles à Oy* Elle ne Miflere de celle qui conviendrait à une poutre droite que par l'introduction du facteur (r -v;'*^) dans le second membre. On pourra donc la déterminer par les procédés habituels.

Quant à SB'^,, sin — ^> qui complète l'expression de fv, c'est une

fonction qui satisfait terme à terme à l'équation de Lagrange, privée de second membre, c'est-à-dire à l'équation

A Atv = o.

(4'est conforme à un principe général, que nous avons indiqué précédemment.

Ces résultats généraux étant exposés, examinons sommairement le cas où il s'agit «d'une plaque uniformément chargée sur toute sa surface et simplement appuyée. Alors

et 1 expression de A,« est

A„|= -^ / sin aa = — ^-- (m étant impair .

On en déduit

Quant à B,,,, en posant h — y=zy\ et en remarquant que tout est symétrique en j^ et^', on pourra lui donner la forme

11 s'agit de déterminer C et C|, de manière à satisfaire aux deux conditions

iVf„=^ o et , ^ = o pour y = o.

La première condition s'écrit immédiatement

G(i H-c'"*)-f-C|ôe'-^-j-i='o.

D'autre pari, on a, en observant que ^= — » ?

= /'S f C(cô--f- e'v') -H Cl (^^ e'TH- ^' e'T')) 4- ur Ci(e'v>'4- en').

m dy

y m dyi

La seconde condition s'écrit donc

C(i -+- en) -f- C,6 ff'^'-h -, C|(i -i- e''^) = o. Si Ton en retranche la première, on obtient pour C| la valeur

PiGKAUP 4

64i CHAPITRE XXIII.

Ensuite on obtiendra

G = 1.[,4-Ci6«'-''].

Posons maintenant

p,„ = (:(eo-4- en\) h- Ci {y e'r-h y' e'y), nous aurons

et la solution se présentera finalement sous la forme

= IV r^T — - T Slll

Kl r.^ Jkaà m* a

Quant à iï'', c'est la solution de l'équation

6?ar* ~" Kl ^

qui satisfait pour j? = o et pour ar = a aux conditions tv' =:= o

d*w' T^ii

el , ^ = o. ii.Jie a pour expression

ri — T^*)/? x/ , - ,\ ^ -

«V = , . , '^Kxix — a)(X' — ax — a^).

On passerait de là au calcul de la flèche au centre, et à celui deN,,N2,T3, etc.

On peut remarquer que, dans l'expression de (r* la présence

sous le signe 22 du facteur — assure la convergence très rapide de

la série et de toutes celles que Ton obtient par une, deux ou trois dérivations, soit par rapport à a?, soit par rapport à J^ On n'auradonc pas besoin de calculer un grand nombre de coefficients C et C|. ^

On peut remarquer aussi qu'on obtiendrait une solution toute semblable en permutant x avec y. On pourra employer les deux concureniment pour faciliter dans certains cas le calcul des dérivées.

fleXlIon des plaques planes. 645

V. — PlAQÛBS rectangulaires ENCiSTRÉBS SUR LEURS QUATRE CÔTES

ET UNIFORMÉMENT CHAttGÉES.

11 s'agit cette fois de trouver une solution w de Téqualion de Lagrange qui satisfasse sur le pourtour de la plaque aux conditions suivantes :

a. En premier lieu, «' doit être nul sur tout le pourtour. Il s'en suil, quand cette condition est remplie, que -^ := o tout le long

de Ox et du côté parallèle à Ox, el que — =:^ o tout le long de

Oy et du côlé parallèle à Oj\ Il s'ensuit encore que Ton a à la

X* • div dsv 111 1

lois — ::=: o et «r- = o aux quatTC angles de la plaque.

b. En second lieu, la condition d'encastrement au pourtour signifie que Ton doit avoir, tout le long de O^, -7- --= o, et de

même, tout le long de O y, la condition -^ 1= o.

On peut remarquer, en passant, que ces conditions exigent que

l'on ait tout le long de Ox et de Oj-, et que, par suite^ la

tension T3 soit nulle sur tout le pourtour de la plaque encaslDce.

Ces conditions sont difficiles à satisfaire terme à terme et elles

sont incompatibles, en tout cas, avec des développements en séries

de Fourier, simples ou doubles, les fonctions trigonométriques

telles que sin — ^n'étant pas aptes à remplir les deux conditions

^ dw '1

<v :.— 0 et ~T- = 0 pour X = o, par exemple.

Le problème, malgré sa grande importance pratique, est encore imparfaitement résolu. Toutefois, des solutions approximatives peuvent être obtenues dans l'ordre d'idées suivant.

En principe, la solution doit pouvoir être composée de la somme d'une solution quelconque W de Téquation de Lagrange et de solutions de l'équation de Lagrange sans second membre AAiP = o. Ces dernières solutions sont en nombre infini, et Ton peut cliercher à en composer, par voie d'addition, une solution suffisamment générale pour satisfaire aux conditions d'encastrement on autant de points du contour qu'on le désire. Les solutions, de

réquation AA(v correspondent à toutes les formes que peut prendre la plaque sans -charge, lorsqu'on la soumet à des forces quelconques agissant exclusivement sur son pourtour.

Comme solution W, on peut prçndre celle qui correspond à la plaque simplement appuyée. Elle satisfait aux conditions (a) ci-dessus. Mais, sauf aux-.angles, elle ne remplit pas, lès conditions (b) relatives à rinclinaison de la plaque.

En des pointa ordinaires du côté OB, dirigé suivant Oj', nous avons vu que Ton a

dW (i r,»)/7a3 16

iU El

ib v* ï . '^^y

-T 7 : ^ , , sm — 7^ •

rJ émà Ni { m» -f- /i* p« ;« b

La série 2 est une fonction de y^ qui présente^ quel que soit p, l'allure générale suivante. Elle s'annule pour j' = o et j^ = Z>, et

passe par un maximum pour j^' = - • Elle est d'ailleurs symétrique

■et prend des valeurs égales pour deux valeurs telles que j' et b — y^ puisque n est un nombre impair. On pourrait en calculer la

valeur pour autant de valeurs de j' que l'on voudrait entre o et - • Pour y = - en particulier, on a

ftW (I — r*)pa'i i6 ,, ,

De même, en des points ordinai^-es du coté OA, dirigé suivant O jr, on aurait -r— ég-ale à une fonction de x s'annulant

pour X 1== ô et pour:r = a, et ayant pour x =: - un maximum, dont nous connaissons la valeur :

riW (i — ■f,^)f)a^ i6 I

D'un autre côté, parmi les solutions de l'équation AA(V =^ o, on peut envisager celles qui sont de ki forme

f(G-+- Ciy)€n-i-{D-+- Diy)e-'y]suu\r,

et celles qui s'en déduiraient par periiuilation de x et de )*. On peut clioisir sj)éc'ialement celles qui présentent des caraclère"^ gêné-

FLEXION DFS PLAOt'E^ PLANES. 645

raux analogues à ceux de la solution W, c'est-à-dire s'annulant sur le pourtour, et symétriques à la fois par rapport à a: et a — X =: x\ et par rapport à y et 0 — y= y. Considérons en paniculierla solution

.^ iv,„=cp(j^)sin-^

dans laquelle la fonction o a pour définition

et dans laquelle m. représente un nombre entier impair. Cette solution s'annule 'bien sur tout le pourtour et elle ne change pas quand on remplace x par a — x = x\ ou bien y par b — y =y\ lorsque m est un entier impair.

On a, d'une manière générale,

diVfn /m: , - mizjr

— — = ?(r) cos — —j

de sorte qu'en un point ordinaire du côté OB| (.r:=o) l'inclinaison est

?Cr)-

C'est une fonction de j', qui s'annule pour )'-— o et^'=? 6, et qui est maxima pour y =iy' =: -, car la dérivée -p est nulle pour

cette valeur. Pour y = -> le maximum a pour expression

, , r /n w /* tn'Kb'l

dx a

On a aussi, d'une manière générale, le long du côté OA,

diVf'„ /do\ . mr,r dy " \dy)o <ï

\-7^) étant la valeur de —- pour y = o. Cette dérivée est facile à calculer. On a, en posant pour abréger — - =z r,

646 CHAPITRE xxiir.

€t, pour j' = o, on a "

(, . 'mi: h tniztt , a O \ , , , , "ZT' — :r" ''t ^ à -y- = e^'f'-^-erf'-^'irb — e " -\- e " -h'?.

L'inclinaison le long du coté OA est donc une fonction sinusoïdale. #

Elle s'annule pour j? = o et pour a? rrr a, passe par un maximum

ou un ninumum pour x = -y car, m étant impair, sin — =±: i .

On a certainement un maximum et un seul quand m = i . Si m est plus grand que un, on a plusieurs maxima, ou minima successifs eX égaux, symétriques par rapport au milieu du côté. Mais si Ton n^envisage la solution \^m\ q"^ comme l'un des termes d'une somme telle que

«ï' = 2 Cm W

dans laquelle le terme C|W| soit prépondérant, la fonction w conservera le même caractère que W, en ce qui concerne l'allure de

sa dérivée -t— pour y =. o. bn tout cas, pour j?,== - , on a pour —7 —

la valeur absolue . ,

- # f V tnttb inTCh . ,

e " -he "H- >.

Si Ton permute a et 6, en môme temps que x ely^ on aura une série de solutions analogues, jouissant des mêmes propriétés générales et que nous désignerons par iv'^^^ pour les distinguer des autres.

Cela établi, considérons la solution

= în-

Kl

obtenue en ajoutant à W les n premières solutions (v,« et les n premières solutions (r^,^, respectivement multipliées par des constantes G,« et C„^. On pourra disposer de ces n-^-n constantes, de manière

que -T-; s'annule en . n points convenablement choisis sur Oy

et que -7- s'annule aussi en n points convenablement dioisis sur Ox. Comme, dans le cas considéré d'une charge uniforme, W,

iv,f, el iv',,^ sont sjmélriques en x et x\ et en y ety\ l^nclinaison de la plaque sera même nulle en tous les points symétriques de ceux qui auront été choisis, sans compter les sommets. En choisissant les nombres n el n suffisamment grands et en prenant pour les points d'inclinaison nulle des points régulièrement espacés sur chacun des demi-côtés, on voit que l'on pourra s'approcher autant qu'on le voudra de la solution complète et exacte qui assurerait à la plaque une inclinaison nulle sur tout son pourtour. . -

Cas d'une plaque sensiblement carrée. - - On obtiendra déjà une approximation très intéressante dans le cas d'une plaque sensiblement carrée, en se bornant à considérer les deux premières solutions (P| et (i^', correspondant à m = i , de manière à former la solution

comportant deux arbitraires seulement. On pourra disposer de Ci et C, de manière à annuler l'inclinaison de la plaque au milieu des deux côtés OA et OB. De cette façon, Finclinaison de4a plaque sera partout relativement petite, par rapport à ce qu'elle serait dans la solution W, car elle sera sur chaque côté la différence de deux fonctions ayant même allure générale, des points communs extrêmes, des points communs avec tangente commune au milieu du côté.

Au milieu du côté OB, on a

en posant

dw I t: b dx "^ a

ni»

j , TZfl Tin

-7-î- = 6* — e " -^ }.Tz -r ~ e^P — «"'*? -f- '2 7rp. dy b "^

* Par suite, la première équation de condition est