C- U'^-. c~*P J H- C\ [e«P— c-J^P-^ a;îj3] = P J

La seconde s'en déduira en changeant a en 6, C en C et p en -

et Ton obtiendra

Si l'on met P en facteur dans les coefficients C| , C\ , de manière à poser C| =Py, C\ =Pv', les coefficients y et y' ne dépendent plus que de p, et Ton peut les calculer une fois pour toutes. En voici quelques valeurs: ^ ,

Y -. .... o,oooo347 0,006878 0,009551

^ Y o,co955i 0,005878 0,0000347-

Une fois les coefficients y et y' calculés, et par suite les coefficients C| et Cj, on pourra en déduire les flèches, les tensions, les réactions d'appui correspondant à chacune des solutions complémentaires G,, (V| et G', w\ et les ajouter aux flèches, tensions, réactions de la plaque simplement appuyée à son pourtour.

A titre d'exemple, nous poursuivrons le calcul, dans le cas d'une plaque carrée.

La flèche au centre, due à la solution W, est

La flèche au centre, due à la solution G| (V| = I^Y? (j") ^^^ "~"

s'obtient en faisant ic =s r = - - On a

o/ — ) = aie* — e *y=4»6o26a et sin — ^i.

Par suite, la flèche est

i -^fi- 7: X 0,000878 X 4,6026.

Le'coefficient de^^ ^r~ — "^ —est approximativement 0,08499*

Il faut le doubler pour tenir compte de la solution complémentaire G', (v,, puis le retrancher du coefficient F(p) = o,244ïa applicable à la plaque carrée amplement posée. Il reste 0,074*4? c'est-à-dire environ o,3o3 F (p). •

Aulrenient dit, la flèche de la plaque carrée encastrée n'est q"^ l^s j^ ^de celle de la plaque simplement appuyée à son pourtour.

Calculons maintenant la tension N4, au centre de la plaque.

Celle qui est due à la solution W a pour expression

et Ton a

N. = --^^«--(. + ri)N(

Pour la solutioa complémenlaire t'y ('*'• + "^'i )> ^^ *

diw\

d^wi d^w\

dœ^ / ' dy"^ ' • dy Mais, par raison de symétrie, pn a, au centre,

dx^

et, d'autre part,

On a par suite

dy^

Eh

et

dy^

dx*

iPï =

ph , 16

Ni = -

Or, ,il est facile de calculer terme à terme AiV|. Prenons, par exemple, le terme A=:ye''y' sinrx^ où r = ~* Nous trouverons,

en tenant*compte de ^ = — i :

-7— = — rX H- eO sm/'.r, dy

-- — = /'S A — 9. r e''y' si n rx, dy*-

A A = — •>. r cO' sin r a:.

En opérant de même pour les autres termes, ou, plus généralement, en observant que, pour une fonction F satisfaisant à la

condition A F = o, on a nous trouvons au total

Finalement, la solution complémentaire donne

Ni = -i- -^J^ r«*(«-HTj X 4 Y X 4,6oa6 = -h ^^ ra*(t-+- tJ x 0,108:22.

La tension résultante est donc

Ni = — -^^ ^«^U^-'î) X 0,1170.

C'est encore une compression. Elle est environ les ^ de celle qui se rapporterait à la plaque simplement appuyée.

Calculons ensuite la tension ]N| au milieu du côté OB, a

La solution W fournit un résultat nul. Il en est de même de la

solution Pv (Pi, les deux dérivées secondes , .' et , ^ contenant

le facteur sin vx qui s'annule pour j: =: o. Quant à la solution w\^ elle fournit, en tenant compte des résultats trouvés pour (v, et en permaiant xety:

dx^

Finalement, on trouve

Ni = -Î-; r «* X >.Y X *^3.o97 = ^t r «* X 0,27153.

Cette tension est positive. EAle est indépendante de t). Elle est toujours plus grande en valeur absolue que la valeur de N« au

FLEXION DES PLAOVES PLANES. <>âl

centre, car on a toujours

0,^71 5 > (i-f-,T^)o,ii7().

Si Ton admet 7^ = 0,3, le second membre de cette inégalité est o, 1627 environ.

La tension au milieu du côté est, dans ce cas, environ 1,7;*) fois la compression au centre. Dans cette m(}me hypothèse, elle serait environ les ^ de la compression au centre d'une plaque simplement appuyée, car, pour celle-ci, on aurait (i-^-'^i) 0,2262 = 0,292-^ environ.

L'encastrement d'une plaque carrée réduit donc sensiblement sa déformation, et notamment la flèche au centre. Mais elle réduit assez peu le taux dé fatigue du métal. Elle peut même l'aggraver lorsque vj est petit. ^

Enfin, examinons ce que deviennent les réactions au pourtour.

Dans la solution W, qui est celle de la plaque simplement appuyée, la réaction R est nulle aux sommets et atteint, au milieu -des côtés, son maximum, qui a pour valeur

Paax = />« ■::5 X 0,6168.

La solution complémentaire Py (<V| -f-tt', ) donne le long du coté OA

R= — ^^^ Py -^A(jvi-h w'i) pour y = o, I — ïi* * av 1/ r ./

On a d'abord

Kl p ,16

Ensuite on a \

A(Vi = — 2r s\nrx[e''y -^ e-f'y-i- c'y' — en']^

■d'où, pour j^= o,

d -— AtTi == — vît' sinrar[ôO-he- n' — eo' — e-o'J = 9./**[e'^H-e-^ — 1] sinrx.

On a Je même

d'où, pour J)^ := O,

Pour ;r = o, la solution complémentaire donne comme résultat

i6 , ^ iG

— /^o — x^YCe^— 6"^) — — P^-^i ^ 0,9.7103.

C'est une réaction dirigée de haut en bas. Inversement, la plaque tend à soulever son cadre au voisinage des sommets.

Pour X = -, la solution complémentaire donne comme résultat

/>a— X ivLe^-i-c-^ — 9— /.le* — e *Jj =:pa^ x 0,1408.

Il faut ajouter ce résultat à celui donné par la solution W. Il est

environ les -^ de ce dernier.

Ainsi, Pencastrement de la plaque carrée modifie assez profondément la répartition de la charge sûr son cadre de pourtour. Au milieu du côté, cette charge est majorée d'environ 28 pour 100. Elle devient négative aux sommets, au lieu d'être nulle, et elle atteint, en valeur absolue, le double de la majoration précédenle.

Il serait fort intéressant d'entreprendre des déterminations du même genre pour des plaques s'écartant sensiblement de la forme carrée, et notamment pour la plaque correspondant à p = 2. Les coefficients y et y' donnés plus haut pour c^ cas nie doivent d'ailleurs être acceptés que sous réserves, et il serait utile de composer une solution complémentaire en adjoignant, aux deux solutions simples fP| (V'j, la troisième solution iv^y qui permettrait d'annuler l'inclinaison de la plaque, non seulement au milieu des côtés, mais aussi aux quarts du côté le p^us long, de manière à répartir uniformément les points d'inclinaison nulle sur tout le pourtour de la plaque. On aurait trois équations simultanées à résoudre pour déterminer les trois coefficients, et l'exécution matérielle des calculs demeurerait abordable. '

VI. — Plaques rectangulaires appuyéiss sur un cadrb élastique.

Lorsque le cadre sur lequel s'appuie la plaque est élastique, au lieu d'être indéformable comme nous l'avons supposé jusqu'ici, le

pourtour de la plaque cesse de satisfaipe à la condition iv = o. Il faudrait écrire que, sur le pourtour de la plaque, ses déformations sont partout égales à celles des poutres constituant le cadre de support. A défaut de solution complète, on peut s'en approcher par des procédés analogues à celui qui a été employé pour la poutre encastrée. On ajoutera à la solution W, qui convient à la plaque sur appuis rigides, des solutions de la forme

C,/iiv,„= C,„ çsirira?

dans lesquelles /• = — ~, avec m impair, et

ou bien des solutions semblables obtenues en permutant x en y et rt en 6. Puis on disposera des coefficients arbitraires C,„, de façon qu'en un certain nombre de points choisis les déplacements verticaux de la plaque et de son cadre soient égaux.

On peut d'ailleurs, pour simplifier, supposer que deux seulement des côtés du cadre soient élastiques, par exemple ceux qui sont parallèles à Ox^ et appliquer le principe de la superposition des eflets.

Considérons la solution w = o sinrx.

Elle est telle, que tout le long du côté OB, dirigé suivant or, on a

d^ w d* iv

' dx^ ' dy^

Par suite, N, et Nj sont nuls le long de ce côté.* On peut, d'autre part, établir entre les deux coefficients A et B une relation de proportionnalité telle que N2 = atout le longJu

côté OA. Pour cela, it suffit d'écrire la condition ri -j-j -f- -j-^ = o, poiir^ = 0.

Or, on a

di w

= — /•- o sin/'x,

dx*

——L z= r- o sinrr -f- 2B/-(e'V -h c'y ). dyi ••■ .

654 CHAPITB'B XXtII.

La condition dont il s'agit s'écrit donc -

'•*(i ~ >)) [A(i -4- «'•*) -4- Hb cr*] + 9.Br(i -4- e'"*) = o

et Ton pourra prendre

A = r^^(i~Tî)-i-:î(i-rt-«'-*), .

B = — r(i — Ti)(n-e'-^).

On pourra alors calculer les réactions complémentaires que celte solution provoquerait sur le côté OA du cadre, et déterminer les abaissements qui en résulteraient en différents points choisis.

On opérerait de même pour autant de solutions qu'on le voudra, correspondant à diverses valeurs de l'argument m figurant dans r. On serait alors en mesure d'écrire qu'aux points choisis la solution

amène les mêmes déplacements pour la plaque et pour la poutre du cadre.

Lorsque la poutre du cadre possède uile grande rigidité, et que ses abaissements sont petits relativement à la flèche de la plaque en son centre, on peut négliger les perturbations qui sont provoquées dans sa déformation par la solution complémentaire, et admettre que cette déformation demeure sensiblement la même que dans la solution primitive W. Il ne s'agit, somme toute, que d'une modification de la répartition des réactions d'appui, et la flèche, au milieu de la portée du cadre, notamment, n'en est que peu altérée. On pourra donc écrire plus directement qu'aux points choisis <v a pour valeur les déplacements préalablement déterminés pour la poutre de support.

Si l'on se contente d'assurer l'égalité des déplacements au milieu du côté OA, on pourra se borner à envisager la solution complémentaire G, (ï^<, correspondante ;• = — , et Ton aura déjà une

approximation intéressante.-

Dans les mêmes conditions d'approximation, on pourra souvent^ en pratique, se contenter d'une solution complémentaire encore plus simple. *

Désignons par/ la flèche prise par la poutre de support OA, quand les -réactions au pourtour sont évaluées d'après la solution

PLBXION DBS PLAQUES PLANRS. ' 6S5

primitive W, et envisageons la solution complémentaire

qui assure à la plaque la même flèche au milieu du côté OÂ.

Cette solution satisfait bien à l'équation de Lagrange, sans second membre A A «^ = o. On a, en effet,

Aw' = -— = const.

De plus, cette solution ne modifie aucunement la valeur des réactions verticales au pourtour, puisque lix>' est une constante.

Mais elle a pour effet d'introduire au pourtour des tensions horizontales Ni et Na, qui ne sont pas nulles. On a, en effet, partout à la surface supérieure :

Eh -^ d^w Eh 8/

Eh d^w Eh 8/

Mais si /est suffisamment petit pour que ces valeurs de N| et IN 2 soient elles-mêmes petites par rapport aux tensions qui se produisent au centre de la plaque sur appuis indéformables, cette sujétion pourra être acceptée. Les efforts complémentaires qu'il serait nécessaire d'exercer au pourtour, pour que la déformation de la plaque soit rigoureusement tv := W + (ï'', n'auraient qu'une faible influence sur la déformation réelle.

Dans les mêmes conditions, pour tenir compte de la déformation des côtés du cadre parallèles à oy^ on introduirait une solution complémentaire

En définitive, la règle qui en résulterait, sous réserve d'une rigidité relative suffisante du cadre de support, serait la suivante.- On calculera la plaque comme si elle était sur appuis indéformables, et l'on évaluera en conséquence les flèches/et/' des poutres du cadre de support. On fera ensuite subir aux résultats les corrections suivantes.

656 CHAPITRE' WIII. — PLEXrON DES PL4QUES PLilNES.

La flèche au centre sera augmentée de — (/+/')? somme des flèches des poutres.

Les tensions N| et N^ au centre seront respectivement augmentées, savoir :

PourN,,

Pour Nj,