MASSIF INDÉFINI SOLLICITÉ DANS UNK RÉGION LIMITER

Équilibre i>'klasticité u'ln solide lndbfim f^olliclté dins ine certaine région par des forces extérieures données.

Ce prohlèiiie a un camclére tout à fait théorique. La dislri- Lution supposée pour les forces extérieures ex:i«;erait que certains éléments de volume, com|)ris dans une; région limitée, eussent des propriétés diflTérentes du reste de la masse et fussent seuls susceptibles d'attractions ou de répulsions, (^e problème ne saurait donc être confondu avec celui qui a été traité au Chapitre II en vue de faire disparaître des équations générales les termes relatifs ;uix forces extérieures, car alors on su|)posail celles-ci partout pro|>ortionnelles à Télément de volume ^/nr.

M. Boussinesq est parvenu à une solution très simple, dans le cas où les forces extérieures sont parallèles à une même direction, prise pour axe O:;, en cherchant sous quelles conditions les écjuations indéfinies d'équilibre pouvaient être satisfaites, quand on ])ose a /?r/ori pour les déplacements //, e, iï' des équations (h* la forme

"" dx dz dy dz ~ dz^ ' '

A étant une constante et o une fonction de x, )% z. On trou\e d'abord

du dv div d . d ^ , , . d

dx dy dz dz

d:i ' ^ ' dz '

Ensuite, les équations in(h'»liuies décpiilibre deviennent

[(À -I- ji.) (A - i) - ;i I — — - A'^ -^ Xo = o,

Hu. Cl •v

1< À -4- IX) (\ — I) - .a \-jjrjZ^? -'■■ ^0-= o,

d^ [(X-h.uKA — i;— 1^1 — Aj-r- ;zA Aiç.~Zo==o.

PlOKAUI) V

Étanl donné qu'on suppose Xo = ^o=o, ces trois écpinlions peuvent être satisfaites à la fols si, d'une part, on prend

(A-f-U)(V— 4> — JA — O, <l OU A = ^r -9

el si, d'autre part, on choisit o de telle sorte qu'en tout point on ait la relation

{A VA»oH-Zo=o, d'où A>^ = ^ ^ — Z».

Qa doit donc avoir ^i^ft =^ o en tûut point situé en dehors de la région soUicilée pur les fondes extérieures et 4*o proportionnel à ïio en tout point de celte région,

Pour olHeuir ce i*ésultal^ il suffit de prendi^ pour q le polenliel direct de ma$^es éteeiricjues fictives dont Tinteasité soit partout proportionnelle à Z©.

On s»it en effet que si, en chaque point (^r», y*^ ^*)y "« attache à l'élément de voUune rfro^ <|ui lui corres^pond, une masse

cl ni = p dra ,

et que, si Ton prend le potentiel ordinaire de ces niasses en un point quelconque (j7, y^ z'\^ savoir : ^

V ïa / --- avec /^= (.f — JPt)*-!'^^ — >'i )«H-(« — ai )',

ce potei.itiel satisfait à la relation

AV --= o en deliors de là réj>ion cliur^é<\ et à la relation

A V = — i Tzp

en tout point de cette région.

Quant au potentiel direct, dont Texpression est

cp = - / /■ dm , il est tel que ])artout on ait