X -h fJL ;• > cl on considérant
comme constant, c'est-à-dire en envisageant les molécules M réparties sur une sphère de rayon r, autour du point d'application de la force, on reconnaît que les déplacements peuvent être considérés comme résultant :
i"* D'une translation commune parallèle à la direction Oz de la force et ayant pour valeur -; :
2^ D'un déplacement éj^al à - — ^^ — ■ r — ^ — ^ effectué dans la
' ^ 8'îitJL(X -H 2fi) r
direction dont les cosinus directeurs sont cosco et ( — sinto K c'està-dire le long de la tangente au cercle méridien.
MASSIF INDÉFINI SOLLICITÉ DANS UNB RÉGION LIMITÉE. 66l <
•l^oiir les deux points de rencontre de la force avec la sphère, c'est-à-dire pour w := o et o> = r, ce dernier déplacement est nul.
Dans riiémisplière pour lequel a <C 7 > c'est-à-dire pour celui qui
est situé dans la direction de la force, ce déplacement tend à éloi- «;ner les molécules de la ligiie d'action de la force, car a est positif. 11 y a ainsi une sorte de raréfaction des molécules autour du pôle correspondant. Dans riiémisplière opposé, il y a au contraire une sorte de concentration vers le pôle.
Ces considérations fournissent une idée assez nette de la déformation.
En ce qui concerne les tensions, on peut se borner à étudier celles qui sont relatives à des plans parallèles à Oy, La composante \ est toujours nulle par raison de symétrie, et Ton a
Z = Tja-hN3Y,
le cosinus directeur ^ de la normale au plan étant nul. Il suffit donc de calculer N|, N3, To. *
En laissant encore de côté le facteur - — ^ i— , on a d'abord
87t{Jl Â-H "2JJL
et ensuite
Idw du\ ^ d ^ d^v Far/ |ji 3i»\
On peut reconnaître, d'a[)rès ces expressions, un certain nombre de particularités intéressantes.
Pour ;:; = o, on a
Mi=:N., = 0 avec Tjt^o.
Il en résulte que, dans le plan équatorial Oxy^ on n'a que des
efforts tangentiels dirigées d'ailleurs suivant les rayons issus du centre, et, sur l'élément plan perpendiculaire au rayon, on n'a ({u'un effort tan^^entiel dirigé suivant Oz.
66a CIIAPITRR XXIV.
On reconnaît d'ailleurs que N,, Nj, Tj se présentent sous -la forme de produits de F par ~ <^t par des expressions qui ne
dépendent que de la direction de OM, c'est-à-dire de -=:^sin(ii
et — =r cosa>. Il en résulte que toutes les tensions sur des plans
d'orientation quelconque seront encore proportionnelles à l'inverse de r2.
On a, d'une manière générale,
Il en résulte que, si Ton considère spécialement les tensions «xercées sur un plan normal à Ow, ou normal à la direction de la force, celles-ci sont dirigées vers le centre, c'est-à-dire vers le point (^'application de la force. Quand z est positif, Nj est négatif et représente une pression. L'inverse a lieu dans la région opposée à la direction de la force.
On a ainsi un aperçu assez net de la répartition de la force sur des plans perpendiculaires à sa direction.
Pour if = ^, c'est-à-dire tout le long d'un cône avant pour axe i)z et ses génératrices inclinées à 45" sur cet axe, on a
Il en résulte que les plans principaux sont, en outre du plan méridien, le plan tangent au cône et le plan perpendiculaire. Sur le plan tangent la tension principale est nulle, car on a
Sur le plan perpendiculaire, on a
a -h Y = Z'^- et par suite X = Y = Ni y/a,
Le long du plan tangent au cône il n*y a donc absolument aucune tension ni normale, ni tangentielle. On pourrait donc, sans troubler Téquilibre du massif indéfini, opérer une coupure le long de la surface du cône, en laissant une soudure au point d'application de la force extérieure.
M\SSIP ïNDéKINI SOLLICITÉ DANS l'NE ftlJ^GION LtMlTÉfi. 663
On peut mOinc supprimer celte soudure, a couditioii départager einivenablemenl la force effeelivr entre les différentes nappes du eone, extérieure et intérieure.
Par 'exemple, pour la nappe <[ui cunlient la direction de ;; positif, il faut que la force efleelive qui lui est appliquée soit égale à la somme des tensions Nj sur une section droite quelconque, menée à la distance z de rorigine. Cette s<umne est, avec la conditi«)n de z constante,
En effectuant le calcul, on trouve
3 (Ji H~ X
et, en rétablissant le facteur n — — ^» -
