ji x-x -H A F 3 (A -f- X
i^^Matadtapi^ ■
Cas de deux forças égales et directement opposées dont les points d'application sont voisins. — Si Ton suppose l'une dc.'s forces F appliquée à Fori^ine des coordonnées et dirigée suivant O^, les déplacements et les tensions qui eu résulteront pour un point (j?, y^ z) seront conformes aux résultats précédents.' Si la seconde force {■ — F) est appliquée au point (o, o, s) et si Ton regarde e comme un infiniment petit relativement à Xj y^ z^ les résultats seront égaux aux premiers changés désigne et augmentés de leurs différentielles respectives par rapport à z^ dans lesquelles c/z = £. Les déi)lacements totaux et les tensions totales seront donc, au signe prés, les différentielles par rapport à z des expressions trouvées plus haut.
Or, eu ce qui concerne les dé|)lacemenls, ces expressions sont
(le Tordre de grandeur de -; leurs différentielles seront de Tordre de grandeur de --;* En ce qui concerne les tensions^ elles sont de
Tordre de grandeur de -^ et leurs différentielles sont, par suite, de
60/» CHAPITRE XXIV. — MASSIF IXDKFIM SOLLICITÉ DANS UNE RÉGION LIMITÉK.
l'ordre de erandeur de — • Dans les deux cas s'introduit un muhi-
piicateur de Tordre de -» regardé comme très petit.
Ce résultat, malgré sa forme un peu vague, est intéressant au j>oint de vue pratique, car du moment que deux forces égales el directement opposées dont les points d'application sont voisins ne ^»roduisent que des effets négligeables en des points suffisamment éloignés des points d'application eux-mêmes, on peut, avec la même approximation, remplacer une force par une autre égale en transportant son point d'application en un point voisin sur sa direction. Les règles données par la mécanique rationnelle pour la composition des forces sont donc applicables dans certains cas à un solide naturel et l'on peut remplacer un système de forces par un autre équivalent quand, d'une part, tous les points d'application des forces de ces systèmes sont localisés dans une région peu étendue du solide et que, d'aulnî part, il s'agit uniquement de rechercher les effets produits par ces systèmes en des points sufiîsamment éloignés de cette région.
Ces remarques ont servi à juslifier rextension de la solution de Saint-Venant pour le problème qui j)orte son nom.
MASSIF INDÉFINI LIMITÉ PAR UN PLAN ET CHARGÉ DANS UNE RÉGION LIMITÉE DE CE PLAN
Kquilibrb d'élasticité d'un massif indéfini limité par une surface
PLANS SUR LAQL'KLLIC s'EXERCËNT DANS UNK RÉGION LIMITÉK DBS FORCES EXTÉRIEURES DONNÉES (PRODLÉME DR M. BOL'SSINESQ).
Forme d'iine solution générale. — Prenons pour plan des xy la surface limite du solide, et supposons qu'il n'y ait aucune force agissant sur la masse.
M. Boiissiuesq a donné une solution générale qu'on peut résumer de la manière suivante :
Cherchons sous quelles conditions on peut satisfaire aux trois équations générales d'équilibre par des expressions de la forme
dx
dy
d^ ' az
a, ^, y, et <I> étant de^ fonctions satisfaisant à la condition AF = o De cette dernière condition on tire facilement
de sorte que Ton a
ax dz dy dz dz*
660 GIIAPlTftE XXV.
D'un auhv coté, on a simplement
. \dy. d^ dy d^ *
"^ dx dy dz dz
Par suite, la première équation générale d'équilibre devient .. . d fdt d'6 dy\ ,, .^ , €f«*
^^^'^'^di{di^^'-dz)-'^^-^'^'^dFTz=^''^
et les deux autres sont de même forme. On voit qu'elles seront toutes les trois satisfaites si Ton peut établir la relation
d^ l^li fdi d^ dj\ dz "^ \-\-'^\x\dx dy dz) '
laquelle n'a rien d'incompatible ave(' les hypothèses primitives. Si elle est remplie, on a d'ailleurs
2[x fdT. r/3 d:\ •>.[! d^
'k-\-'à\i.\dx dy dz) \'\' ^ dz
Il reste donc trois fonctions arbitraires a, j5, y, satisfaisant d'ailleurs à la condition AF = o.
Si on les suppose choisies de telle sorte que les dérivées ^>
d^ rf*
7~' ~d~ ^^^^^^^ finies pour :; = o, ou tout au moins que leurs produits par :; soient nuls pour cette valeur, on aura sur la surface libre, c'est-à-dire pour 5 = o,
On pourra ainsi se donner sur la surface telles valeurs que Ton voudra pour a, r, s\\ en combinant des séries de solution simples a, ^, Y.
Mais cette façon de présenter le problème n'est pas la seule intéressante. Ce que l'on peut connaître en général à la surface, ce ne sont pas les déplacements, mais les forces extérieures égales el opposées aux tensions Ta, T^, N:,. Voyons donc ce que donnent pour ces tensions les hypothèses faites ci-dessus.
Rappelons que Ton a
/de dw\
N3 = A 0 -h 9. Lt -y- .
On en déduit, en effectuant les calculs,
I flT. dv fffp d^*P
-T,— h -7^- ; ÀZ
(ji dz dsC lix dx dz
|JL dx dy df dy dz
jjL , dz k -^ \k dz dz^
En sn|)posant nuls, pour ^ == o, les derniers ternies de ces formules, il s'agira donc de choisir a, p, y, ainsi que ^ qui s^en déduit, de manière à reproduire dans les seconds membres telles valeurs de T,, T^, .Ng que l'on se sera données à l'avance.
Potentiels logarithmiques. Leurs principales propriétés. — M. Boussinesq est parvenu à rendre la solution très explicite en considérant des potentiels spéciaux, qu'il a appelés potentiels logarithmiques à trois variables et dont voici la définition et les principales propriétés.
Imaginons que sur un élément d'7 = dxi d/y de la surface, correspondant au point (.r,, y,, o), on répande une couche de matière fictive dont la densité soit p {xx y\) et dont la masse soit par suite dtn = p c/t. Puis formons pour un point arbitraire {x^y^ z) du solide, z étant supposé positif, la somme
4^=^ ['• — ^Ïos^^^-^J dm,
r désignant le radical ^{x — ^i)^-l-(y — ^1)"+^^ ^t R étant une constante quelconque, que Ton pourra prendre égale à l'unité pour simplifier les écritures, et qui n'intervient du ivste aucunement dans les dérivées de à à partir du second ordre.
La fonction 'i(x, y, z) sera le potentiel en question au point On trouve facilement :
^= fy-y^dm,
dy J r-^ z
•^ =— y log(/'-4-^)rf/H,
d*if rdm
.^^^r(—^')(y-y^)dm,
dxdy J /•( r H- ^ ;*
pL^-Ckl^UÛdm, dydz J r(r-i-^)
dx az J r{r -H s)
En désignant pr^r V le potentiel newtonien des masses e/m, on voit, en examinant les dérivées secondes : I ^ que
dz^ '^ '
2° que
fl?'4/ ^ - V — - ^-î^ rfa;* "^ 5^ "" "~ 'dz^
et, par suite, que A satisfait à la relation AA = o, en tout point du massif.
On reconnaît aussi facilement que toutes les dérivées secondes de i présentent les mêmes caractères généraux que V. Elles s'annulent à Tinfini et les intégrales qui les représentent sont absolument convergentes en tout point de la surface, même pour les points où r et / -f-^ s^annulent, c'est-à-dire pour les points de la zone ch-argée. Cela résulte de ce qu'elles sont des intégrales ou
des sommes d'inlé|i;rales pouvant se mettre sous la forme
'/(oryzxiYx)
cfnij
la fonction / fiyant un module inférieur à une cerlnine limite M, quels que soient x, y, r, a?i, yi .
Toutes ces dérivées secondes peuvent être elles-mêmes dérivées, une ou plusieurs fois par rapport à x ou à >', non seulement en un point quelconque du massif, mais aussi pour un point de la surface. Dans ces différentiations, z devant être traité comme une constante, puis annulé quand il s'agit d'un point silué sur la surface, on peut même commencer par faire ^ = o, avant les difl'érenliations par rapporta a? ou y. lien est, bien entendu, de même pour toutes
les dérivées en x ou y de -7^ »
Il reste finalement, du moins quand on se borne aux dérivées d'ordre égal ou inférieur à 4» à étudier spécialement les
dérivées première et seconde par rapport à z de -t~ = — V.
En ce qui concerne -r:-» on sait, d'après la théorie des potentiels des surfaces attirantes, que, en dehors de la zone chargée, on a -j- = o et que, en un point de cette zone, on a
dV
Celte dérivée est' donc partout bien déterminée, et elle sera même continue sur la surface si p est continu et s'annule sur le
contour de la zone chargée.
On sait aussi que -r^ est fini pour z = o [voir Poincai\k,
Théorie du potentiel newtonien^ p. ?.32) ainsi que les autres dérivées secondes.
On obtient ces résultats en employant un raisonnement classique qui consiste à ramener le problème au cas où la zone chargée se réduit à un petit cercle de rayon fini Rq, ayant comme centn* Je point {x^y^ o), la densité p étant constante à son intérieur. Si alors on prend des coordonnées polaires en posant
X\ — a: ï= R cos(o, y^-^yz= R sinw,
670 COAPITRB XXV
on aura
112 H- ^» et ci ni =z pdd = pRdta rfR,
et il faudra, regardant z comme constant, intégrer de R = o à R ::= R^ el de w ^= o à w = 27v, puis faire tendre z vers zéro. En
opérant ainsi, par exemple, pour -7— j = 1 ( — ~ 1 a/u, on
obtient
Or la première intégration relative à R donne
et la seconde intégration multiplie cette expression par a-. En faisant 3 = o, on trouve comme résultat -^ > quantité finie. I^
Ko
dérivée dont il s'agit sera donc elle-même finie.
Pour les points du contour dç la zone chargée, on ne peut plus Irouver de valeur finie pour Rq. Le rayon du cercle tend vers zéro en même temps que la distance du point considéré au contour,
et-jj-^ tend vers l'infini, à moins cependant ciue la densité p ne tende
elle-même vers zéro, de manière que -— demeure fini. Il en est
ainsi généralement dans les phénomènes naturels^ p s'aunulaut sur le contour de la zone chargée.
Nous pouvons donc admettre dans ces conditions que les produits par z des dérivées troisièmes et quatrièmes du potentiel à s'annulent en tout point de la surface, même dans la zone chargée.
Solutions types de M. Boassinesq. — Cela posé, M. Boussinesq est parvenu à composer des solutions types très simples, de manière à annuler à la surftice, dans l'étendue de la zone chargée, deux des trois fonctions T, , T2, ^3, ces trois fonctions étant d'ailleurs nulles en dehors de cette zone. Voici comment on peut les résumer et les vérifier.
MASSIF INOKFIM UMITK PA|l IN PLAN ET CHARGÉ. 67!
'Première solution. — Supposons d'ubord que les forces appliquées soient parallèles à Oz. Il s'a«:it d'annuler en même temps Tj el T, sur la surface.
On preildra
i T'x i. -h n dx dz
\ TU À -h u dv dz *
I X H- !i a d* il Y = ■ . ' ..' .
' 4^1* A -f- jx dz*
En tenant compte de ce que A*} =^ o, on trouve facilement
r/a €3?P dy i X-+-3}! d^^
<3fa? d^ ' dz \ «|Ji X H- fi ^4*
et, par suite, on peut prendre
/|T:fX dz^
car on aura bien ainsi la condition nécessaire
</« d^ dy X -h 3 ji û?<t>
é/a? ^/^ dz A-h II dz On aura d'ailleurs
^ 2;jL cWj I d^à ~i r/V
"" X -h fji ^^ "" -2 1: ( X -f- jJL ) ^/^^ "^ iit^X -f- jji) dz '
Pour calculer les valeurs des tensions, ou peut remanpier que
di dy \ d^^ d^
dz dx ^-jJi dx dz^ dx et que
' dz X -h jJL rf« ~ iirjJL f/s^
Par suite, on obtient simplement :
z d'"^ z di\
•2TC dx dz* >.TC dss dz
z d^^ z di\
xr, dy dz^ ac dy dx
^~~ 2 71 dz^ aiï <;^-3^ "" .>.7c dz /TT e/5-
On reconnaît ainsi que pour ^ z= o on a partout To =: T, = o,'rt
que ^1.1 se réduit à
I d^t\f ^ i dV
