dz^ 2x dz
d\ Or, -r: :^ o en dehors de la réj2;ion chargée, el à rintérieur de
oelle-ei on a -r- =: — 27tp. On a donc bien N3 =: o en dehors de la
az »
région chargée et N3 = + p à son intérieur.
Il suffit donc de prendre, pour calculer le potentiel 'i, une couche de matière fictive dont la densité soit en chaque point de hi zone chargée égale à la valeur supposée de N3. La solution est donc complète, sous les réserves faites plus haut.
Il est à remarquer que les expressions des tensions considérées sont indépendantes partout des coefficients d'élasticité À el [jl. On j)eut donc dire que là réparlition des charges sur les plans horizontaux, parallèles à la surface, est indépendante de la nature de la uialière composant le massif.
Deuxirnic solution. — Supposons maintenant que les forc«»s appliquées soient parallèles à 0.r. 11 s'agit d'annuler à la fois T, et ISj sur la surface.
On prendra
I X di'\f I d^à
^TT'JL A -H Ji. dl'' 9. T. Il dz-
^ .\tz^ 1 -i- jjt dx dy^ I u d^ "h
, - ■ - ■»■ - ■ ■■ ■■■■■ mtm» Il •
4 nfx X f- ;x dx dz
Kn tenant compte de ce que Ai — o, on trouve facilement dy. d^ 1 X ^3 6 1 d^^
dx dy i\iz\x X -h «JL dx dz^ ' 2n;ji dx dz-
et, par suite,
da d^ </y ' X -f- { Kk (P ^
dx dy dz \t.[x X - ;jl dx dz- Celte f(us, on pourra prendre
I TTijL dx dz
âlASSIt^ INDÉFINI LIMITÉ t»AR tJN PLAN feT GtÎARGÉ. 67 j
On aura d'ailleurs
e= I d^^ ^ —I dV
•2 7:(X-H|Ji) dx dz^ •2 7r(X-+-fx) dx
Les valeurs des tensions T2, T,, N3 sont, par un calcul facile,
T- ^ d^^ ^ z dH^ i £?V z d*\
, *~ vT;: dz^ 2t: dx^ dz* "* in dz 'ir, dx^
* "~ 2 7: dxdj'f/z^ " 2 3: dx dy
J J^Ml - -g d^^
'~ «i- dx dz^ ~" 2 3: dx dz
On reconnaît ainsi que pour z = o on a partout T| = o et Nj == o. Quant à Tj, il a pour valeur
2 3Î ^>5' ^ -2 3: fl^3
11 est nul en dehors de la région chargée et égal à p dans Tintérieur de cette dernière.
Pour calculer le potentiel t{/, on a donc simplement à prendre une couche de matière fictive dont la densité soit en chaque point de la région chargée égale à la valeur supposée de T2.
On remarquera encore que les expressions des composantes TjjTi, Nj de la tension sur un plan horizontal quelconque sont indépendantes des coefficients d'élasticité.
On obtiendrait par permutation la solution qui serait relative à des forces parallèles à Oj>^.
A l'aide des solutions simples ainsi obtenues, on pourrait parvenir à la détermination en un point quelconque (xyz)^ de toutes les composantes des déplacements et des tensions. Mais les expressions obtenues sont assez compliquées dans le cas général, et nous ne les développerons dans les cas particuliers que lorsqu'il en sera besoin.
Nous signalerons cependant l'expression très simple que conservent les composantes Tj, T|, N3 de la tension sur les plans parallèles à la surface.
Désignons respectivement par Vj., Vy, Yz les potentiels ordinaires afférents aux couches de matière fictive qui représenteraient les valeurs données de Tj, T,,N8 dans la région chargée delà
PiQEAUD 4^
surface. En additionnant les résultats des trois solutions simples correspondantes, nous obtiendrons :
T =- — ^-^— — r^-h^ 1^0, * 'jLit dz ' 2ir dx j da; dy dz Y
I rfVy i d \dVx dVy d\'.
2 7Î c^^ '2 7: ûÇ)' L <ia? ri^j^ â?^
-. l d\z Z d \dW:r . d\y d\^
*2 7r rfa L ^^ ^^ d^ J
Nous signalerons aussi la forme relativement simple du déplacement w^ dans le cas de la première solution, correspondant à des forces appliquées normales à la surface. C'est encore le potentiel ordinaire V qui seul intervient. On a, en effet, dans ce cas :
