i I X -t- (JL dz j

Simplification du problème. Considération d'une force extérieure unique. — La considération d*une force extérieure unique a une double utilité. D'abord, elle fournit les éléments des intégrales qui sont à envisager dans le cas général, et il est souvent avantageux de n'opérer les sommations qu'une fois les résultats élémentaires obtenus sous leur forme définitive.

En second lieu, quand on ignore la répartition réelle des forces extérieures dans la région chargée, elle permet de trouver des résultats approchés pour des points suffisamment éloignés en considérant simplement les résultantes des forces extérieures. Ces résultats sont d'autant plus exacts qu'ils s'appliquent à des points plus éloignés de la région chargée.

' Mais il ne faut jamais perdre de vue que les résultats obtenus ne sont pas applicables au voisinage immédiat du point d'application de la force extérieure. 11 faut alors avoir égard à la répartition réelle ou approchée de la force extérieure dans la région chargée, qui pourra être plus ou moins petite, mais dont les dimensions, loin d'être négligeables par rapport à z^ seront telles que pour 5 = 0 leur rapport à z devient au contraire généralement infini.

Au surplus, les dimensions de la région chargée doivent être

MAvSSlK IXDËFIM LIMIxé lURlN PLAN ET* CHARGE. 675

supposées lelles que les densités o soient finies, et même ,ne dépassent juis une certaine limite au delà de laquelle la matière se disloquerait ou subirait dtîs déformations permanentes, de sorte que Ton n'aurait plus alTaire à un phénomène élastique. Nous croyons devoir insister sur ces points que certaiiis auteurs paraissent souvent perdre de vue.

Supposons une compression extérieure dont les composantes soient respectivement A, B, C, Torigine des coordonnées étant confondue avec son point d'application. Les masses de matière fictive à considérer seront respectivement ( — A), ( — B), ( — C), et Ton aura pour les potentiels logarithmiques el ordinaires les valeurs :

^x- —[r — z log(/' -h >3)] A, Vj. = —

dz* r

d'il- C

Etudions d'abord les tensions Ti, Ta, A3 sur les plans perpendiculaires à O:;, doiit les expressions ne dépendent que des poten-

tiels V. En tenant compte de ^ = -et des deux résultats

analogues, on trouve

\ z z d \ \x -h B >' -^- Cz 2 7: r^ '2 7: dx

fi

ou, en simplifiant,

airr-* L r r r \ r

On trouverait de même :

airH L r r /'J /'

Comme -» -* - sont les cosinus directeurs du rayon r allant de

Torigine, point d'application de la force, au point {xyz)^ on voit que la tension exercée en ce point sur un élément plan parallèle à la surface est une compression, dirigée précisément suivant le rayon. Cette compression a pour valeur

Or, le trinôme entre parenthèses exprime la projection sur ce ' même rayon de la force extérieure donnée. On a donc Ténoncé suivant : '

Pour trouver en un point {xyz) la compression exercée'sur un élément plan parallèle à la surface, il suffit de projeter la force extérieure sur le rayon mené par ce point, puis de réduire cette

projection dans le rapport j- Cette réduction peut se faire en

la multipliant d'abord par -(opération qui revient !i la projeter sur

la verticale O5), et ensuite en la multipliant par j (opération

qui revient à la répartir sur le tiers de la surface de la demi-sphère de rayon r). Cette compression est dirigée suivant le rayon.

Ce résultat est très expressif et peut conduire à un certain nombre de conséquences intéressantes.

Si l'on suppose ^ = y =r o, c'est-à-dire si Ton envisage les points situés sur la normale à la surface au point d'application de la force, on a T*>=: T| == o, et N3 se réduit à

•2;ur*

Elle ne dépend que de C et décroît comme l'inverse du* carré de la distance. Elle est égale à la compression moyenne que produirait la composante C à la profondeur z = r, si on la répartissait sur un

cercle dont la surface serait «it/*^, cercle qui correspondrait à un

cône ayant un demi- angle au sommet a, tei que tanga= -• Gela

fournit une règle pratique utilisable. On aurait a = 33** 3o' environ. La valeur a = 4^** qu'on lui substitue parfois est moins rationnelle.

Pour étudier les autres effets de la forcé extérieure, il est utile de considérer séparément ses composantes. Nous supposerons d'abord qu'elle se réduise à sa composante verticale C. En supprimant les indices, nous appellerons 6 et V les potentiels correspondants.

Cherchons les expressions de w, ^, w qui découlent de la première solution type. Nous avons : •

d^ ^ I r fji ûf*6 flT'i]^ "1

dx '^ [^T^^\ \ '\' ^ d^ dz dx dz'^ J

dy \'K\L Y \ -\- \k dy dx dy dz^ J

— — ^ ~ ' r X -4- '2 [JL d>^ ^ dM^ "I

~~ ^ dz ~~ * ^7:^i\^'k-r- ^L dz* dz^ J

Les seules dérivées intervenant sont celles de -r- et de -t~ = — V.

dz dz^\

On a :

dz ^^ ^' dz^ r dz^ r»'

d^^ Cx d*^ Cx

^' dz^

d^ dz^

d*^ dx dz*

dx dz r{r-h z) dx dz* /:•

/fH Cy d^^ Gv

dy dz ~~ r(r-{-z) dy dz^ *~ r'

En substituant, on trouve :

^ C r xz 11 ^ \

Les déplacements se font dans les plans verticaux passant par la ligne d'action Os dç la force C, et de la même manière dans tous. Mais ils ne sont pas dirigés suivant le rayon r.

Si l'on examine, pour simplifier, ce qui se passe dans le plan z O X ^ où y =z i> z= o^ et si l'on appelle a l'angle, compris

entre o et^> que fait le rayon r avec O^, on aura x=rsina.

:; z= /'cosa :

.G r . u sina 1

u = r sina cosa— r—i 1

^Ti^kr [^ A -h [i i-hcosaj

w = I cos*a -h -r •

Sur une sphère de rayon r, les déplacements sont aisés à suivre. Le déplacement vertical tï^ va constamment en diminuant

quand a augmente de o à -• Au fiicteur ^^ ^. P'^^s, il varie de

ir à -î -9 cette dernière valeur étant obtenue sur la surface

libre.

Le déplacement horizontal u est nul pour a = o. Il est ensuite positif. Puis il s'annule pour la valeur a satisfaisant à Téquation

cosa(i-h cospc) = j

A-h fl

Ensuite, il devient négatif; et pour a= -;-» c'est-à-dire pour la

surface libre, sa valeur est

^Tin À 4- jJi)

La matière se trouve donc refoulée autour de O 3, dans Fintérieur d'un cône ayant ol comme demi-angle au sommet, et attirée vers 0-3 à Textérieur de ce cône.

On pourrait achever la détermination des composantes des tensions.

On a, par exemple,

Or :

du C \^z Sx^s g r i T^ir-^z)! J

dx'^ ^r.ii(r^ /•• X — jjt 1 /j r-r 3) '"^(z* -t- s)* J ( *

G \ X £^ z iûr^z ;JL r I x^{'xr-^js)'\)

' =Ç.^!^ + ii r± ! ^ £!il£jlii} 1 ( .

ïiic / r< X -h ,a L r' /•( r -f- 5 ) r3( r h- 3 )* J jj

On obtiendrait N^ en permutant x enj\

Si Ton se borne, en raison de la symétrie, à étudier ce qui se passe dans le plan zOx, on pourra faire ^ = o el X' = r^ — z^^ et Ton obtiendra, toutes réductions faites :

!. G r 3x^z IX I "I

'zn i r* A-4-jjir(r-h-3)J

N.^-^.-Jf-fi- '. 1.

On doit d'ailleurs avoir T3 == o, en raispn de la symétrie.

Si l'on examine, en particulier, les points situés sur Taxe O 2, pour lesquels on a x =: o, ;j = r, on trouve ^ ■