JX

dx dy dz '

dz 4icfi(X -f- fjt) dx dz 4«f* dxdz^

On trouve facilement :

d^ kx d^^ A

dxdy r(r-^z)*

dx dz " r{r-^z)

Lr-h-a r(/'-t-^)*J'

'4^ r I T^('xr-hz)^

^ dz ^ ' [r(r-f-z) r>(r-h«)*J

d!ir dy dz ~ /•*(/• -+- ^ ^* '

dxdz* /•*

On en déduit :

A îATTfji r 4'tK(X -h fji;

^ z I 3r»(ar^ g)"]

A 4^iX -f-(ji) r(r -h 3) 41^1^^'''

Malgré la complication de ces expressions, on peut se faire une représentation des déplacements en recherchant comment se comportent les différents points d'un cercle horizontal ayant son centre sur O5. Le long de ce cercle, on a r et 2 constants.

On voit alors que -r contient un certain nombre de termes ne

dépendant que de r et 5. Ces termes représentent une translation

commune à tous les points^ du cercle et parallèle à Oj?. Sa valeur^ est

I ["2 X I z '[ I r9.r-*- g Xi

Elle est toujours positive.

Les termes restants de -r- s'écrivent :

a:* z x*(^r^-JS)

47Cîx(X H- TJi) r(r H- ^)« 47;fx r»(r -4--*)*

Si on les rapproche de -r> on voit qu'ils n'en diffèrent que parle

remplacement dans chaque terme d'un facteur - par un facteur -•

En chaque point, le déplacement correspondant s'effectue dans le plan du cercle et suivant son rayon. La grandeur de ce déplacement est, d'ailleurs.

I x r X ziir-^s)!

KyL (r -h z )* l^ -h [i r* J

* 4^fJt

Il est proportionnel à a? et est positif, c'est-à-dire tend à agrandir le cercle en le déformant en avant du plan z O y^ et négatif en arrière. Le diamètre parallèle à Oy démeure sans aucun changement.

Enfin, le long du même cercle, cv est également proportionnel à a?, comme si ce cercle tournait autour de son diamètre parallèle à O^. La valeur de w est d'ailleurs du même signe que x.

En résumé, la déformation le long d'un cercle horizontal ayant ' son centre sur Oz se compose d'une translation dans le sens de la force, d'une rotation autour du diamètre parallèle à O/, et d'une déformation laissant sans changement le diamètre parallèle à O^. La représentation obtenue est encore assez nette.

Étude des déplacements sur la surface libre, à l'intérieur ou à l'ertérieur de la zone chargée, dans le cas de charges verticales. — L'étude précédente, qui suffit pour des points éloignés de la zone chargée, ne donne plus rien d'exact quand il s'agit de points dont la distance à la zone chargée est comparable à l'étendue de cette zone, et à plus forte raison quand il s'agit de points de cette zone elle-même.

Mais, quand on se borne aux déplacements de la surface libre,

on a simplement

1/ = oc,

Dans le cas de charges verticales (i"* solution type), les fonctions a, p, Y sont d'ailleurs, à des coefficients constants près, les dérivées par rapport à x^y^ z de la fonction

^ =— y log(« -h r)(ini.

On peut les calculer au moyen des composantes de l'attraction

d'un système pour lequel le potentiel serait -^ • On peut même

encore simplifier un peu. On a, en particularisant pour ^ = o, après difTérentiation :

^TZi^}. -h II) Hjt dz. 4ir( A -h fjL) ^7 r*

I X H- 2}j. fdm 47r|z X-hfjiJ ~'

On voit que n et v seraient respectivement les composantes de l'attraction produite au point {xyO) par les masses rfm, si cette attraction était dirigée suivant le rayon vecteur et avait pour valeur

47r(X-hfi) r

expression inversement proportionnelle à la distance. Ces composantes sont, comme on sait, les dérivées par rapport à j: et ^ d'un potentiel logarithmique de la forme

et fonction de r seulement. Nous nous-bornerons à cette indication, qui ramène à des problèmes connus.

Quant à n», il est, au facteur - — -r près, égal au potentiel

newtonien V des masses dm, C'eçt aussi un problème connu.

MASSIF INOkPlNi LIMITÉ PAR UN PLAN ET CHARGÉ. 683

Mais il est intéressant de donner quelques exemples empruntés au

Mémoire, de M. Boussinesq.

i" Supposons d'abord qu'on ait une charge uniformément

répartie sur une circonférence de rayon R, à raison de p par- unité

de longueur.

On a dans ce cas

dm = /? R dtsi.

Soit a la distance du point M (arx)? ^u centre de la circonférence, on a

Cl)

r* = a' -+- R* — 2 a R cos (o = (a-hR)* — \aK cos* — • Par suite, le potentiel V au point M est

L'intégrale à calculer est une intégrale elliptique à laquelle on fera subir la transformation de Landen, en distinguant le cas où a ^R de celui où rf <;R. Dans le premier cas, on prendra

R comme argument le rapport - » et dans le second cas Tinverse.

Dans le premier cas, on obtient pour la valeur de cette intégrale

Dans le second cas, on n'a qu'à intervertir a et R, ce qui vérifie en passant la loi générale de réciprocité des déplacements.

2® Supposons maintenant qu'on ait une charge totale P uniformément répartie sur la surface d'un cercle de rayon R|.

La densité superficielle est alors 0= —=.-.# et, sur la couronne

annulaire comprise entre les rayons R et R-f-rfR, on aura.

dm = p rfa = ^0 R é/R é/(u.

Autrement dit, la pression par unité de longueur sur le cercle de

rayon R sera

On portera cette valeur dans Fune ou Fautre des expressions trouvées plus haut pour V. S'il s'agit d'un point M situé à Texterieur du cercle a > R| , on aura ensuite à intégrer par rapport à R depuis R = o jusqu'à R = R|. S'il s'agit, au contraire, d'un point M situé à l'intérieur du cercle a <; Ri , il faudra intégrer la première formule de R = o à R = a, et ensuite la seconde formule, transformée en permutant R et a» entre les limites R = a etR = R,.

Sans entrer dans le détail du calcul, on trouve :

Poura<R,,

Pour a > R| ,

Au centre, on a

et sur le bcîrd du cercle