HT

TCR,

La différence, qui mesure la flèche dans l'intérieur de la surface chargée est, en rétablissant le facteur •; — r ^ :

•' ^TZll X -h jJl Ri V ^/

3** On peut de là passer au cas plus général où la densité p est une fonction /(R), et Ton peut intégrer toutes les fois que/(R) est une fonction entière. M. Boussinesq a montré que la surface demeure plane dans l'intérieur du cercle chargé lorsque la charge totale est distribuée uniformément sur la surface de la demi-sphère

MASSIF INDÉFINI LIlflTÂ PAB UN PLAN BT CHARGÉ. 685

ayant ce cercle pour base, puis appliquée aux projections verticales des éléments de cette surface.

4^ M. Boussiaesq a, d'une manière analogue, traité le cas où la zone chargée a la forme d'une ellipse, soit que la charge soit uniformément répartie sur toute la surface, soit que la densité demeure constante dans des bandes annulaires comprises entre des ellipses homothétiques à la première. Nous y reviendrons plus loin, à l'occasion du problème de. Hertz, dont la solution était ainsb préparée.

5** Enfin, les résultats obtenus en ce qui concerne la forme prise par la surface, dans l'intérieur de la zone chargée, permettent de trouver inversement la répartition des pressions qui s'exerceraient entre cette surface et un corps dur, supposé indéformable, qui serait pressé contre elle par une force P donnée, et qui aurait précisément, comme surface, la surface déformée.

Nous ne pouvons que renvoyer pour les détails à l'Ouvrage de M. Boussinesq [voir aussi une Note insérée dans la Théorie de l^ Elasticité^ de Qebsch, annotée par Saint- Venant, , et un article de M. Galliot {Annales des Ponts et Chaussées^ '892).

Pressions et déformations au contact de deux corps solides élastiques (Problème de Hertz). — Supposons deux corps isotropes élastiques, placés d'abord au contact l'un de l'autre et ensuite appuyés l'un contre l'autre par deux forces finies, égales et directement opposées, de valeur P. Ces deux corps vont se déformer. En même temps qu'ils subiront un rapprochement relatif, leurs surfaces déformées coïncideront sur une étendue plus ou moins grande, qu'on appellera la surface de pression. Le contour de cette surface de pression sera une courbe fermée.

Nous supposerons ^connues les constantes d'élasticité des deux corps en contact, la forme et la situation réciproque des surfaces dans le voisinage du point de contact. Nous supposerons aussi que ' les surfaces soient parfaitement polies, de manière que leurs réactions mutuelles puissent se réduire à des pressions normales entre les parties en contact. Enfin, nous supposerons que la surface de pression ait une étendue très petite au regard des dimensions totales des corps, de manière que, par pressions normales, on puisse entendre des pressions parallèles à la direction de la normale

68f> cHapitrk XXV.

commune des deux corps, ou si Ton veut aux deux forces P, dirigées suivant cette normale commune.

Le problème consiste à -rechercher la forme de la surface de pression, la forme et la grandeur absolue de son contour, et eniin la répartition des pressions normales sur la surface de pression. De cette répartition dépendra la pression maxima développée dans Tun et l'autre de5 corps pressés, ce qui permettra de reconnaître si cette pression maxima est compatible ou non avec la résistance supposée de la matière, et peut donner lieu ou non à des déformations permanentes. Il est bien clair que ce sont ces pressions localisées au voisinage immédiat, de la surface de pression qui déterminent la fatigue de la matière. Celles qui s'exercent à rintérieur des corps sont rapidement négligeables au regard de celles-là.

Accessoirement, il est intéressant dY'valuer le rapprochement relatif des deux corps.

Prenons d'abord les deux corps dans leur situation de contact mathématique, et prenons pour axe (^es z leur normale commune, dirigée vers Tintérieur du premier corps, désigné par Tindicc i . Les axes 0^7 et Oy seront supposés tracés dans le plan tangent commun.

Dans le voisinage du point de contact, les équations des deiix surfaces seront de la forme

et la distance séparant deux points situés sur la même verticale sera

L'ensemble des points, tels que la distance s^ — z^ soit égale à , une valeur constante donnée, est donc situé sur un cylindre à génératrices verticales dont la section droite est une ellipse. ' On peut déterminer les directions des axes de ces .ellipses el prendre ces directions pour nouveaux axes de coordonnées. Si l'on, appelle x' elj'' les coordonnées courantes dans le nouveau système, Téquation de ces ellipses prendra la forme

^1 — j,= Aa7'«-+-By».

Les coefficients A et B sont fonctions de A| B< C|, A2B2C2, coefficients qui sont eux-mêmes des fonctions des rayons de " courbure principaux des deux surfaces des corps et de l'orientation des plans principaux par rapport aux axes Ox et O)'.

Si Ton désigne par p', , p", les inverses des rayons de courbure principaux du premier corps, et par p!j et p* les quantités analogues pour le second.corps, et si Ton convient de les compter positivement lorsque le centre du cercle de courbure correspondant se trouve à rintérieur du corps, on aura

2(Ai-hBi) = p',.-hpï, --iCAt-t-BO^pi-i-p;,

4(A,-B,)«-h4Gî = (pi~pî)«, 4(A,-BO*-h4Cî=(p;-p';)*.

Si les axes primitifs Ox et Oy coïncident avec les bissectrices des directions principales correspondant à p', etp',, par exemple, et si Ton 'appelle w Tangle que font entre elles ces deux directions ..principales, on aura, comme on sait,

G; — Cj G| — Gj

Aj — Bj Af — Bj Al — B|-4-Aï — Bj

et Ton en déduira

(p',-p;)î=4(A,-B,)î-+-4(A,-B,)« tangua) = 4(A, — B,)»(i-+-tang*(o),

(P'f- Pî)* = 4(A,- B,)»(n- langïtu).

Cela posé, on a, en considérant la surface z^ — Z2 et ses invariants,

a(A-+-B) =2(Ai-A,)^-2(B,-B,) = p', -hpî-hp',-+-pî,

= 4[(Ai-B0-(A,-B0]'

-+. 4I(A,— B,) -H ( A,- B,)]* lang«io = (p't- ?;)*■+- (p'.-pï)*±î^(pi-pî)(p'.-PÎ)cos2o>.

Dans cette dernière formule, il faut prendre le troisième terme^ avec le signe -f-, parce que p, — p", doit, avec les conventions , admises, être de signe contraire à Aa — B.j. On peut aussi Tétablir en considérant un cas particulier.

688 CHAt>lTRK XXV.

Si, maintenant, on définit un angle auxiliaire t par la condition

cosx =

A -+- B ' on pourra écrire

2 A = (p'j -+- pï -4- p; H- p; ) cosî ^, 2B = (p;-^pî4-pi-+-p;) sia»^.

La connaissance des quatre rayons de courbure principaux, ou de leurs inverses, ainsi que celle de l'angle (u, définit donc entièrement la situation respective des deux corps et l'orientation dés ellipses, qui correspondent à des valeurs constantes de la distance verticale 5| — .Sj. Nous prendrons désormais les directions des axes de ces ellipses pour axes des x et des y.

Tout cela est très simplifié quand les plans de courbure principaux se correspondent dans- les deux corps; car alors co = o et C| = Ga = o, de sorte que Ox et O^' coïncident avec les axes communs des deux indicatrices. Dans ces conditions, on a

Cela posé, soit a le rapprochement relatif des deux corps quand les forces P agis3ent, et soient w^ et iv^ les composantes verticales de la déformation aux points M^{xyz^) et ^^{xjrz^) respectivement. Si ces points M i et M^ appartiennent à la surface de pression, ils viennent au contact, de sorte que leur distance s'annule. Or, cette distance est

Zi-^Wi — Zs — Wj — a.

Il faut donc que la différence (V| — W2 ait, à l'intérieur de la surface de pression, une expression de la forme

Il faut d'ailleurs que, à l'extérieur de cette surface,

Wi — Wj > a — Aa?* ■+- By*,

On peut satisfaire à ces conditions en supposant que la surface de pression est une ellipse ayant ses axes dirigés suivant Oj: et Oyy la grandeur de ses demi-axes étant a et i, et en supposant,

ItASSiF INDÉFINI LIMITE PAU ON PLAN ET CHARGé. 689

d'autre part, que les pressions totales P s'y répartissent de telle façon, qu'en un point (iji^)? on ait pour la densité p la valeur

, 3P / S^ y ^■" 'ir.aby a* b*

La condition d'équilibre statique est bien ainsi satisfaite, car pour évaluer la pression totale il faut calculer riutégrale

Or, dans le second membre^ l'intégrale n'est pas autrq chose que le volume du demi-ellipsoïde d'axes (a, 6, i), c'est-à-dire

précisément -Tzab.

Evaluons maintenant les déformations iv^ et tT'a, produites sur la surface libre des deux corps par des pï'essions normales ainsi réparties. Désignons par \{xy5) le potentiel ne\vtonien dû aux masses dm=^fdv^ et par e< et e^ respectivement les valeurs de

l'expression r ^ = -^^-^ pour chacun des deux corps, nous

aurons, conformément à ce que nous avons vu précédemment.

Ces relations ne s'appliquent rigoureusement, il est vrai, qu'à des massifs indéfînis limités par des surface*! planes, mais elles sont très approchées pour les points qui appartiennent à la surface des pressions, ou qui en sont très voisins, lorsque Ton suppose, comme nous le faisons, que la surface de pression a une étendue très petite au regard des dimensions totales des corps, et de leurs rajons principaux de courbure au point de contact. En faisant 5| = 32 == o dans les expressions de u'i et «'2, on a simplement

iv,~ <r2=(£i-+-e,) V(j'/o).

11 s'agit donc de trouver Tcxpressiou du potcnli(!l V de la couche

:de matière fictive répandue sur l'ellipse de demi-axe a cl b avec la

densité superficielle p. 11 reviendra au même de supposer une

couche de matière fictive ayant une densité de volume uniforme p'

et dont la hauteur soit partout proportionnelle à p. Celte dernière

PlGK\UD 44

couche sera limitée par la surface d'un ellipsoïde dont l'ordonnée ^ serait en chaque point définie par la relation

et dont le demi-axe parallèle à 0.3 serait c défini par la relation

pc =

4ica6

La valeur de c peut être Supposée aussi petite qu'on le voudra, pourvu que la variation corrélative de p' assure cette dernière relation.

On peut alors utiliser, pour la recherche de V, les résultats connus relatifs au potentiel d'un ellipsoïde homogène. Nous rappelons seulement qu'il faut distinguer le cas où le point attiré i^xyz) est à l'.intérieur du cas où ce^ point est à l'extérieur de l'ellipsoïde.

Dans le premier cas, on a uniformément, pour tout point (x^^),

\ = 7.7tp abc I ( I -j-^ — ^ )

Jo V «*~HY' ^*-i-V^ c*-+-YV

Dans le ca^ actuel, il n'y a qu'à faire s = o et c = o, et à remplacer 2 Ttp'c par — -7* Alors V se réduit à

rfY

/(a«H-Y*)(A«-Y*) Il est bien de la forme voulue, savoir :

Lorsque le point {xyz) est à l'extérieur de l'ellipsoïde^ le potentiel conserve la même forme, à la seule condition de prendre comme limite inférieure de l'intégration, non plus sera, mais la racine positive y* de l'équation

MASSIF INDEFINI LIMITK PAR UN PLAN ET CHARGÉ. Cgi

laquelle définit rellîpsoïde honiofocal à rellipsoïde donné et passant par le point {xyz). Comme pour toute valeur de y comprise entre o et y^, on a

j JFf y^ £__

a^-f-v* b^-ir^' c«-+-Y

on a, pour tout point extérieur

V>L — Mari— V-%

L, M, N étant les mêmes fonctions que précédemment, c'est-à-dire les intégrales prises entre o et oo.

(A défaut de la démonstration de la formule donnant V pour un point intérieur, nous indiquerons une vérification sommaiiè qu'on peut faire au moyen de résultats généralement fournis dans les cours d' Analyse. L'attraction a pour composante parallèle à Oj: la valeur — 2 Mar, et d'autre part la valeur de L conduit bien dans le cas d'une sphère à l'expression du potentiel au centre de la sphère.) *

Cela posé, le problème se trouve .résolu sous la seu^e réserve d'identifier les deux expressions trouvées pour iV| — (v^, savoir : d'une part,

et, d'autre part, *

Cette identification donne d'abord

B =(£, -hs,)

^ .A /(«*-Hr)(^'-+-T»/

Si l'on pose - =: A*, et si l'on change dans l'expression de A la variable d'intégration en posant y^n^ a-^ i/*-*, on trouve

f/y = a du.

69a CHAPITRK XXV.

On peut donc mettre A sous la forme

3P /•* du

semblablement on obtiendrait, en changeant a en 6 et A: en x»

3P /*• ^ da

B = (6,-*-ej)

En divisant membre à membre, on obtiendrait une équation

transcendante entre le rapport A* = - et le rapport ^ «Cette équation peut être résolue au moyen des Tables de Legendre. Une fois ce rapport cslculé, les équations précédentes feront connaître respectivement les valeurs absolues de a et de 6, et par suite la valeur de la pression maxima au contact, laqudle est

« On voit que, pour une valeur donnée du rapport y» où obtient

une valeur constante du rapport A = - et que les grandeurs abso-

lues des axes a et 6 de l'ellipse de pression varient comme la racine cubique de P. Il est de même de pa,„. On voit aussi que a et 6 varient comme la racine cubique de l'expression, ei-hc^, qui dépend des coefficients d'élasticité des deux corps.

La valeur de p maximum varie comme la puissance — x

de e<-}-£2-

Hertz a donné une Table permettant de calculer a et 6 en fonction des courbures principales des surfaces en contact et de l'orientation de leurs plans principaux, c'est-à-dire de Tangle auxiliaire T, qui ne dépend que du rapport j* On peut mettre a et 6 sous la forme

Ici les lettres |jl et v désignent des fonctions transcendantes de

Tangle r, dont la Table* suivante donne les valeurs de lo® en lo", ainsi que celle du produit [xv :

T... 90-. . 80*. 70*. 60». 50\ 10*. 30?. îOv tO*. O».

[Ji 1,0000 1,1278 1,2835 1,4^^^ i»754îi 2,i.'i57 >,73o7 3,7779 (),6i!io *:

V i,ooo«> 0,89*1;^ 0,8017 o»7i7" 0,6407 o,>673 o,493o 0,4079 o,3i86 0^0

Produit fiv. 1,0000 1,0068 1,0290 i,o6î^ '11^39 1,2116 i,3432 i,54io 2,1066

Si l'on n'a pas intérêt à calculer a et 6, mais seulement pg^,, on déduira la valeur de cette dernière quantité de la formule

On peut observer que tant que l'angle auxiliaire t est voisin de 90^, le produit piv reste sensiblement égal à Tunité, d'après le Tableau précédent. L'interpolation de la valeur de ce produit sera donc facile.

En poursuivant l'identification des formules qui expriment iv, — ii^.ji on trouve d'autre pari

Le rapprochement oi des deux corps, pour une valeur donnée de -r> ou de k, se trouve ainsi proportionnel à la puissance

I — - r= - de P. Il est proportionnel aussi à la puissance

i -- 3 = 5 de ei4-ea-

Dans le cas particulier où l'on a Ar = i , l'expression de a se simplifie, car l'intégrale ellijptique se réduit à

r^ du ^Tt ,

J^ TTw* ■" 2'

On trouve donc alors

a = r-^(eiH-Ci).

4« Cette élégante théorie a été utilisée^.pour préciser la notion phvr

^94 CHAPITBK \XV.

sique de dureté des corps. Elle permet de reconnaître d*une manière très rationnelle et très complète les conditions de résistance de deux corps d^ forme arrondie pressés Tun contre l'autre par des forces données P. C'est le cas, notamment, pour les billes sphériques, ou les rouleaux cylindriques intercales entre des plans, des sphères ou des cylindres. Il faut, bien entendn, que les épaisseurs des pièces en contact soient suffisantes pour que Ton puisse accepter Fhypothèse faite, à savoir que les pressions au contact éont indépendantes de ces épaisseurs. Pour des épaisseurs réduites, on ne saurait avoir qu'une approximation, très précieuse toutefois.

Voici quelques formules pratiques, en supposant que les deux corps ont sensiblement les mêmes coefficients d'élasticité e et r, ri

sont tels que t\ puisse d'ailleurs être pris égal à — • Dans ces conditions, on a

I** Cas de deux sphères pleines. Soient r, el /.j l<^s rayons des deux sphères. Oh a évidemment

d', = p", = -î- et

On a, d'autre pari, par raison de symétrie, cost = o, d'où a = V =: I et r/ = fe, d'où A* = i . On obtient donc

, s /jr 0,91 , . -

«." i/rr —

On on déduit

ir.ab \ \ r^r^ J

Quant au rapprochement a des centres des deux sphères, il a pour valeur

2** Cas d^une sphère pleine et d^une sphère creuse tangente intérieurement. — Les formules précédentes s'appliquent à la

seule condition de changer le signe du rayon r^ -de la sphère

creuse.

3** Cas rrune sphère et d'un plan. — On déduit les résultats "diicasdc deux sphères, dont Tune a uii rayon Ta infini. Les formules deviennent, en désignant par r le rayon de la sphère, ^

?max^ 0,388 4/ — ^ j

4* Cas de deux cylindres pleins de même rayon ^ croisés à angle droit. — On a, dans ce cas,

?!=-' ?%^0y Pt=»Oî ?!=-'

On en déduit, ca étant encore nul,

a(A-B) = f -i- = o, d'où