LIMITATION DU PROBLÈME AU CAS DE L'ÉLASTICITÉ PLANE

Équilibre d'blastigitâ d'un massif indrfini limite p\r une surface flank lorsque les charges appliquébs sur cette surface sont constantes tout lb long de droites parallèles a oy (élasticité plane). '

On a à traiter dans ce cas un problème d'élasticité plane, notablement plus simple 'que le problème général. MM, Boussinesq et Flamant ( C. /?., nSga) ont traité le cas de charges normales à la surface et déduit leurs résultats d'intégration opérés directement sur les potentiels tout le long de droites parallèles à O^. Mais les passages aux limites sont assez délicats, à cause des constantes infinies qui s'y introduisent, et qui ont leur répercussion sur certaines composantes des déplacements. Il est beaucoup plus simple d'étudier directement les composantes des. tensions en utilisant les formules obtenues en élasticité plane. Les seules composantes utiles à considérer ici sont N|, Nj, T2, et l'on sait et />r/or£ qu'elles ne dépendent pas des coefficients d'élasticité.

D'une manière générale, on peut remarquer d'abord que le potentiel '{^ ne doit pas dépendre de y par raison de symétrie et que, dans le plan zOx, il satisfait à la relat-ion simplifiée

D'autre part, le potentiel newtonien V d'un cylindre, ou d'une surface cylindrique, uniformément chargé suivant ses génératrices, se ramène dans le plan zOx k un potentiel logarithmique de la

LiMITATlON DU PROBbàMB AU CAS UK L ÉLASTICITÉ PLANE. 699

forme

f'o étant une constante et /• désignant le radical \{x — x^Y'-j-z*. "La densité superficielle p' des masses dm dans le plan est d'ailleurs liée à la densité linéaire p le long des génératrices par la relation 0' z=z ap {voir Poincaré, Théorie du potentiel neivtonien^ p.. 29). En un point quelconque d'une bande chargée parallèle à Or;

on aura toujours — = — 2Tcp.

Cela posé, les composantes Ng et T^, qui dans la solution générale ne dépendent que de V, peuvent s'obtenir très simplement, el il en est de même, comme nous l'avons vu, delà dilatation cubique. Quant à Ni, il se déduira de la relation connue

î>î,H-N8=à(XH-fJi)«

et si même on désirait connaître Nj on le déduirait de la relation

Nous considérerons encore deux solutions types, suivant que les charges seront parallèles à Oz ou à 0.r.

Première SOLUTION. — Charges parallèles à Oz. — Nous avons trouvé dans le Chapitre précédent

iLTz dz ait a«*

ATT a.r dz

Il en résulte

' 1% dz itt dz*

On peut faire immédiatement cette remarque que pour 5 = o on aura toujours

•>.T dz

700 "' nHAPITHE XXVI.

Or, on a ici

rfV r.z .

d^z=J TT-^^'» *' S? =J (tt - -Pi) '''"■

Si maintenant on pose dm = 20^.^1, on trouve facilement les formules

Deuxième solution. — Charges parallèles à Ox, — On a cette fois, en se reportant au Chapitre précédent :

%i: dz !»it </ar* — I dW

Tf = -y— -i . >

Il en résulte