r(À -^- (Ji) ^a

7C dT '2 7: dx dz

Par des calculs semblables aux précédents, on trouve, en remplaçant les dérivées du potentiel logarithmique par leurs valeurs :

On passe de la au cas général. Si la pression appliquée à l'élément e£:r, a pour composantes — Krlx^oX — Cdx^ suivant 0a?et05

UIIITÀTION DU PROBLàHB AU CAS DB L^BIASTIGITé PLANB. ^Ol

on a évidemment *■

A î^l^ +Cf

<tX\,

Ces expressions mettent en évidence la quantité A + C-

qui n'est autre chose cjue la projection de la charge sur le rayon vecteur allant du point chargé au point auquel se rapportent les tensions.

Ces expressions sont intégrables notamment lorsque A et C sont des fonctions rationnelles de Xi .

Dans ce qui va suivre, nous nous attacherons partlculiènenient au développement de la première solution, la seconde donnant lieu à des considérations de même n<ature.

Considération de forces extérieures concentrées le long de Oy, — On supposera ^4 = o et les forces extérieures concentrées dans une bande étroite dx^ assimilable à un infiniment petit, avec une densité p telle (\\xe pdx^ = C. Les intégrales sont à remplacer par leurs éléments et les résultats obtenus seront valables sauf au voisinage de la zone chargée, bien entendu.

On a ainsi

2G 5» ^ 2C z^ », •;îC z^x 'i(\ z^x

Les tensions N<, N» représentent des compressions. Elles

s'annulent toutes à l'infini, leurs expressions étant de Fordfe de -•

Elles s'annulent aussi partout pour z --=- o, sauf, bien entendu, à l'origine, où les formules ne sont du reste pas applicables. On constate que Ton a la relation

et l'on en conclut, puisque NjNs — T, est un invariant, que l'une des deux compressions principales, sur les éléments plans normaux à zOx, est toujours nulle. La compression principale non nulle a pour valeur

Elle s'exerce d'ailleurs sur l'élément perpendiculaire au rayon r. En effet, quelle que soit l'orientation d'un élément plan passant par le point M (j?5), la direction de la compression qui s'y exerce demeui'e. constamment parallèle à la compression principale. Or

sur rélément parallèle à Ox on a jrp == -. I,a direction ccnn mune

cherchée est donc le rayon OM, issu de Toriginc.

Il est aisé de suivre dans tout le plan zOx les variations des tensions N<, N3, Tj et a.

Si l'on se déplace, par exemple, sur un plan horizontal, mené à la distance £, on trouve :

I* Que. Ni part de zéro pour j? = o, qu'il va ensuite en croissant

pour passer par un maximum égal à — -;^, lorsque l'on a x^=^ z et enfin qu'il va en décroissant pour s'annuler avec x = cc.

2" N3 a pour valeur pour x = o et va constamment en

décroissant lorsque x augmente. Il s'annule à l'infini.

Si l'on fait la sommation / N, dx^ on trouve, en tenant compte

de ce que

dx X i X

: — ; r:z = — r: — ;; t' -^ ; î*»'c lan^— »

?*^ Quant à T.j. c'est une fonction impaire de x. Elle s*annule

LIMITATION DU PROBLBMB AU CAS UE l'ÉLASTICITÉ PLANE. 7o3

pour 27 = o, puis va en croissant et passe par un maximum égal à X — pour or = "7= • Ensuite elle va en décroissant et

s'annule pojir a? = oo.

Torf^, on trouve, en tenant compte

de ce que

xdx I

«, , aC^^ I C

4* Enfin, a est égal à — ^^ pour jf = o et va constamment en

4k 'fj

décroissant lorsque x augmente. M s'annule à l'infini.,

La plus grande valeur de a, égale à la plus grande valeur de N3, se trouve, à la profondeur -3, à Taplomb de la charge, et pour l'obtenir on peut supposer que celle-ci se répartit uniformément sur la bande découpée à cette profondeur z par deux plans obliques

inclinés sur la verticale d'un angle a tel que tanga=— • On trouve

approximativement a = 38" 1 o'.

Examinons de la même façon ce qui se passe .lorsqu'on se déplace sur un plan vertical d'abscisse x.

1° N, part de zéro pour 5 = 0. Il va ensuite en croissant et

se passe par un maximum pour z ="7^* La valeur de ce maximum est

— r~w=7 X — • Ensuite il va en décroissant et s^annule pour x=:oo.

Si l'on fait la sommation / Ni^f^, on trouvera comme résultat

G en utilisant le résultat analogue trouvé plus haut pour T^,

permutation étant faite des variables x et z.

a® N3 part aussi de zéro pour 5 = 0, passe par ui^ maximum pour

5 = j7y/3, puis tend vers zéro.

3" Quant à T3, il part aussi de zéro pour 2 = o. Il passe par un

maximum pour z = x^ ce maximum ayant pour valeur •

Ensuite, il décroit jusqu'à zéro.

/• T^dz^ on trouve, en tenant compte

7o4 CHAPlTRfi XXVI.

de ce que

' z^dx

4^ Enfin, a part de zéro. Il passe par un maximum pour j7 == 2, ce maximum ayant pour Valeur ^- 11 s'annule à l'infini.

•^ * ira:

n est à remarquer que si Ton considérait spécialement le plan vertical passant par O3, en faisant a: = o, on trouverait, quel que soit 5, pourvu qu'il soit différent de zéro,

On serait tenté d'en conclure que les intégrales / ]V^ ^5 et T2 relatives à ce plan dz sont nulles, alors que pour tous les plans

parallèles elles ont des valeurs constantes ou ih — respectivement. Mais si l'on examine les conditions d'équilibre statique de la tranche comprise entre le plan vertical Os et le plan vertical d'abscisse x^ on constate que seule la seconde intégrale peut être nulle. U •faut donc supposer quelque part^ans le plan vertical Os desréactions

horizontales dont la résultante soit égale à — > autrement dit une corn-

prc6sion totale ayant cette valeur. On est conduit à' admettre que cette compression totale s'exerce dans la zone infiniment petite au voisinage immédiat du point O, zone dans laquelle les formules n'ont plus de sens et conduisent pour la valeur de N|, comme pour celle de Nj, à un résultat infini. On peutdire, si l'on veut, que N| passe

brusquement de la valeur zéro à la valeur au point O. Mais ce

nVst là évidemment qu'un langage abrégé, signifiant qu'on ne-peul connaître que la résultante des compressions horizontales N| au voisinage du point O, de même qu'on ae connaît que la résultante des chargCvS. Ce qui serait faux, ce serait d'en conclure, comme certains auteurs l'ont fait, qu'au point O interviennent deux forces

— tendant à écarter l'une de l'autre les deux moitiés du massif,

UMITATION un PROBLEMK AU CAS DK L BLISTICITE PLANE.

alors qu'il s'agit uniquement des réactions (compressions) de l'une des moitiés sur l'autre.

Examen du cas d'une bande uniformément chargée. — Soit A'Â la bande uniformémenjt chargée, à raison dey; par unité de longueur, et soient a' et a les abscisses de ses extrémités.

Tout le long de A' A on aura N:i = -/> et ce sera là sa valeur maxima. Nous nous bornerons à étudier les deux autres tensions utiles N| et Ta, le. long d'une verticale O;; dont nous ferons varier la position, par rapport aux points A' et A.

Fig. 19a.

Soit M (Os) le point pour lequel on calcule les tensions et M| {Xx O) un' point de la bande chargée. Ce dernier peut être défini

en coordonnées polaires par l'angle OM^i , - (o, compté positivement à droite de MO, et l'on aura

Tx==: z langco,

= v/iî

rt —

costu

Les valeurs extrêmes de (o, pour A' et A seront désignées respectivement par a' et a.

Nous supposerons toujours A à droite de O, c'est-à-dire a et a positifs. Si A' est également à droite de O, comme dans la figure ci-dessus, on aura aussi a et a positifs. Mais, dans le cas ou A tomberait à gauche de O, on aurait a' et a négatifs.

Lorsque l'on fera tendre M vers O, a tendra vers 7- Mais, suivant

PiGEAUD

7o6 CHAPITRE XXVI.

le cas, a tendra vers 4- — ou -• Lorsque le point M s'éloignera

à Pinfini, a et ol tendront tous deux vers zéro.

Étude de la tension N,. — D'après la formule générale, on a ici

Or on a

^^j = 5 — -— , j^î = 5* iang**D, /•* =

cos'd) ' ° cos*a)

On ti^ouve donc

Si maînteîiant on fait tendre M vers l'infini, on trouve N, = o, quelle que soit la situation respective des pomts O A' et A.

Si, au contraire, on fait tendre M vers o, deux cas sont à disûnguer. Si A' est à droite de O, autrement dit si le point O est à

l'extérieur de la bande chargée, a et a'. tendent vers + - et à la

limite N| = o.

Si A' est à gauche de O, autrement dit si le point O est un point

de la bande chargée, % tend vers et Ton a

limNi = r- — — = — /?•

Celte limite représente une compression dont Tintensité est égale à celle de la charge au même point.

Ces résultats sont bien conformes au résultat général indiqué plus haut, à savoir que sur la surface on a partout N< = Ns-

Il est à remarquer que la compression N, sur la surface subit, comme N3, un saut brusque égal k p en valeur absolue, quand le point O franchit le contour de la zone chargée. Cette singularité disparaîtrait pour une répartition de la charge annulant p sur le contour.

Lorsque le point O appartient à la zone chargée et qu'on fait croître