LIMITATION DU PROBLÈME AU CAS DE LÉLASTICITÉ PLANE

z (le o à 00, et que par suite a décroît de - à o, ainsi que ( — a), chacune des fonctions a — ^î^ii^ et — (a'— !lllii \ est positivé et va constamment en décroissant. 11 en est de même de la valeur abolue de N|, qui en est la somme, au facteur près —

Lorsque le point O est à gauche de A' et n'appartient pas à la zone chargée, Ni est la différence de deux fonctions décroissantes, et Ton ne peut plus faire le même raisonnement. On sait, d'ailleurs, que N< part de zéro pour aboutir à zéro et qu'il est toujours négatif. Il passe donc par un maximum en valeur absolue pour uii point intermédiaire, que l'on pourrait d'ailleurs déterminer, en tenant compte des relations

a = 2tanga, a' = ^taQga'; d'où

tan^a a

lanjça a

Cherchons maintenant à évaluer Tiiitégrale / N, c/c des valeurs

de N| le Wng de OM. On peut intégrer séparément les ter;nes dépendant de a et ceux dépendant de a'.

On a V = a cota, d'où dz = r-r— > et les limites d'iotéffration

pour a sont a = — et a =^ a. On obtient donc pour cette partie de l'intégrale

pa r^l sin2a\ drt. pa /•*/ a \ j />« i i?

i £1 I (a ---.=I/ l col'x]d7. =iI—[oL coi 7.\l

TZ Jic \ a /sin'a n Jn \sin»a / tt "^ '«•

Or, pour a == -^» on a acota = o. Il reste donc

pa pz

— — a cet st = — • — y. .

Si a' est positif, un calcul tout semblable donnera pour les termes en a! le résultat -f- — a, de sorte que le résultat final sera

pz

Si a' est négatif, en désignant par a" sa valeur absolue, on trouverait — — a" =^ CL, Le résultat final serait donc encore le même. Il est proportionnel à :; et à l'angle a — ol' sous lequel on voit du

7o8 CHAPITRE XXVI.

point M la bande chargée A' A. Autrement dit, il est égal à

— - XC'C, Tare ce étant Tare de cercle décrit de M comme

centre avec M0 = ^ comme rayon, et compris entre les droites MA' et MA.

Si, à présent, on fait tendre M vers l'intini, on a

iim 2(a — a') = a — a\ de sorte que l'on a

en désignant par P la charge totale yy (a — a'). Ce résultat est indépendant de la situation respective du point O par rapport à A' A.

On peut, par des procédés analogues, calculer / N,2rfr,

intégrale qui représente le moment par rapport au point O des tensions horizontales N| s'èxerçant entre O et M. En prenant encore a comme variable d'intégration pour intégrer les termes dépendant de a, on trouve pour ceux-ci :

— p r" / sin^aN — a da pa^ /'*/acosi. . \ , — i- / (a lacofa— r-- — = -f- ^- — / ( — r~z çol*a)rfa.

r. Jfc \ % ] ' sin-a :: , /jr \ sin'a /

acosa

L'intégrale générale de -r-^ cot^a est

2 sinSoc

cota

ainsi qu'on peut le vérifier par différentiatioit. En tenant compte de ce que pour a = - la valeur de cette fonction se réduit à — » on

trouve comme résultat :

pa

rt* r a cola kI

;: L 'i sin^a i . 4 J

Si a/ est positif, on intégrera de même les termes correspondants et l'on fera la différence des résult£^ts. Si a' est négatif, on arrivera au même résultat en posant a' -^ — a" et a' = — a", et l'on en fera

» Jt