LIMITATION DU PROBLEME AU CAS DE L ELASTICITE PLANE

la somme. Dans le premier cas, on obtiendra

pa!' l , a' co

et dans le second cas /

Lorsqu'on fait tendre M vers l'infini, a et a tendent vers zéro. L'ensemble des termes en a et a' tend vers zéro, ainsi qu'il est facile de s'en assurer en développant par rapport à a l'expression

siii 2a

-f- cola = c-

siii'a siii'a

le numérateur étant de l'ordre de a** et le dénominateur de l'ordre de 7? seulement. 11 en résulte que le moment / ^szdz tend vers les valeurs suivantes :

:^ -H ^=. 4 («,«'.) quand «'> o, 4 4 4

— ^ ^^ =— ^(a«-+-a'*) quand «' < o.

En divisant ces expressions par — £ (a — . a'), on aurait les points

de passage de la résultante.

Supposons maintenant que O coïncide avec le milieu de AA' et que, les points A et A' s'éloignant indéfiniment,^ la bande chargée ait une largeur infinie. Quel que soit le point M, pourvu qu'il reste à distance finie de O, on aura approximativement à la limite

Supposons enfin que le massif indéfini soit d'abord aussi ^u niveau du point M, puis qu'on le complète par couches successives d'épaisseur dz s'incorporant au fur et à mesure au massif, et en faisant dès lors partie intégrante. Chaque couche ajoutée équivaudra à une charge /J<Y5, pai unité de longueur, p étatit le poids de l'unité de volume. Elle produira en M une compression --N,=/;rfj.

710 CUAPITBE XXVI.

La compression totale aura pour valeur pz^ quand le massif sera complété jusqu'au niveau de O.

La compression totale entre O et M aura pour valeur

/ pz dz :=^

el sera appliquée, au tiers de la hauteur, à partir de M. Étude de Ta- - D'après la formule générale^, on a ici Tj = H i- / — i--^j', = -^/ ftin(*>eosn></a> =— — (cos'a — cos^a').

Tj s'annule toujours pour 5 -= oc. Quand on fait tendre '5 vers

zéro, a et a' tendent vers ^ et ±: - et l'on a encore Ta = o, quelle

que soit la situation du point O par rapport à la 2one chargée.

T3 conserve toujours le même signe le long d'une verticale quelconque, ce signe dépendant de la grandeur relative de a et de a' en valeur absolue et celle-ci dépendant elle-même de la grandeur relative de a ei a . Ta passe donc en valeur absolue par un maximum entre 5 rr^ o et ;5 -= 00. Quand O est au milieu de AA', on a constamment Ta ^= o.

Cherchons maintenant à évaluer Tintégralc / T^ dz le long de

OM. On pourra encore intégrer séparément le, terme dépendant de a et celui dépendant de a'. A l'égard du prenûer, en remplaçant dz par r-r- ' on obtient

on r cos-

a , pa . Jï pa paiL pz

en tenant compte de a cota = z.

Le terme en a' donnera de môme, si a' est positif,

de sorte que le résultat final sera

Tidz = ^(a a')- ^(aoL-^a'o^'),

LIMITATION DU PROBLÉIfB AU CAS DE L*KIASTICITÉ PLANE. 7 II

Si d et a' sont négatifs, en désignant par a et J leurs valeurs absolues, on obtiendrait pour le second terme

2 ~~Tt 5rJ

de sorte que 1^ résultat final serait

JL TT

Si, à présent, on fait tendre z vers l'infini, a et a tendent vers zéro et Ton a dans le premier cas {ay> o et le point O étant en dehors de la zone chargée)

Dans le second cas (a < o, le point O étant dans l'intérieur de la zone chargée).

En particulier, quand O est au milieu de l'intervalle AA', on a a' =: — a et l'intégrale est nulle, ses éléments étant d'ailleurs tous nuls, comme nous l'avons vu.

Les résultats qui précèdent paraissent pouvoir légitimement trouver leur application dans l'étude des effets des surcharges imposés à un terre-plein limité par un mur de soutènement vertical.

Étude d'une plaque indéfinie d'épaisseur constante h. — L'étude du massif indéfini conduit tout naturellement à la connaissance de l'état élastique d'une plaque indéfinie pour certains cas, très particuliers, il est vrai, de distribution des charges sur ses deui faces.

Considérons, en effet, le massif indéfini situé au-dessous dç Oo?, et supposons qu'on applique à sa surface ua système de charges, du reste quelconque. Coupons-le par le plan horizontal O' a?' mené à la distance h de la surface libre. La plaque indéfinie comprise entre Ox et O' x' conservera l'équilibre élastique qu'elle possédait

antérieurement à la coupure, alors qu^elle faisait partie du massif indéfini, pourvu que sur sa face^ inférieure 0\i' on applique des charges égales aux réactions N3 et Ta qui s'exerçaient aux diffé-

Fig. 193.

rents points de. cette face. On pourra donc connaître les tensions en tous les points de la plaque, ainsi chargée arbitrairement sur Pune de ses faces et soumise sur la face opposée aux réactions qui y seraient développées par ces charges arbitraires dans le massif indéfini.

Supposons maintenant que, sur la face inférieure, on applique des chargcs"é gales et symétriques deux à deux aux charges de la face supérieure et sur la face supérieure des réactions égales et symétriques deux à d^ux à celles de la face inférieure, on aura encore un système en équilibre. En un point intérieur M, les composantes des tensions relatives au second système de charges se déduiront de celles relatives au premier, à condition de porter l'origine des coordonnées en O', c'est-à-dire de changer s en z — h et de changer le signe des composantes verticales des charges. Si l'on pose z =^ h — ;;, de sorte que ;; -j- 3' = A, cela reviendra à changer z en — z en même temps qu'on changera le signe dés composantes verticales des charges. On aura ainsi la solution correspondant à deux ensembles do charges symétriques, dont l'un est arbitraire et dont l'autre est constitué par les réactions qui correspondraient au premier dans un massif indéfini.

LIMITATION DU PROBLEME AU CAS DE l'ÉLASTIC ITÉ PLANE. 7l3

Bien que ceci soit très particulier, on peut, dnns certains cas, y trouver une méthode permettant l'élude d'un ensemble de charges symétriques, donné arbitrairement. Si, en effet, l'ensemble complémentaire formé par les réactions est susceptible d'une solution exacte ou approchée, il en sera évidemment de même du premier ensemble.

On peut même aller plus loin. Si Ton considère un ensemble de charges égales et opposées à Fcnsemble complémentaire des réactions, il aura lui-même un système complémentaire que l'on pourra déterminer, et l'on aura encore une situation d'équilibre pour la plaque soumise à l'ensemble des charges données d'une part, et à l'ensemble des réactions du second système complémen-: taire, et ainsi de suite. 11 pourra arriver que Ton parvienne ainsi, après quelques transformations, à un système cpmplémentaire susceptible d'une solution exacte ou approchée. On en déduira une solution pour le système des charges données.

Afin de préciser par un exemple, nous examinerons le cas où les charges se réduisent à deux forces normales C égales et opposées applic^uécs respectivement aux points O et O'.

D'après ce que nous avons dit, les charges complémentaires à faire intervenir sur la base inférieure Çf x sont les réactions N, et T^ qut correspondraient à la charge C agissant en O. En un point h!{\h) de cette base, on aura