I. — Statique («raphiqur

Objet de la statique graphique. - - L'objet principal de la statiqiu^ raphique est de fournir un procédé de composition des systèmes de vecteurs ou de forces contenus dans un plan. 11 résulte de la grande généralité de ce procédé une souplesse remarquable qui permet de l'appliquer à des recherches très diverses et notamment au calcul graphique. Nous nous bornerons à en exposer les principes.

En statique graphique on représente systémati([uement les forces à Taide de deux figures distinctes.

La première (Jig' i3), qu'on appelle plan de situation des forces^ contient les lignes d'action des forces.

Fig. i4.

La deuxième {fig. i4)? qu'on appelle polygone des forces^ ou polygone de Varignon, s'obtient en portant bout à bout,', à partir d'un point origine a, pris arbitrairement, des vecteurs qui, à

une échelle convenue, représentent la grandeur, la direction et le sens de chaque force.

La direction de chaque force se trouve ainsi représentée sur les deux figures à la fois, mais son sens ne l'est que sur la seconde.

Habituellement on désigne les lignes d'action des forces par des numéros (placés entre parenthèses), dans Tordre où Ton fait succéder les forces dans le polygone des forces. Les mêmes numéros (sans parenthèse) désignent les côtés successifs de ce polygone.

Dans la figure i3 on a représenté les lignes d'action de quatre forces numérotées (1), (2), (3), (4), et dans la figure i4 le polygone de ces forces qui se compose de quatre côtés 1, 2, 3, 4, et dont on a désigné, pour plus de clarté, les sommets par des lettres a, 6, c, rf, e. Le point a est l'origine du polygone et e son extrémité.

Problème de la composition des forces. — Un système de fprces situées dans un même plan peut, en général, se ramener à une force unique située dans ce plan et appelée résultante du système. Cette résultante peut du reste avoir une intensité nulle, lorsque le système est en équilibre. Lorsqu'il n'y a pas de résultante, le système est équivalent à un couple. Quel que soit le cas où l'on se trouve, la réduction se fait méthodiquement par le procédé général suivant.

Soit à réduire le système des quatre forces définies par leur plan de situation et leur polygone des forces {fig* i3 et i4).

La résultante des forces est représentée en grandeur, direction et sens sur le [>olygone des forces par le vecteur ae allant de son origine à son extrémité. Si les points a et e étaient confondus (le polygone des forces étant fermé) ^ la résultante serait nulle et l'on aurait ou bien un système en équilibre, ou bien un système réductible à un couple.

Reste donc à trouver, soit la ligne d'action de la résultante, si elle existe, comme dans le cas de la figure, soit les deux forces du couple capable de remplacer le système donné.

Dans le plan du polygone des forces, prenons arbitrairement un point O, que nous appellerons jydfe, et joignons-le aux différents sommets a, t, c, rf, e du polygone. Les lignes oa, . . . , o<? s'appellent les rayons polaires on forces polaires.

Dans le plan de situation, à partir d'un point O arbitraire.

STATIQUE GRAPHIQUE. CALCUL GRAPHIQUE d'iNTëG RALES .« 27

traçons OA parallèle à o«, puis à partir du point A, où elle rencontre la ligne d'action de la force (1), traçons une parallèle AB à oi, puis du point B, où AB rencontre la ligne d'action de la force (2), traçons une parallèle BC à oc, et ainsi de suite. La dernière ligne tracée sera DE, parallèle à o<?, le point D étant siir la ligne d'action de la dernière forcé (4). La figure ainsi obtenue s'appelle un polygone funiculaire des forces données. Tous ses sommets se trouvent sur le réseau des lignes d'action de ces forces; ses différents côtés sont respectivement parallèles aux rayons polaires; ses côtés extrêmes (OA et DE) sont parallèles aux rayonîi polair0s extrêmes, qui correspondent à l'origine a et à l'extrémité e du polygone des forces.

Supposons nù'on applique suivant OA, considérée comme une ligne d'action, deux forces égales et de sens contraire, dont l'intensité soit représentée par la longueur du rayon polaire oa. L'équilibre du système ne sera pas troublé; autrement dit, on aura un second système équivalent au premier.

Laissons provisoirement de côté la force dont le sens serait défini par ao et composons la force de sens oà avec la force (1). La résultante sera égale, en grandeur et direction, au rayon polaire ob. Sa ligne d'action doit passer par le point A et être parallèle à ob (en vertu de la règle ordinaire de composition des forces). Elle ne peut être que AB.

Composons de même cette première résultante partielle avec la force (2). Leur résultante sera représentée par la ligne d'action BC et par le rayon polaire oc, et ainsi de suite.

La dernière résultante partielle sera représentée par DE sur le plan de situation et par le rayon polaire oe sur le polygone des forces.

Le système des forces données, ou celui qui lui a été substitué, peut donc en définitive se remplacer par un système de deux forces, l'une égale à ao et ayant comme ligne d'action OA, l'autre égale à oe et ayant comme ligne d'action DE.

Si les points a et e sont distincts, c'est-à-dire si le polygone des forces ne se ferme pas, les deux droites OA et DE, côtés extrêmes du polygone funiculaire, respectivement parallèles à oa et oe, se rencontrent forcément en un point M et la ligne d'action de la résultante doit passer par ce point. Comme elle doit d'autre

part être parallèle à ae, elle se trouve ainsi complètement définie.

Si les points a eXe étaient confondus, c'est-à-dire si le polygone des forces se fermait, les deux droites OA et DE seraient ou bien confondues, ou bien parallèles.

Dans le premier cas le système proposé se trouverait remplacé par deux forces égales, de sens opposé) agissant suivant la même ligne d'action et se faisant par suite équilibre.

Dans le second cas, il serait remplacé par deux forces çgales, de sens opposé, agissant suivant deux lignes d- action parallèles et distinctes, et par suite équivalentes à un couple.

Remarque /. — Les deux points o et O étant complètement arbitraires, on voit qu'on peut tracer, pour un système donné de forces, une infinité de polygones funiculaires différents. On peut donc toujours s'arranger pour que la construction soit possible.

D'une manière générale il suffit pour cela que le pôle o soit pris en dehors des côtés du polygone des forces. Mais cetle condition n'est même pas nécessaire. On peut par exemple prendre le pôle sur la direction du premier côté aè, à conditionne prendre le point O sur la ligne d'action (l),.qul deviendrait le premier côlé du polygone funiculaire, pourvu toutefois que toutes les autres lignes d'action ne lui fussent pas parallèles. Si le pôle o est confondu avec le point a, la construction revient purement et simplement au procédé ordinaire de composition successive des différentes forces.

Remarque II. — II est essentiel de remarquer que la même construction peut servir à trouver la résultante partielle d^un groupe quelconque de forces faisant partie du système donné, pourvu que les forces de ce groupe soient successives eu égard à l'ordre adopté dans la construction du polygone des forces. Ainsi les forces (2) et (3) ont pour résultante une force représentée sur le polygone des forces par bd et sur le plan de situation par la parallèle à bd menée par le point N oiï se rencontrent les côtés AB et CD, qui jouent le rôle de côtés extrêmes pour le polygone funiculaire partiel du groupe des forces (2) et (3).

Remarque III. — Si l'on remplace un groupe quelconque de

STATIQUE GRAPHIQUE. CALCUL GRAPHIQUE d' INTÉGRALES. 9.9

forces successives du système par leur résultante partielle, par exemple les forces (2) et (3) par leur résultante partielle, dont lu ligne d'action passe en N, il est évident que ce changement n'altérera le polygone ;des forces et le polygone funiculaire que dans l'intervalle compris entre la première et. la dernière force* du groupe. Par exemple la ligne brisée bcd est remplacée par la droite bd\ de même BG est supprimé, mais CD demeure la parallèle à od passant par le point N, où AB rencontre la ligne d'action de la résultante partielle.

A la limite le polygone funiculaire peut se réduire à ses côtés extrêmes OA et DE, se rencontrant sur la ligne d'action de la résultante totale parallèle à ae.

Remarque IV. — Lorsque, au lieu 'de forces isolées, on a affaire à des forces réparties d'une manière continue dîins le plan de situation,, chacune d'elles étant assimilable à un infiniment petil,' les mêmes résultats subsistent, à la condition de remplacer le polygone des forces et le polygone funiculaire par des lignes courbes, limites de lignes brisées à côtés infiniment petits. Les tangentes à la courbe des forces sont parallèles aux lignes d'action successivement rencontrées en allant dans un sens convenu. Les tangentes à la courbe funiculaire sont parallèles aux rayons polaires successifs, infiniment rapprochés.

Au point de \ue graphique, il est pratiquement nécessaire de grouper les forces qui sont réparties dans certains intervalles finis et de les remplacer par leur résultante de grandeur finie. La remarque précédente trouve alors son application. On est conduit à remplacer sur la courbe des forces certains arcs par leur corde, mais les sommets du polygone simplifié demeurent sur la courbe dont ils sont des points exacts. De même sur la courbe funiculair<î on remplace certains arcs par leurs deux tangentes extrêmes, mais les points d(» contact des côtés du polygone simplifié demeurent des points exacts de la courbe funiculaire. Ces points de contact sont d'ailleurs placés à la rencontre des côtés du polygone funiculaire simplifié avec les lignes d'action extrêmes de chaque groujx* de forces.

Remarque V , — 11 ny a rien de changé à la tliéorie générait* lorsque le système donné est composé de forces toutes parallèles à

3o CHAPITRE 11.

une même direction. Dans ce cas, le polygone des forces a tous ses sommets sur une même lijçne droite, en dehors de. laquelle on doit prendre le pôle o.

La distance du pôle à la droite qui constitue le polygone des forces s'appelle alors la distance polaire^ ou la force polaire.

Ce cas des forces parallèles donne lieu à des développements importants, que nous retrouverons plus loin, et qui sont la bascî de nombreux procédés de calcul graphique.

Propriétés générales des polygones funiculaires relatifs à un même système de forces :

Théorème. — Deux polygones funiculaires correspondant à un même système de forces^ mais tracés avec des pâles différents^ sont tels que la ligne joignant les points d'intersection de leurs côtés extrêmes soit parallèle à la ligne des pôles.

Soit OABCDE un premier polygone funiculaire des forces (1), .... (4), tracé. avec le pôle o et OA'B'C'D'E un deuxième polygone tracé avec le pôle o'. Les premiers côtés se coupent en O, les derniers en E. Je dis que OE est parallèle à oo'.

En effet le système des forces données peut se ramener aux deux forces ao et oe, ayant respectivement pour lignes d'action MO et ME, car on peut décomposer de cette façon la résultante R des forces.

Supposons qu'on trace avec le pôle o' un polygone funiculaire de ces deux forces MO et ME en faisant pass(M* le premier côté par O. Son premier côté sera OA'M' parallèle à o'a. Son second côté sera une droite OE', parallèle au rayon polaire o'o, et son troisième côté sera une parallèle ào'e, et il dexra d'ailleurs être tel que son point de rencontre avec le premier côté OM' soit sur la résultante (R) des forces. Ce point de rencontre ne pouvant être que M', le troisième côté du polygone ne peut différer de M'E qui remplit précisément ces conditions. Cela impliqu<^ que E' soit à la rencontre de ME et de M'E, c'est-à-dire au point E. Autrement dit OE est la parallèle à oo' menée par le point O.

Corollaire. - Deux polygones funiculaires correspondant à un même système de forces sont tels que leurs côtés correspondants se coupent sur une même droite parallèle à la ligne des pôles.

STATIQUE GRAPHIQUE. CALCOL GRAPHIQUE d'iNTëGRALES. 3i

- Cela résulte du théorème qui vient d'être démontré. On a vu eu effet que si Ton prend le point de rencontre O des deux premiers côtés et le point Ae rencontre des deux derniers, la ligne qui les joint est parallèle à la ligne des pôles o'o. Il en est de même pour tous les polygones partiels, qu'on obtient en supprimant la dernièn» force, puis les deux dernières, etc. Donc tous les côtés correspondants se coupent sur une même parallèle à oo' tracée par le point O d'intersection des deux premiers côtés.

Quand toutes les lignes d'action sont concourantes^ les deux polygones funiculaires sont deux figures homologiques, le centre d'homologie étant le point de concours des lignes d'action et Taxe d'homologie étant la parallèle à la ligne des pôles dont il vient d'être parlé.

Dans le cas de forces parallèles, les lignes' d'action cjoncourent en lin point situé à Finfini dans leur direction ; les deux polygones funiculaires sont donc deux figures homologiques dont le centre d'homologiè est rejeté à l'infini. Leurs ordonnées | comptées à •partirjde Taxe d'homologiè îdans la directionides forces ,sont alors proportionnelles. Autrement dit ce sont deux figures déduites l'une de l'autre par dilatation ou par réduction d'ordonnées dans la direction considérée. Cette propriété sera très fréquemment invoquée.

Décomposition d'un système de forces suivant deux lignes d'action données. — Le problème n'est possible qu'autant que les lignes d'action données se rencontrent sur la ligne d'action de la résultante du système ou bien lui sont parallèles. Il existe de nombreux cas, notamment celui des forces parallèles où cette condition est facile à vérifier à priori. Dans tous les autres cas on pourra la vérifier après la détermination de la lignç d'action de la résultante au moyen d'un polygone funiculaire, détermination qui aura au surplus comme conséquence de ramener le problème posé à celui' de la décomposition [d'une force unique suivant les deux lignes d'action données.

Soient (X), (Y) les lignes d'action données se rencontrant au. point S de la ligne d'action (R) de la résultante. Soit ae le segment qui, sur le polygone des forces, représente cette résultante*.

Dans le cas général la solution la plus simple est celle qui est

fournie par la statique et qui consiste à tracer par a une parallèle «^ (X) et par e une parallèle à( V) et à prendre leur intersection co. Les vecteurs aw et we sont les composantes cherchées. Mais ce.

Fig. i5.

Fig. 16.

tracé tombe en défaut quand (X) et (Y) sont parallèles à (R) et est peu précis lorsque (X) et (\) sont presque parallèles. Voici undeuxième moyen plus général qui découle du théorème précédent.

Soient OM et ME les côtés extrêmes du polygone funiculaire de pôle O qui a servi à déterminer la résultante (R).

Ils peuvent être considérés comme constituant un polygone funiculaire afférent à la force unique (R).

Soient I et J les points où ils rencontrent respectivement (X) et (Y). Les deux droites IS et SJ peuvent être de leur côté considérées comme constituant un polygone funiculaire afférent à la même force (R) et tracé avec le pôle w.

T^es points \ et J d'intersectibn des côtés extrêmes de ces deux polygones funiculaires sont donc tels que IJ est parallèle à ooi.

Il en résiille qu'on peut déterminer w par Fintersection de oo), parallèle à IJ, et de Tune quelconque des droites aw et ^(o considérées précédemment et parallèles respectivement à (X), (Y).

Dans le cas 1res important où (X) et (Y) seraient parallèles à (R), a(o et tf(o se confondent avec ae et w se trouve sur cette droite.

La droite IJ qui joint les points où les droites (X) et (Y) rencontrent les côtés extrêmes du polygone funiculaire primitif s'appelle la ligne de fermeture de ce polygone primitif relativement aux droites (\ ) et (Y).

STATIQl'E GRAPHIQUE. CALCUL GRAPHIQUE d'iNTÉGRALRS. 33

Décomposition d'un système de forces suivant trois lignes d'action données non concourantes. — Le problème est toujours possible. Soient (X), {\ ), (Z) les trois lignes d'action données. Supposons

Fi«. 17.

Fig. 18,

(|u'on ait déterminé la résultante du système des forces : soient (R) sa ligne d'action et ae sa représentai ion sur le polygone des forées. Soient S le point de rencontre de (R) et de (X) et L le point de rencontre des deux dernières lignes d'action (\) et (Z). Nous décomposerons d'abord R suivant les deux lignes d'action (\) et SL, en appliquant la construction précédemment indiquée.

Si IM et M J sont les deux côtés extrêmes du polygone funiculaire supposé tracé avec le pôle O, on mènera la ligne de fermeture IJ, relative aux deux lignes d'action (X) et SL. On tracera o to parallèle à IJ et a o) parallèle à (X). a co sera la composante suivant (X) et co<? serait la composante suivant SL.

II restera à décomposer coe suivant les deux lignes d'action {\ ) et (Z) qui concourent au point L. On fera cette décomposition en menant com parallèle à (Y) et em parallèle à (ZV

Le contour polygonal atome fournit les trois composantes cherchées de la force R= ae et, par suite, du système de forces proposé.

Comme on peut prendre pour première ligne d'action (X) l'une quelconque des trois lignes d'action données, on voit que la C(mstruction peut s'opérer de plusieurs manières, entre lesquelles on choisira la plus commode au point de vue graphique.

Expression gpraphique du moment d'un système de forces par

PlGRAri»

rapport à un point donné. — Supposons (lunii nioveii (l*uii polygone funiculaire de pôle () on ait déterminé la li^ne d'action (R) de

Pig- 19.

Fig. 30.

la résiiltanle, dont la grandeur esl représentée en ae sur le polygone des forces. Par le point donné (j menons (^D ), parallèle à (R) et coupant en K et L respectivement les côtés extrêmes du j)olygone funiculaire (O) et (E). Le moment <lu système par rajv port à G est égal au produit de ac par la dislance \IH de M à la droite (D).

Si ok représente la distance du pôle o à la résultante ae dans le polygone des forces, les deux triangles semblables MKL et oae

fournissent la relation