h/*»;* it {^*-hh*y

Sur la base supérieure, au point symétrique A(ÇO), on aura une charge complémentaire de composantes A' ( — C).

Quant aux tensions en un point M(j:5) de la plaque, elles seront données par les formules suivantes où z' = h — z :

*■" ~ [ia:*-h 3»)* "^ (x*-r- ^'*)« J '

^ ^ aC r . zi __iL l

Bien entendu, ces formules s'appliquent à l'enseinble des charges données et des charges complémentaires.

Cherchons à apprécier reflet de ces dernières. Les charges nor-

maies vont régulièrement en diminuant de H — ^ à b, lorsque

ç varie de o à oo. Les charges tangentielles croissent en valeur absolue de zéro jusqu'à un certain maximum, approximativement

égal à-TXo,32, puis décroissent jusqu'à zéro. Si Ton fait la

somme des charges tangentielles entre une certaine abscisse x et l'infini, on trouve -^ <

aCA» r- \d^ C ^ A»

fK'di=-'^f

(5* -h h^) TT {x*-^ h*)

et il faut doubler ce résultat pour tenir compte de la seconde base. Considérons la section normale A A' d'abscisse x, La portion de la plaque qui est à sa droite est. en équilibre sous l'action des charges complémentfiires qui lui sont appliquées et des tensions (~N'|) et (r— TJi) que l'ensemble des charges complémentaires développe dans la section AA'. L'une des équations d'équilibre est donc

Ainsi la compression totale dans la section ne dépend pas des charges complémentaires normales C\ mais seulement des forces tangentielles A', qui se font équilibre de part et d'autre de la section. L'hypothèse la plus simple que l'on puisse faire consiste dès lors à supposer que la compression N^ est uniforme sur toute l'étendue de la section. Les forces A' un peu éloignées de la section s'y répartissent certainement d'une manière uûiforme, d'après tout ce que l'on sait des expériences sur la traction des barreaux. Pour les autres, ce sera un résultat plus ou moins approché.

La valeur de cette compression complémentaire est donc, d'une

manière approchée,

iC ' h

TZ X* -i- h>

Les deux autres composantes des tensions se déduiront alors des deux équations générales d'équilibre

dx dz

dx dz

^LIMITATION DU PROBLèHB AU CAS DE L'ÉLASTICITÉ PLANE. 7l5

On trouve facilement

__ 2G hxjiz—h) __.^ hxiZ'-i')

Si Ton retranche ces valeurs N,, Nj, T^ des expressions écrites plus haut pour Nj, Ng, Tg, on aura donc une solution approchée du problème de la plaque soumise aux deux s^eules forces C.

On pourrait rechercher une solution plus approchée de la manière suivante. Supposons qu'on superpose un instant audessus et au-dessous de la plaque donnée et déjà placée dans Tétat élastique précédent deux plaques de même épaisseur, puis qu'on fasse agir aux points 0| et O'^ de la nouvelle surface situés surO:; deux forces égales et opposées, de valeur (— ^C). Elles produiront dans toute l'étendue du nouveau massif, et en particulier dans l'étendue de la plaque primitive, des tensions dont les expressions seront de même forme que précédemment, à condition de changer C en - C et 3 et :;' en /i + ^ et A -j-;;' respectivement. Si Ton fait maintenant des coupures suivant les plans O et O', la plaque primitive sera dans un état d'équilibre conhrf, à condition de prendre en considération, le long de ces coupures, des charges complémentaires dont il est aisé de faire le compte. Sur la face, O', par exemple, on a d'abord les charges A' et C dues à la force C agissant en O, puis des charges A' et — C dues à la force -|-C agissant en O'j et enfin des charges - A" et C" dues à la force ( — C) agissant en O,. Au total, on aura 2 A' - A" et — C\

En poursuivant, on finirait par trouver un état d'équilibre pour lequel les charges complémentaires s'exerçant à la surface seraient de la forme 2(A'— A"+ A'"-|- . . .) =t: A" et -C«,Mes derniers termes A'* et G'* tendant vers zéro, quel que soit x. A la limite, ces charges eomplémentairesse réduiraient donc à des charges tangentielles, nulles pour :r = o, croissant plus lentement que les charges A' et dont la valeur totale de o à oc reste toujours égale

à On pourrait alors supposer que dans la région voisine

de 00' elles produisent une traction uniforme.

Nous n'insisterons pas davantage sur ce point. Mais nous signa-

lerons que Télude détaillée des tensions dans une plaque soumise aux deux forces normales C et aux charges complémentaires (A'C) conduit à la connaissance complète de l'équilibre élastique de certains solides cylindriques comprimés par- deux forces C égales et opposées.

Nous transformerons les formules donnant N, N^ Tj en rapportant le point M{xz) aux deux points chargés O et ()' au moyen des

deux angles MOO'=a, MO'O =s a , '^^g^^s qui seront compris

chacun entre o et ;^ et qui seront regardes comme positifs quand

M est à droite de 00'.

On a, en posant r = OM i= y/r- -h 5-, r'r= O'M =ï= \'V-|-3'', les relations évidentes :

z =7*cosa, -« = r cosa , T = rsioa = r'sina',

sina' sina sin(a-+-a')

On en déduit facilement

-, "^G fcosa siii*a rosa'sin'a'l

•>C «-inCa-ha') / • » »i

= ~ — *; : : r V091 Sin'a -f- TOS X SIH'a |,

rJi sina sina ' ^

•^.C sin(a -+-a') , r • 'i

— ' T ■^' : — ri cos-'a Sina -+- cos'a Sina I,

ir/i sina sina ^ .

, "aG r sina r*»«i* a «>iiia' ro^*i'

* ir I r /•'

'}C sin(a -r- a') • * » ^.« n

= ^ — : : — r-rsin*acos'a — SHpa cos'a 1.

r.n sinasina

Mettons de côté, pour simplifier les écritures, le facteur commuu

'k(\ sinCa -t- a')

r.h si 11 a sina' nous obtiendrons

Ni -+- N3 = sina rosa -4- sina' rn«ia' = «in» a -f- a') ro«»(a — a'), Nj — Nj = - [sin 2a co5 2a -+- sin 2a' 00s 2a'] — -sin).( a -ha') ro52(a — a')'.

LIMIT\TION DU PROBLÈME AU CAS DE l'kLASTICITÉ PLANE. 717

Cherchons les directions des tensions principales. L'angle cp que fait Tune d'elles avec la direction OXy ou avec la direction de N|, est donné par Téquation

aTj 4(siii*a' ros*a' — sin*acos*a)

Or, si Ton trace le cercle passant parles trois points O, O', M, sa tangente en M fait précisément avec O^ l'angle (a — a ), et par suite son rayon fait, au signe près, le même angle avec Ox, Les deux directions principales sont donc le rayon et la tangente de ce cercle.

Appelons N;- la tension principj^le dirigée suivant le rayon, et s'exerçant par suite sur un élément du contour du cercle, et appelons N^ la tension principale dirigée suivant la tangente, nous trouverons fout ces tensions principales les valeurs suivantes :

•>. •?. co» 2 ( a — a)

s= - sin(a -t- a')cos(a -- a') — -sn» 'iCa -H a') •2 4

= - sin(a -+- a')[cos(a — a) — cos(a H- a )]

= sin(a -t- a') sina sina' ;

1 y. cos;i(a — a')

= -sin(a -f- a')[cos(a — a') -i- CD5(a -f- a')]

mm

= sin(a -H a') cosa cosa'.

En rétablissant le facteur commun négligé, on trouve finalement

-, ^G . ^, ,, .. 2C sin*(a-t-a') Nr= rsin«(a-i-a') et N/ = r ^^ -'•

On voit par là que N,. demeure constant lorsque le point M se déplace de telle sorte que a+a' = const., c'est-à-dire lorsqu'il se déplace sur un arc de cercle passant par 00'. "

Si l'on considère le corps en forme de lentille cylindrique compris entre un arc de cercle tel que OMO' et l'arc de cercle symétrique par rapport à 00', on reconnaît qu'il est soumis sur son contour aux forces extérieures suivantes : i" les deux forces C

appliquées en O, et a** une compression normale uniforme sur

toute sa surface et égale à ^sin^(a-f-a ), l'angle a + a' étant

*la moitié de Tangle sous lequel se coupent les deux faces delà lentille.

Or l'effet d'une compression normale uniforme est connu. En tout point intérieur elle produit une compression uniforme -'sur tout élément superficiel, quelle que soit son orientation. Si on la retranche des expressions précédemment trouvées pour N| et N3, sans modifier Ta, on aura Tétat élastique intérieur de la lentille soumise seulement aux deux forces C et libre sur le reste de sa surface.

Considérons en particulier le cas où a + a'= ;^, et où par .suite

la lentille devient le cylindre à base circulaire décrit sur 00' comme

diamètre. La compi*ession uçiiforme a pour valeur r' Par suite

en revenanl aux expressions primitives des tensions, en fonction de j:, ^, z\ on obtient pour le cylindre comprimé par les deux forces C les expressions

On peut en faire une discussion détaillée. Nous nous bornerons

à remarquer que tout le long de OO' on a Ni =^« C'est une

tension constante. Mais il ne faut pas oublier que, au voisinage des points d'application des forces O et O', il y a des compressions

dont la valeur totale est — rr^^ dont la répartition ne peut être

connue tant que celle des forces fictives G né Test pas elle-même. L'intensité de ces compressions est, comme nous le savons, égale à celle des compressions exercées à la surface, au voisinage immédiat de celle-ci. Elle est toujours incomparablemepi plus forte que

la tension ^) au moins tant qu'il s'agit d'un phénomène élastique.