KQUIMBBE DRS MASSIFS PESANTS EN TKRRE OU EN MAÇONNERIE

Les deux équations d^équilibre déduites de la considération du parallélépipède élémentaire s'écrivent donc, en considérant les compressions comme positives,

h -j h n sin £ = o,

ax dy

— r-i -h -~ — n cost = o.

dx dy

Le massif étant indéfini dans la direction Ojc, rien ne distingue les uns des autres les différents points M appartenant à une même parallèle à Ojt. En conséquence, les trois dérivées

rf\i d^ dTn dx dx dx doivent être nulles.

Les équations précédentes se réduisent à

— ; n COSl = o,

dy

— ; — -f- n sini = o.

dy

Elles fournissent respectivement

Ni = -H Wy ces t, Ts = — n^sini.

les constantes d'intégration étant nulles si Ton ne suppose aucune charge à la surface.

Ainsi Na et T., sont déterminés. La tension N, demeure au contraire une fonction de y entièrement arbitraire, tant qu'on ne sup[)ose pas qu'il s'agisse d'un état élastique.

Si Ton introduit cette hypothèse et si l'on prend en considéralion Féquation

celte équation se réduit à ANi=:0, ou même, puisque --~ = o,

dy^

On en déduit

N, = Ar-HB.

La constante B sera supposée égale à zéro si l'on admet que, sur

7^6 CHAPITRE XXVIl.

la surface libre, on ait N, = o. Cette condition est nécessaire, comme nous le verrons, quand il s'agit de terre pulvérulente. En tout cas, ces constantes A et B ne peuvent être déterminées que par les conditions aux limites, c'est-à-dire ici par les conditions à Finfini.

Sur tout plan parallèle à Oj?, on est bien, obligé d'admettre que les réactions N^ et T3, indépendantes de x^ ont les valeurs indiquées plus haut, et cela n'est pas inadmissible à la limite, ces réactions devenant d'ailleurs infinies avec y. Mais la valeur de N| est indifférente.

D'un autre côté, sur tout plan parallèle à Oy^ et particulièrement pour le plan à l'infini, la réaction T3 est déterminée, maiis les coefficients de N< ne peuvent être connus que si l'on se donne la valeur de cette tension sur l'un quelconque de ces plans. Il est donc impossible, en général, de 1^ déterminer par la seule considération de Téquilibre du massif.

Les mêmes considérations s'appliquent à un massif qui sérail limité en profondeur par un plan parallèle à 0:r.

Cherchons maintenant les restrictions dont la solution peut devenir susceptible quand on suppose à la terre certaines propriétés <

II y en a une qui s'impose pour toute nature de terre,, c'est que N| représente une compression, c'est-à-dire doit être positif. Pour en trouver d'autres, nous envisagerons deux cas, celui où la terre est pulvérulente ou dépourvue de cohésion, et celui où elle possède une certaine cohésion.

Premier cas. — lierre pulvérulente. — Du sable fin bien sec, ou des cailloux secs de petite dimension, forment une représentation bien nette des corps que Ton qualifie par l'épithète « pulvérulent ». Les grains de sable n'ont aucune adhérence ou cohésion entre eux ; ils ne sont retenus au contact les uns des autres que par leur pression mutuelle et par le frottement qui en résulte.

On se représente une rupture d'équilibre comme due au glissement des éléments les uns par rapport aux autres lorsque, sur un élément plan, la composante tangentielle de la pression dépasse 4e produit de la composante normale par un certain coeflicient de frottement y = tang'^ caractéristique de la matière considérée.

éOUILIBRB DBS MASSIFS PESANTS BN TERRE OU EN MAÇONNERIE. 727

Autrement dit, pour que l'équilibre soit stable, il faut que Ton ait la condition

max. de I T I — |Niang(p|£o,

qui a été étudiée au Chapitre XX.

Cette condition, itiise sous une forme plus explicite, s'écrit

(N,— N,)»-h4Tj -(N,-f-N,)'sin«<p<o.

On voit d'abord que sur la surface libre, c'est-à-dire pour y = o, Ni doit s'annuler, car N2 et T3 étant nuls, l'inégalité se réduit à

NJcos*<p^o.

A la surface libre d'un massif pulvérulent, toutes les tensions doivent s'annuler à la fois.

Si maintenant nous remplaçons les composantes des tensions par leurs valeurs, l'inégalité s'écrira

U = j^«[(A — n cos*)» -h 4U» sin«t — ( A -+- H cosi)» sin^ç] £0.

C'est la condition dite « de Rankine ».

Cette condition est indépendante de y^ dont le carré est en facteur commun. Il suffit que la [Parenthèse soit négative ou au plus nulle. Cette parenthèse peut s'écrire •

— = A* cos*?p — 2An cost (i -+- 5in*<p) -h lI*(cos*/co8*<p -f- 4 sin*t).

Elle est certainement positive, c'est-à-dire du signe de son premier terme, pour des valeurs très grandes de A ainsi que pour A = o. Pour qu'elle puisse être négative, il faut d'abord que le trinôme de A ait des racines, ce qui fournit la condition

tl*[cos*i(i -4-sin*<p)2— cosSç(cos*ï cos^p 4- 4 sin*/)] > o.

Après réduction, cette condition devient

4(sin*<pcos*t — cos^o sin**) = 4>sin(^ -f- i) sin(ç — i) > o.

Si, pour fixer les idées, on suppose e >> o, on voit donc qu'il faut

satisfaire à la condition « -< co. Si le contraire avait lieu, — . serait

toujours positif quel que soit A, de sorte qu'il n'y aurait aucun état d'équilibre possible.

Lorsque l'on a i <i o, le trinôme — a deux racines A, et A2>- A<

et ces racines sont toutes deux positives. Pour ^voir un équilibre stable, il suffit de prendre pour A une valeur comprise entre A| et Aj. Il' y aura donc en général une infinité d'équilibres possibles. Celui qui correspond à A r= A< est appelé équilibre limite supérieur ou état ébouleux» Celui qui correspond à A = A2 est de même appelé équilibre limite supérieur.

Les valeurs explicites de'A» et A2 sont d'ailleurs

.* = ^ |cosi(i -t- *in'«p) hp 1^4 «»n(® -<- O sin(© — i)\.

Dans le cas particulier où l'on aurait « = ç, le radical de la parenthèse disparaît et l'on a

cos<p

Les deux états d'équilibre limite sont confondus et un seul état d'équilibre est possible. Dans ce cas, l'état d'équilibre réel se trouve déterminé. Mais c'est le seul cas où il en soit ainsi.

Un autre cas particulier intéressant est celui où «* = o, la surface libre étant horizontale. On a alors

[i 4- sin'îp q= 2 sinç I = n ^

A| est inférieur à II et A2 lui est supérieur. Si l'on suppose © = 3o**

ou sino = -» on a » 2

Al = -^ et At = 311.

L'écart de ces deux valeurs est donc considérable.

Les résultais obtenus par' la discussion précédente peuvent se retrouver aisément au moyen de la construction graphique indiquée au Chapitre XX. On connaît a priori les tensions

qui s'exercent sur un élément plan parallèle à O^, à la profondeur j^. La tension totale qui s'exerce sur cet élément est verticale