ÉQUILIBRB DF.S MASSIFS PESANTS EN TKRRE OU RN MAÇONNERIE
el fait avec; Oj- un an<>le 0 = /. Prenons sur une droite indéfinie OO' une longueur 0N.»= iN., en valeur absolue el élevons la
perpendiculaire Nj Y = T3, Tangle NaOY étant égal à 8 = /. Puis
Kig. 195.
supposons arbitrairement un centre C sur OO' et décrivons le cercle ayant comme rayon CY. Nous en déduirons, en prolongeant CY jusqu'en X et en abaissant XN| perpendiculaire sur OO', les tensions ON, = î\, et N|X qui s'exerceraient sur l'élément plan parallèle a Oy^ la tension totale étant 0\, et faisant avec Ox
l'angle N0\, de sens contraire à NjOY. On en déduirait les tensions sur un élément plan d'orientation quelconque.
Le maximum de l'angle 8 s'obtiendrait en menant du point O les tangentes au cercle, l'une d'elles étant par exemple OH.
Pour qu'il y ait équilibre stable, il faut que l'angle O'OH soit inférieur à ©. Cela est impossible, quel que soit le point C choisi, si l'on a />cd. Admettons qu'il en soit autrement, et traçons la droite OH telle que l'angle O'OH = cp. Puis déterminons les deux cercles de centres C et C qui passent par le point \ et sont tangents à OH. Ces deux cercles correspondront aux deux états d'équilibre limites. Pour tout cercle dont le centre serait compris entre C et C on aurait un équilibre stable, puisque ce cercle ne couperait pas OH. Pour tout autre cercle, au contraire, on aurait
73o CHAPITRE XX VU.
un équilibre instable, puisqu'il couperait OH et que le maximum de Fangle 9 dépasserait '^.
Les deux cercles limites G et C détermineront en particulier les valeurs extrêmes attribuables à Ni et ils pourront faire connaître toutes les circonstances relatives aux équilibres limites, notamment les directions principales et les directions de rupture correspondant à chacun de ces équilibres limites.
Deuxième cas. — Terrexohérenté. — Le tjpe des terres cohérentes est Targile plus ou moins mélangée de sable,, comme celle que l'on emploie dans la construction des digues en terre.
Une motte de terre argileuse ne se désagrège pas sans que Ton exerce' sur elle un effort très appréciiible, traction ou effort de cisaillement. -
Toutefois, la résistance à la rupture par traction peut tomber à un taux très faible dans certaines circonstances, et notamment sous l'influence de l'humidité. Il est prudent de ne pas compter sur elle et on la suppose nulle.
Au contraire, la résistance à la rupture par cisaillement peut demeurer assez forte dans toutes les circonstances de siccité ou d'imbibition, tout en étant naturellement variable avec ces circonstances. Pour une nature donnée de terre, il y a un certain minimum G par mètre carré sur lequel il semble qu'on puisse compter et qui est du même ordre de grandeur que le poids [1 de la terre par mètre cube.
Dans ces circonstances, les équilibres stables correspondroAt à la condition .
wax. |T| — I Ntangcp|<C,
qui a été étudiée au Ghapitre \X.
Gette condition, mise sous line forme plus explicite, s'écrit, en regardant les compressions comme positu'es^
(N,— N,)^-+-4Tî — [(îV,-+-N2)sin(p-4-2Gcos«p]«<o.
G'est la condition dite « de Goulomb ».
Dans le cas actuel, il n'est pas nécessaire quel'oQ ait N| = o pour y :z= o. Pour cette valeur de y^ on a
ÉQUIUBRB DB8 MASSIFS PESANTS BN TERRB OU RN MAÇONNERIE. 73 1
et la condition impose seulement que Ton ait
Ni(i — 5in^) — •! costp lo
ou
, . a G cos «p
~ I — sin®
Toutefois, comme on n'observe jamais de fortes pressions à la surface d*un sol quelconque, nous admettrons, pour simplifier, que N, soit comme précédemment de la forme N| = A^^ ,
Si, dans Tinégalité ci-dessus, on remplace les composantes des tensions par leurs valeurs, elle s'écrira
U = ^8[( A — Il cos «)»-+- 4 !P 5in*« — (A-h 11 cosi)» sin«a/] — ^yC sinocosç(A -+- Il cos#) — 4 G- cos* 9^0.
Cette fois, la condition trouvée dépend ^de la profondeur y. EUe est toujours satisfaite pour de très petites valeurs de ^', c'est-à-dire pour une couche plus ou moins profonde à partir de la surface, quelle que soit la valeur attribuée à A, car pour y == o on a simplement
II = — 4 G* cos* o < o.
Mais il faut s'attendre à ce que certaines valeurs de A soient incompatibles avec les valeurs données de £, o. Il, C lorsque la profondeur^ dépassera certaines limites.
Recherchons d^abord sous quelles conditions un massif indéfini en profondeur peut être en équilibre stable.
Il faut que U reste négatif ou nul, quelle que soit la valeur de y. Cela exige tout d'abord que le coefficient du terme en y^ soit négatif. Or ce coefficient, n'est pas autre chose que le trinôme déjà étudié, à propos du massif pulvérulent. Nous avons vu qu'il demeure positif, quel que soit A, lorsque l'on a i]>o. Une première condition nécessaire est donc que l'on ait / << ©.
Nous avons vu aussi que, dans ce cas, le trinôme a deux racines en A positives, que nous avons désignées par A, et A^. Pour qu'il soit négatif, il faut donc que A reste compris entre ces racines.
D'ailleurs, si cela a lieu, l'équation L = o, considérée comme équation du second degré en j^, ne peut avoir de racines positives, car la somme de ces racines, quand elles existent, ne peut être que
73a ^ CHAPITRE xxvii.
négative, tandis que leur produit est positif» Lorsque )' varie de o H H- oc, on a donc toujours L <C o.
Les conditions trouvées sont donc exactement les mêmes que pour un massif pulvérulent. Il faut que / <; '^ et que A|<C A<;A2. Elles sont inclépendantes de^C, puisque \| et Ao i^*cn dépendent pas. Gela eût d'ailleurs pu être prévu a priori^ car à Finfini toutes les tensions deviennent infinies, avecj^, et la condition de stabilité doit être indépendante de la valeur finie attribuée à G. Elle est remplacée par une condition asvmptotique, cfelle qui convient à la terre pulvérulente.
Recherchons maintenant comment ces conclusions se modifient lorsque, au lieu de supposer que la stabilité de Téquilibre est nécessaire à toute profondeur, on suppose qu'elle est nécessaire seulement jusqu'à une profondeur limitée donnée y\ c'est-à-dire lorsque j' varie entre zéro et cette profondeur donnée^'.
Pour cela, cherchons d'abord d'une manière générale quelles conditions A doit remplir pour que, à la profondeur y? on ait U<o.
Ordonnons (J par rapport à A. On trouve
U = A*^V* ros*<p — ik f ri/* cosi (* -^ sin*cp) -+- aC/ sinçp coscp]
-f- X\*y' Ccos* ï cos*9 -h 4sin«i) ~ 4nC;'C09e sin^ cos© — 4C*cos*cp.
L'étude du trinôme L repose principalement sur celle de son discriminant A, qui, à un facteur ^y'^ près, est
A = [n^cos* (i H- sin*«p)-H9.G sin<pcoso]*
— co8*cp[/*(cos*ï cos*çp-i- 4sin*i) — 4 nC/ cosi sinç cosç — 4C*cos*ç].
En l'ordonnant par rapport à v, on trouve :
i" Pour le terme en y'^^ le résultat déjà trouvé pour les corps pulvérulents, savoir :
411»/- sin(<p -+- i)sin(ç — «);
2" Pour le terme en y :
4nC/cos«sinïpcoscp(i-+-sin-^-i-ros*<p)=8nCj^ cosf sinç cos©
= 4IlG/co5<p[sin(<p-4-i)-4-sin(<p — «)];
ÉQUlLIBaB DES MASSIFS PESANTS EN TERRE OU EN MAÇONNERIE. 733
3* Pour le terme tout connu :
4C* cos*.çp(sin*(p ■+- cos*ç; = 4 G* cos'9.
Finalement, on obtient :
A=4II*^*sin(tp-+-ï)sin(o--i)H-4IlG^co«ç[sin(©-H*)-Hsin(ç— «)]-h4G«cos*ç = 4[n^sin(9 -h l) -h C cosr^] [Uy sin(<p — i) 4- G cosç]r
Quand on se borne à envisager des valeurs positives pour i et
des valeurs positives pour j>', le signe de \ ne dépend que de celui
du dernier facteur, c'est-à-dire des valeurs respectives de y et de
la racine
— G cos ç ^'^ risin(cp— e)
de ce dernier facteur.
Cela posé, nous distinguerons encore deux cas suivant le ^igne
de o — i :
a. Supposons / <; 'f • l^a racine >) esl négative. Par suite, pour toute valeur >' comprise entre o et une valeur positive donnée telle que j'', on aura A >> o, et par suite le trinôme U aura deux racines réelles et distinctes A', et A^. L'intervalle de ces racines contiendra toujours les deux valeurs positives A| et A^ que Ton obtiendrait pour le cas de r' = -x, et qui ne sont autres que les racines de Féquation U = o privée de ses termes en C. La substitution de A| (ou de A2) dans Téquatiou complète fournit en effet, comme résultat,
— 4G^ sinçp coscp(Ai-f- 11 cost) — 4 G* cos*ç < o.
Supposons Aj >> \\ et considérons le minimum A^ de A!, et le maximum A', de \\ lorsque >' varie de o à y', minimum et maximum généralement atteints pour^:=^v', Tintervalle A^A^ contiendra encore Tintervalle A, Aj. Si donc on choisit une valeur quelconque de A comprise entre Aj et A'j, on aura, pour toute valeur j^'<^'', l'inégalité U <C o. Autrement dit, Téquilibre'sera assuré jusqu'à la profondeur^'.
Toutefois, parmi ces valeurs admissibles pour A, on ne retiendra que les valeurs positives, puisqu'on suppose la terre incapable d'efforts de traction.
Il est facile de s'assurer directement que l'une au moins des
734 CHAPITRE XXVJI.
racines A', et Aj est positive, puisque leurs^omme a le signe de
quantité essentiellement positive. D'ailleurs, A\ et A', encadrent l'intervalle A| A2, et ces dernières quantités sont positives.
6. Supposons maintenant i>'f. Alors, la racine "^i devient positive.
Pour .toute valeur positive de y comprise entre o et y 1, on a encore A > o, et par suite le trinôme en U a encore deux racines réelles A', et A^, comme précédemment, et Tune d'elleiS au moins est positive. On trouvera donc deux limites entre lesquelles on peut faire varier A, sans cesser d'avoir un équilibre stable.
Mais si la valeur j^' assignée à la profondeur du massif dépasse^i, pour toutes les valeurs de ^comprises entre y 4 eiy\ onaura A<Io. Alors U n'aura pas de racines réelles et demeurera toujours du signe de son premier terme, c'est-à-dire positif, quelle que soit la valeur assignée à A. Il n'y aura pas d'équilibre stable possible pour la couche de profondeur supérieure à j'|.
Celte profondeur j'i apparaît donc dans ce cas comme V épaisseur limite qu'il est possible d'attribuer au massif quand il es»t constitué par de la terre répondant aux valeurs de cp et de C qui ont été supposées.
U est utile d'observer que, pour yz=zy^^ les deux racines A', et Aj sont égales puisque alors A = o. Leur valeur commune est
A = — - I n cos£ (i -+- 9in*<p) -\ sinç coso |
cos^çp L y\ \
[cost cos<p -h 'i sinïsino'].
cus^
Dans ce cas, il y a un seul étal d'équilibre possible sur toute la profondeur ^4, cl il détermine l'état réel, au moins avec les hypothèses admises.
Supposons, en particulier, / = çp. La profondeur limite yx devient infinie. Si l'on suppose le massif infini en profondeur et. partout en équilibre, la valeur de A est
fcos'cp H- asin^cpj = — — (i-H sin*^) = A|= Af.
coscp ■ ' ' ' coso
